精編高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第一章 章末小結(jié)與測評 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學資料 一、角的概念 1角不僅有大小而且有正負，角的概念的推廣重在“旋轉(zhuǎn)”兩字其旋轉(zhuǎn)方向決定了角的正負，由此確定了角的分類 2象限角及非象限角，都是相對于坐標系而言的，應(yīng)注意平面直角坐標系的建立方法，即角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，只有在這一前提下，才能討論象限角與非象限角 3終邊相同的角有無數(shù)個，在所有與角終邊相同的角的集合可表示為S|k360，kZ Z .終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同 二、角度制與弧度制 弧度制是以“弧度”為單位來度量角的單位制，而角度制是以“度”為單位來度量角的單位制，兩種單位不能混用，如6k360或 602k，kZ

2、Z 的寫法是不允許的，尤其是當角是用字母表示時更要注意，如角是在弧度制下，就不能寫成k360，kZ Z 等 三、三角函數(shù)的定義 1三角函數(shù)的定義有兩種 (1)角的終邊上任取一點P(x，y)，|OP|r，則 sin yr，cos xr；tan yx. (2)角的終邊與以原點為圓心，以單位長為半徑的圓交于點P(x，y)，則 sin y，cos x，tan yx. 2用三角函數(shù)線解基本的三角不等式的步驟為： (1)先作出取等號的角； (2)利用三角函數(shù)線的直觀性，在單位圓中確定滿足不等式的角范圍 3誘導公式 2k，2，2的誘導公式可歸納為：k2(kZ Z)的三角函數(shù)值當k為偶數(shù)時，得的同名三角函數(shù)值

3、；當k為奇數(shù)時，得的余名三角函數(shù)值，然后在前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號，概括為“奇變偶不變，符號看象限”，這里的奇偶指整數(shù)k的奇偶 四、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) ysin x ycos x ytan x 圖像 定義域 (，) x|xR R，x2k， kZ Z 值域 1,1 (，) 周期性 周期T2 周期T 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 在 2k2， 2k2 (kZ Z)上增； 在 2k2， 2k32 (kZ Z)上減 在2k，2k(kZ Z)上增； 在2k，2k(kZ Z)上減 在(k2，k2) (kZ Z)上增 對稱軸 xk2(kZ Z) xk(kZ Z) _ 對稱 中心 (

4、k，0)(kZ Z) (k2，0)(kZ Z) (k2，0)(kZ Z) 五、函數(shù)yAsin(x)的圖像 1由ysin x的圖像變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖像 (1)三角函數(shù)圖像的變化規(guī)律和方法，由ysin xysin(x)，此步驟只是平移，而由ysin xysin(x)可由兩條思路：ysin xysin(x)ysin(x)即先平移后伸縮；ysin xysin xysin(x)即先伸縮再平移不論哪一條路徑，每一次變換都是對字母x而言的 (2)“先平移后伸縮”和“先伸縮后平移”，兩條路徑平移的單位不同 ；“先平移后伸縮”平移|個單位， “先伸縮后平移”則須平移個單位主要程序如下：ysin x 平

5、移變換平移|個單位ysin(x) 周期變換 ysin(x) 振幅變換 yAsin(x)；ysin x 周期變換 ysin x 平移變換平移個單位ysin(x) 振幅變換 yAsin(x) 2由圖像確定函數(shù)yAsin(x)的解析式，主要從以下三個方面來考慮 (1)A的確定：根據(jù)圖像的“最高點、最低點”確定A. (2)的確定：結(jié)合圖像先求周期T，然后由T2(0)確定. (3)的確定：根據(jù)函數(shù)yAsin(x)最開始與x軸的交點(靠近原點)的橫坐標為即令x0，x確定. 3函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì) (1)求形如yAsin(x)(其中A0，0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過列不等式的方法求解，列不等式的原則

6、是：把“x”視為一個“整體”；再根據(jù)ysin x的增減區(qū)間列不等式 (2)對于函數(shù)yAsin(x)(A0，0)，當k，kZ Z 時，是奇函數(shù)；當2k，kZ Z 時，是偶函數(shù) (3)函數(shù)yAsin(x)的周期T2|. 典例 1 已知f() sin2cos32tan（5）tan（）sin（3）， (1)化簡f()；(2)若133，求f()的值 解 (1)f()cos （sin ）tan （tan ）（sin ）cos . (2)f133cos 133 cos3253cos 53cos 312. 借題發(fā)揮 (1)靈活運用誘導公式進行化簡，主要是進行角的轉(zhuǎn)化，以達到統(tǒng)一角的目的； (2)在求值中有已知

7、三角函數(shù)值求值與已知角求值兩種情況，已知三角函數(shù)值求值時，要分清已知的三角函數(shù)與未知的三角函數(shù)之間的關(guān)系，特別是角的關(guān)系；已知角求值時，利用誘導公式 對點訓練 1已知 cos(3)13， 求cos（）cos cos（）1cos（2）sin32cos（）sin32的值 解：cos(3)13，cos 13 即 cos 13. 原式cos cos （cos 1）cos（2）sin32cos（）cos 11cos cos cos2cos 11cos 11cos 21cos22113294. 典例 2 求下列函數(shù)的定義域： (1)ysin xcos xtan x； (2)y sin xtan x. 解

8、(1)要使函數(shù)有意義，必須使 tan x有意義，且 tan x0.有xk2，xk.(kZ Z) 函數(shù)ysin xcos xtan x的定義域為xxk2，kZ Z . (2)當 sin x0 且 tan x有意義時，函數(shù)有意義， 有2kx（2k1），xk2.(kZ Z) 函數(shù)y sin xtan x的定義域為 2k，2k22k2，（2k1） (kZ Z) 借題發(fā)揮 1.求三角函數(shù)的定義域事實上就是解最簡單的三角不等式(組)，通?？捎萌呛瘮?shù)的圖像或單位圓來求解 2求三角函數(shù)的值域(最值)問題常用的方法有： (1)將所給的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)并通過配方法求值域(最值)；(2)將所給的函數(shù)轉(zhuǎn)化為s

9、in(x)或 cos(x)的函數(shù)，利用 sin x，cos x的有界性求值域 對點訓練 2已知函數(shù)ylg cos 2x，求它的定義域和值域 解：函數(shù)f(x)lg cos 2x有意義，則 cos 2x0，即 2k22x2k2，kZ Z， 解得k4xk4，kZ Z. 函數(shù)的定義域為x|k4xk4，kZ Z 由于 00，0)的一段圖像 (1)求此函數(shù)解析式； (2)說明該函數(shù)是如何通過ysin x變換得來的？ 解 (1)由圖像知A1232212， k123221，T2236， 2T2. y12sin(2x)1. 當x6時，262， 6. 所求函數(shù)解析式為y12sin2x61. (2)把ysin x向

10、左平移6個單位，得到y(tǒng)sinx6，然后縱坐標保持不變、橫坐標縮短為原來的12，得到y(tǒng)sin2x6，再橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?2得到y(tǒng)12sin2x6，最后把函數(shù)y12sin2x6的圖像向下平移 1 個單位，得到y(tǒng)12sin2x61的圖像 借題發(fā)揮 三角函數(shù)的圖像是研究三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，又是三角函數(shù)性質(zhì)的具體體現(xiàn) 在平時的考查中， 主要體現(xiàn)在三角函數(shù)圖像的變換和解析式的確定， 以及通過對圖像的描繪、觀察來討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)具體要求： (1)用“五點法”作yAsin(x)的圖像時，確定五個關(guān)鍵點的方法是分別令x0，2，32，2. (2)對于yAsin(x)的圖像變換，應(yīng)注意先“平移”后

11、“伸縮”與先“伸縮”后“平移”的區(qū)別 (3)已知函數(shù)圖像來求函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的解析式時，要先求A、，再求. 對點訓練 3若函數(shù)f(x)Asin(2x)(A0，0)在x6處取得最大值，且最大值為 3，求函數(shù)f(x)的解析式 解：因為函數(shù)f(x)最大值為 3，所以A3，又當x6時函數(shù)f(x)取得最大值，所以sin31，因為 00，0，)在x6處取得最大值 2，其圖像與x軸的相鄰兩個交點的距離為2. (1)求f(x)的解析式； (2)求函數(shù)g(x)6cos4xsin2x1fx6的值域 (提示：cos 2x2cos 2x1) 解 (1)由題設(shè)條件知f(x)的周期T， 即2，解得2. 因

12、f(x)在x6處取得最大值 2，所以A2. 從而 sin261， 所以322k，kZ Z. 又由0)在區(qū)間0，3上是增加的，在區(qū)間3，2上是減小的，則( ) A3 B2 C.32 D.23 解析：選 C 由題意知，函數(shù)在x3處取得最大值 1，所以 1sin3，32. 5函數(shù)y3sin4x的一個單調(diào)遞減區(qū)間為( ) A.2，2 B.4，34 C.34，74 D.34，4 解析：選 B y3sin4x3sinx4，檢驗各選項知，只有 B 項中的區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間 6(全國高考)若函數(shù)f(x)sin x3，0，2是偶函數(shù)，則( ) A.2 B.23 C.32 D.53 解析：選 C 若f(x)為偶函

13、數(shù)，則f(0)1， 即 sin 31，3k2(kZ Z) 3k32(kZ Z)只有 C 項符合 7(山東高考)函數(shù)y2sinx63(0 x9)的最大值與最小值之和為( ) A2 3 B0 C1 D1 3 解析：選 A 當 0 x9 時，3x6376， 32sinx631， 所以函數(shù)的最大值為 2，最小值為 3，其和為 2 3. 8方程|x|cos x在(，)內(nèi)( ) A沒有根 B有且僅有一個根 C有且僅有兩個根 D有無窮多個根 解析：選 C 構(gòu)造兩個函數(shù)y|x|和ycos x，在同一個坐標系內(nèi)畫出它們的圖像，如圖所示，觀察圖像知有兩個公共點，所以已知方程有且僅有兩個根 9. 已知函數(shù)圖像的一部

14、分如圖，則函數(shù)的解析式是( ) Aysinx6 Bysin2x6 Cycos4x3 Dycos2x6 解析：選 D 由圖像知T4126. 2，排除選項 A、C. 圖像過12，1 代入選項 B， f12sin212601，故 B 錯誤 10 如果函數(shù)y3cos(2x)的圖像關(guān)于點(43， 0)中心對稱， 那么|的最小值為( ) A.6 B.4 C.3 D.2 解析：選 A 函數(shù)y3cos(2x)的圖像關(guān)于點(43，0)中心對稱，243k2(kZ Z) k136(kZ Z)，由此易得|min6. 二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上) 11設(shè)扇形的半徑長

15、為 4 cm，面積為 4 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是_ 解析：由S12r2，得2Sr212. 答案：12 12已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若p(4，y)是角終邊上一點，且 sin 2 55，則y_ 解析：根據(jù)正弦值為負數(shù)，判斷角在第三、四象限，再加上橫坐標為正，斷定該角為第四象限角，故y0， 即 sin2x422. 設(shè)z2x4，則 sin z22. 由圖知，42kz542k(kZ Z)， 即42k2x4542k(kZ Z)， 解得4kx2k(kZ Z) 答案：(4k，2k)(kZ Z) 三、解答題(本大題共 4 小題，共 50 分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演

16、算步驟) 15(本小題滿分 12 分)已知 f()sin2cos32tan（）tan（）sin（）. (1)化簡f()； (2)若 sin3215，求f()的值 解：(1)原式cos sin （tan ）tan sin cos . (2)sin32 sin(2)cos ， cos 15.故f()15. 16(本小題滿分 12 分)已知函數(shù)f(x)2sin2x3. (1)當x0，2時，求f(x)的值域； (2)用五點法作出yf(x)在6，56閉區(qū)間上的簡圖； (3)說明f(x)的圖像可由ysin x的圖像經(jīng)過怎樣的變化得到？ 解：(1)x0，2，32x343， 32sin2x31， 所求值域為

17、3，2 (2)列表： x 6 12 3 712 56 2x3 0 2 32 2 2sin2x3 0 2 0 2 0 畫圖(如圖) (3)法一：可由ysin x的圖像先向左平移3個單位長度，再將圖像上各點的橫坐標縮短到原來的12，最后將縱坐標伸長為原來的 2 倍而得到 法二：可由ysin x的圖像先將圖像上各點的橫坐標縮短到原來的12，再將圖像向左平移6個單位長度，最后將縱坐標伸長為原來的 2 倍而得到 17(本小題滿分 12 分)函數(shù)f(x)Asin(x)的圖像如圖，試依圖指出： (1)f(x)的最小正周期； (2)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間； (3)圖像的對稱軸方程與對稱中心 解：(1

18、)由圖像知f(x)的最小正周期為 27443. (2)半個 周期是32，432 54，由 圖像可知 ，f(x)的 單調(diào)遞 增區(qū)間 是543k，43k (kZ Z)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是43k，743k (kZ Z) (3)f(x)的圖像的對稱軸方程是x43k2(kZ Z)，對稱中心是23k2，0 (kZ Z) 18(本小題滿分 14 分)已知函數(shù)f(x)2sinx6，(00) (1)若函數(shù)yf(x)圖像的兩相鄰對稱軸間的距離為2，且它的圖像過(0，1)點，求函數(shù)yf(x)的表達式； (2)將(1)中的函數(shù)yf(x)的圖像向右平移6個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長到原來的 4 倍，

19、縱坐標不變，得到函數(shù)yg(x)的圖像，求函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (3)若f(x)的圖像在xa，a1100(aR R)上至少出現(xiàn)一個最高點或最低點， 求正整數(shù)的最小值 解：(1)由題意得222，所以2， 所以f(x)2sin2x6. 又因為yf(x)的圖像過點(0，1)， sin612. 又02，3， f(x)2sin2x6. (2)將f(x)的圖像向右平移6個單位長度后， 得到y(tǒng)2sin2x6的圖像， 再將所得圖像上各點的橫坐標伸長到原來的 4 倍，縱坐標不變， 得到y(tǒng)2sin12x6的圖像 即g(x)2sin12x6. 令 2k212x62k2， 則 4k23x4k43，(kZ Z)， g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k23，4k43(kZ Z) (3)若f(x)的圖像在xa，a1100(aR R)上至少出現(xiàn)一個最高點或最低點，則100，又為正整數(shù)，min315.