數(shù)學同步優(yōu)化指導北師大版選修22練習：第2章 2.1、2.2 導數(shù)的概念及其幾何意義 活頁作業(yè)6 Word版含解析

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1、 活頁作業(yè)(六)　導數(shù)的概念及其幾何意義 1．已知函數(shù)f(x)＝，則f′(1)＝(　　) A．　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析：＝＝＝，當Δx趨于0時，趨于，所以f′(1)＝. 答案：B 2．設曲線y＝x2＋x－2在點M處的切線斜率為3，則點M的坐標為(　　) A．(0，－2) B．(1,0) C．(0,0) D．(1,1) 解析：設M(x0，y0)， 則k＝ ＝ 2x0＋1＝3. ∴x0＝1.∴y0＝0. ∴M點的坐標為(1,0)． 答案：B 3．做直線運動的一物體，其位移s與時間t的關系式為s＝3t－t2，t∈[0，＋∞)，則其初速度為(　　

2、) A．0 B．3 C．－2 D．3－2t 解析：該物體在t＝0時的瞬時速度 v＝ ＝ (3－Δt)＝3－0＝3. 答案：B 4．設曲線y＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a的值是(　　) A．1 B． C．－ D．－1 解析：由題意得2＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a， ∴a＝1. 答案：A 5．曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線傾斜角是，則f′(x0)＝(　　) A． B．－ C．－1 D．1 解析：由題意知f′(x0)＝tan ＝1. 答案：D 6．曲線f(x)＝x2在曲線上某點的切線的傾斜角為，則此點的坐標是___

3、_____． 解析：設所求點的坐標為(x0，x)，由題意得 f′(x0)＝－1. 利用導數(shù)的定義求得f′(x0)＝2x0， 故2x0＝－1，x0＝－. 故所求點的坐標為. 答案： 7．已知函數(shù)f(x)的圖像在點M(1，f(1))處的切線方程是2x－3y＋1＝0，則f(1)＋f′(1)＝________. 解析：f′(1)＝，f(1)＝1，則f(1)＋f′(1)＝. 答案： 8．已知函數(shù)y＝x3－1，當x＝2時， 等于__________________． 解析：＝ ＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2， ∴ ＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x. ∴f′(x0)＝

4、3x. ∴f′(2)＝322＝12. 答案：12 9．求函數(shù)y＝f(x)＝x－在x＝1處的導數(shù)． 解：Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋， ＝＝1＋， ＝ ＝2. 10．已知曲線C：y＝f(x)＝x3. (1)求曲線C上橫坐標為1的點處的切線的方程； (2)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點？ 解：(1)將x＝1代入曲線C的方程得y＝1，所以切點P的坐標為(1,1)． 因為f′(1)＝ ＝ ＝ [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3， 所以過P點的切線方程為y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. (2)由?(x－1)2(x＋2)＝0， ∴x1＝1，x2

5、＝－2. 所以公共點為(1,1)和(－2，－8)， 說明切線與曲線C的公共點除了切點外，還有另外的點． 11．下列各式中正確的是(　　) A．f′(x0)＝ B．f′(x0)＝ C．f′(x0)＝ D．f′(x0)＝ 解析：由導數(shù)的定義可知， f′(x0)＝ ＝ ， 故排除A，B，C． 在D中，f′(x0)＝ ＝ . 答案：D 12．已知曲線y＝x2－2上一點P，則過點P的切線的傾斜角為________． 解析：令f(x)＝x2－2， Δy＝(1＋Δx)2－2－＝Δx2＋Δx， ＝＝Δx＋1， ∴ ＝ ＝1. ∴f′(1)＝1.∴過點P的

6、切線的斜率為1，切線的傾斜角為45. 答案：45 13．已知曲線y＝2x2＋4x在點P處的切線的斜率為16，則點P的坐標為________． 解析：設P(x0,2x＋4x0)， 則f′(x0)＝ ＝ ＝4x0＋4. 又∵f′(x0)＝16， ∴4x0＋4＝16.∴x0＝3.∴P(3,30)． 答案：(3,30) 14．設函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲線y＝f(x)的斜率最小的切線與直線12x＋y＝6平行，求a的值． 解：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)＝(3x＋

7、2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3， ∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2. 當Δx無限趨近于0時，無限趨近于3x＋2ax0－9. 即f′(x0)＝3x＋2ax0－9， ∴f′(x0)＝32－9－. 當x0＝－時，f′(x0)有最小值－9－. ∵斜率最小的切線與12x＋y＝6平行， ∴該切線斜率為－12.∴－9－＝－12. 解得a＝3. 又a＜0，∴a＝－3. 15．已知曲線y＝x3＋. (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過點P(2,4)的切線方程，所求切線與曲線是否還有其他公共點？若有，請求出其坐標；若沒有

8、，試說明理由． 解：(1)由導數(shù)的定義求得函數(shù)f(x)＝x3＋在x＝2處的導數(shù)為f′(2)＝4. 由導數(shù)的幾何意義，點P(2,4)處的切線的斜率為4， 故所求的曲線的切線方程為y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)設曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A，利用導數(shù)的定義和幾何意義，切線的斜率為k＝f′(x0)＝x， 切線方程為y－＝x(x－x0)． ∵點P(2,4)在切線上， ∴4－＝x(2－x0)， 解得x0＝2或x0＝－1. ∴所求的切線方程為：4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. 由消去y并整理， 得x3－12x＋16＝0，即x3－4x－8x

9、＋16＝0， ∴(x－2)(x2＋2x－8)＝0， 即 (x－2)2(x＋4)＝0. ∴x＝2或x＝－4. ∴切線4x－y－4＝0與曲線y＝x3＋除有公共點(切點)P(2,4)外，還有一個公共點為(－4，－20)． 由消去y并整理得x3－3x－2＝0， 即x3－x－2x－2＝0， 即x(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0， ∴(x＋1)2(x－2)＝0.∴x＝－1或x＝2. ∴切線x－y＋2＝0與曲線y＝x3＋，除有公共點(交點)P(2,4)外，還有一個公共點即切點(－1,1)． 16．(2017山東卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2.當a＝2時，求曲線y＝f(x)在點(3，f(3))處的切線方程． 解：當a＝2時，f(x)＝x3－x2，f(3)＝0， ∴＝ ＝Δx2＋2Δx＋3. 當Δx趨于0時，趨于3. ∴f′(3)＝3. ∴曲線y＝f(x)在(3，f(3))處的切線方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.