高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;2 第1課時 向量的加法 Word版含答案

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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 第1課時　向量的加法 [核心必知] 1．向量的加法法則 三角形法則 平行四邊形法則 作法 已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作＝a，＝b，再作向量，則向量 叫作向量a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝. 已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作＝a，＝b，再作平行的＝b，連接DC，則四邊形ABCD為平行四邊形．向量叫作向量a與b的和，表示為：＝a＋b. 圖示 2．向量求和的多邊形法則 向量求和的三角形法則，可推廣至多個向量求和的多邊形法則，n個向量經(jīng)過平移，順次使前一個向量的終點(diǎn)與后一個向量的起點(diǎn)重合，組成一向量折

2、線，這n個向量的和等于折線起點(diǎn)到終點(diǎn)的向量，即 3．向量加法的運(yùn)算律 (1)交換律：a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c． [問題思考] 1．三角形法則與平行四邊形法則對兩向量的起點(diǎn)有什么要求？ 提示：三角形法則強(qiáng)調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則強(qiáng)調(diào)“起點(diǎn)相同”． 2．當(dāng)首尾順次相接的向量構(gòu)成封閉的向量鏈時，各向量的和等于什么向量？ 提示：零向量． 講一講 1．(1)如圖已知?ABCD，O是兩條對角線的交點(diǎn)，E是CD的一個三等分點(diǎn)，求作： (2)如圖，已知向量a，b，c，求作a＋b＋c. [嘗試解答]　(1)①

3、延長AC，在延長線上截取CF＝AO，則向量即為所求． ②在AB上取點(diǎn)G，使AG＝AB，則向量即為所求． (2)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量＝a，再作＝c，則＝a＋c，然后再作＝b，連接DC，于是向量＝a＋b＋c即為所求(如圖所示)． 1．用三角形法則作兩向量的和時，要注意兩向量“首尾相接”；用平行四邊形法則作兩向量的和時，要注意保持兩向量有公共起點(diǎn)． 2．求作共線向量或多個向量的和向量時，應(yīng)首選三角形法則，注意和向量的方向是從起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)． 練一練 1．如圖，已知向量a，b，c，d，求作a＋b＋c＋d. 解：(1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O， 作

4、＝a，以A為起點(diǎn)， 作向量＝b，則＝a＋b； (2)以B為起點(diǎn)作向量＝c， 再作＝d，連接OD. 則向量＝a＋b＋c＋d即為所求(如圖)． 講一講 2．化簡下列各式： . 化簡含有向量的關(guān)系式一般有兩種方法：利用幾何方法通過作圖實(shí)現(xiàn)化簡；利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，有時也需將一個向量拆分成兩個或多個向量．  練一練 2. 下列向量的運(yùn)算結(jié)果一定是零向量的是(　　) 講一講 3．一條小船要渡過一條兩岸平行的小河，河的寬度d＝100 m，船的航行速度為v

5、1＝4 m/s，水流的速度為v2＝2 m/s，試問當(dāng)船頭與水流方向的夾角θ為多大時，小船行駛到對岸所用的時間最少？此時小船的實(shí)際航行速度與水流方向的夾角的正切值是多大？ [嘗試解答]　 設(shè)小船行駛到對岸所用的時間為t(s)，如圖，設(shè)表示水流的速度，表示船的航行速度，以AD、AB為鄰邊作?ABCD，則就是船實(shí)際航行的速度．設(shè)∠BAC＝α，∠BAD＝θ，則相對于垂直對岸的速度為v＝sin θ，小船行駛到對岸所用的時間為t＝＝＝＝，θ∈(0，π)． 故當(dāng)sin θ＝1，即θ＝90時，小船行駛到對岸所用的時間最少，最少值為25 s. 在Rt△ABC中，||＝2， ||＝||＝4，tan α

6、＝2. 故當(dāng)船頭與水流方向的夾角為90時，小船行駛到對岸所用的時間最少為25 s，此時小船的實(shí)際航行速度與水流方向的夾角的正切值為2. 用向量解決實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為向量模型，本題中小船過河所用的時間取決于合速度沿垂直于河岸的分速度，也就是船的航行速度沿垂直于沙岸的分速度，其解答思路可歸結(jié)為： 練一練 3．如圖所示，兩條細(xì)繩拉一個物體，兩條細(xì)繩分別用力F1，F(xiàn)2，且|F1|＝3 N和|F2|＝4 N，夾角為90 . (1)作出這兩條細(xì)繩的合力； (2)求合力的大小． 解： (1)作＝F1，＝F2 以O(shè)A、OB為鄰邊作?OACB連接OC，則

7、＝F1＋F2即為所求． (2)在Rt△OAC中， OA＝3，AC＝|F2|＝4， ∴|F1＋F2|＝||＝＝5. 故合力的大小為5 N. 已知向量a，b的長度分別為8，2，試求|a＋b|的取值范圍． [巧思]　向量a，b可能共線，也可能不共線，于是可考慮利用向量加法的三角形法則，數(shù)形結(jié)合求解． [妙解]　(1)若a，b共線，即a∥b，當(dāng)a與b同向時， 則|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋2＝10；當(dāng)a與b反向時， 則|a＋b|＝|a|－|b|＝8－2＝6.(如圖所示)． (2)若a，b不共線，則向量a，b，a＋b對應(yīng)的有向線段圍成一個三角形，如圖： 由三角形

8、的性質(zhì)知， |a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|， 即8－2<|a|＋|b|<8＋2， ∴6<|a|＋|b|＝10. 故|a＋b|的取值范圍為[6，10]． 1．若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式成立的是(　　) 4．設(shè)a表示向東走4 km，b表示向南走3 km，則|a＋b|＝________ km. ＝＝5. 答案：5 6．如圖，D、E、F分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，試畫出+. 一、選擇題 1．如圖，在?ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是(　　) . 4．下列命題 ①如果非零向量a與b的

9、方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a、b之一的方向相同； ②在△ABC中，必有＝0； ③若＝0，則A、B、C為一個三角形的三個頂點(diǎn)； ④若a、b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等． 其中真命題的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B　對于①②③④，若a與b方向相反，且|a|＝|b|，則a＋b＝0，零向量的方向是任意的，所以①不正確；②正確；對于③，若＝0，則A、B、C可能共線，所以③不正確；對于④，當(dāng)a，b不共線或反向時，|a＋b|<|a|＋|b|，④不正確． 二、填空題 5．若正方形ABCD的邊長為1，＝a，＝b，則|a＋b|＝__

10、______. 解析：|a＋b|＝|＋|＝||＝. 答案： 6．如圖，已知△ABC是直角三角形，且∠A＝90， 給出下列結(jié)論： 其中結(jié)論正確的是________(填所有正確結(jié)論的序號)． ＝||， 所以③正確；顯然，④正確． 答案：①②③④ 7．在長江南岸渡口處，江水以12.5 km/h的速度向東流，渡船的速度為25 km/h，渡船要垂直渡過長江，則航向?yàn)開_______． 解析：如圖，渡船速度為，水流速度為，船實(shí)際垂直過江的速度為＋＝，依題意，||＝12.5，||＝25，△BDO為直角三角形，所以sin∠BOD＝＝＝. ∴∠BOD＝30， ∴航

11、向?yàn)楸逼?0. 答案：北偏西30 8．已知a、b、c是非零向量，則(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，與向量a＋b＋c相等的個數(shù)為________個． 解析：根據(jù)向量加法的運(yùn)算律，題中5個式子與a＋b＋c均相等． 答案：5 三、解答題 9．如圖所示，O是四邊形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a，b，c，d的方向(用箭頭表示)，使a＋b＝，c＋d＝，并畫出b＋c和a＋d. 解：(1)∵， ∴a，b，c，d的方向如圖所示． (2)根據(jù)平行四邊形法則，以O(shè)B、OC為鄰邊作平行四邊形OBEC，以O(shè)A、OD為鄰邊

12、作平行四邊形OAFD，連接OE、OF，則＝b＋c，＝a＋d，如圖所示． 10．在重300 N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30、60(如圖)，當(dāng)重物平衡時，求兩根繩子拉力的大小． 解：如圖所示，作平行四邊形OACB，使∠AOC＝30，∠BOC＝60， 在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60，∠OAC＝90， ∴||＝||cos 30＝300＝150(N)． ||＝||sin 30＝300＝150(N)． ∴||＝||＝150(N)， 即與鉛垂線的夾角為30的繩子的拉力是150 N，與鉛垂線的夾角為60的繩子的拉力是150 N.