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1、
2019版數(shù)學精品資料(北師大版)
【成才之路】高中數(shù)學 第3章 2第2課時 最大值、最小值問題課時作業(yè) 北師大版選修2-2
一、選擇題
1.函數(shù)f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最大值為( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] f(x)=x-x3,f′(x)=1-3x2,令f′(x)=0得x=(x=-舍去),計算比較得最大值為f()=.
2.一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比,已知在速度為每小時10 km時燃料費是每小時6元 ,而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元,則此輪船的速度為______km/h航行時,能使行駛每公里的費用總
2、和最小( )
A.20 B.30
C.40 D.60
[答案] A
[解析] 設(shè)船速為每小時x(x>0)公里,燃料費為Q元,則Q=kx3,
由已知得:6=k·103,
∴k=,即Q=x3.
記行駛每公里的費用總和為y元,則
y=(x3+96)·=x2+
y′=x-,令y′=0,即x-=0,
解之得:x=20.
這就是說,該函數(shù)在定義域(0,+∞)內(nèi)有唯一的極值點,該極值必有所求的最小值,即當船速為每小時20公里時,航行每公里的總費用最小,最小值為7.2元.
3.已知函數(shù)f(x)=x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立
3、,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.m≥ B.m>
C.m≤ D.m<
[答案] A
[解析] 由f ′(x)=2x3-6x2=0得,x=0或x=3,
經(jīng)檢驗知x=3是函數(shù)的一個最小值點,
所以函數(shù)的最小值為f(3)=3m-,
不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,
所以3m-≥-9,解得m≥.
4.若函數(shù)f(x)=-x3+x在(a,10-a2)上有最大值,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.[-1,1) B.[-2,1)
C.[-2,-1) D.(-2,+∞)
[答案] B
[解析] 由于f′(x)=-x2+1 ,易知函數(shù)在(-∞,
4、-1]上遞減,在[-1,1]上遞增,[1,+∞)上遞減,故若函數(shù)在(a,10-a2)上存在最大值的條件為?-1≤a<1或綜上可知a的取值范圍為[-2,1).
5.設(shè)直線x=t與函數(shù)f(x)=x2,g(x)=lnx的圖像分別交于點M,N,則當|MN|達到最小時t的值為( )
A.1 B.
C. D.
[答案] D
[解析] 本小題考查內(nèi)容為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——求函數(shù)的最小值.
令F(x)=f(x)-g(x)=x2-lnx,∴F′(x)=2x-.
令F′(x)=0,∴x=,∴F(x) 在x=處最?。?
二、填空題
6.下列結(jié)論中正確的有________.
①在區(qū)間[a,b]上,函
5、數(shù)的極大值就是最大值;
②在區(qū)間[a,b]上,函數(shù)的極小值就是最小值;
③在區(qū)間[a,b]上,函數(shù)的最大值、最小值在x=a和x=b處取到;
④在區(qū)間[a,b]上,函數(shù)的極大(小)值有可能就是最大(小)值.
[答案]?、?
[解析] 由函數(shù)最值的定義知,①②③均不正確,④正確.故填④.
7.函數(shù)f(x)=ax4-4ax3+b(a>0)在[1,4]上的最大值為3,最小值為-6,則a+b=________.
[答案]
[解析] f′(x)=4ax3-12ax2(a>0,x∈[1,4]).
由f′(x)=0,得x=0(舍),或x=3,可得x=3時,f(x)取得最小值為b-
6、27A.
又f(1)=b-3a,f(4)=b,
∴f(4)為最大值.
由解得∴a+b=.
8.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若對于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,則實數(shù)a的值為__________________.
[答案] 4
[解析] 本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運用.若x=0,則不論a取何值,f(x)≥0顯然成立;
當x>0即x∈(0,1]時,f(x)=ax3-3x+1≥0可化為a≥-,
設(shè)g(x)=-,則g′(x)=,
所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,
因此g(x) max=g=4,從而a≥4;
當x<0即x∈[
7、-1,0],f(x)=ax3-3x+1≥0可化為a≤-,
g(x)在區(qū)間[-1,0)上單調(diào)遞增,
因此g(x)min=g(-1)=4,從而a≤4,綜上a=4.
三、解答題
9.(2014·江西理,18)已知函數(shù)f(x)=(x2+bx+b)(b∈R).
(1)當b=4時,求f(x)的極值;
(2)若f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增,求b的取值范圍.
[解析] (1)當b=4時,f(x)=(x+2)2的定義域為(-∞,),f ′(x)=,
由f ′(x)=0得x=-2或x=0.
當x∈(-∞,-2)時,f ′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x∈(-2,0)時,f
8、′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當x∈(0,)時,f ′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
故f(x)在x=-2取極小值f(-2)=0,在x=0取極大值f(0)=4.
(2)f ′(x)=,因為當x∈(0,)時,<0,
依題意當x∈(0,)時,有5x+(3b-2)≤0,從而+(3b-2)≤0.
所以b的取值范圍為(-∞,].
10.(2014·三峽名校聯(lián)盟聯(lián)考)時下,網(wǎng)校教學越來越受到廣大學生的喜愛,它已經(jīng)成為學生們課外學習的一種趨勢,假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位:千套)與銷售價格x(單位:元/套)滿足的關(guān)系式y(tǒng)=+4(x-6)2,其中2<x&l
9、t;6,m為常數(shù).已知銷售價格為4元/套時,每日可售出套題21千套.
(1)求m的值;
(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價格x的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(保留1位小數(shù))
[解析] (1)因為x=4時,y=21,
代入關(guān)系式y(tǒng)=+4(x-6)2,得+16=21,
解得m=10.
(2)由(1)可知,套題每日的銷售量y=+4(x-6)2,
所以每日銷售套題所獲得的利潤
f(x)=(x-2)[+4(x-6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),
從
10、而f ′(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).
令f ′(x)=0,得x=,且在(0,)上,f ′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在(,6)上,f ′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
所以x=是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點,也是最大值點,
所以當x=≈3.3時,函數(shù)f(x)取得最大值.
故當銷售價格為3.3元/套時,網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.
一、選擇題
1.給出下面四個命題:①函數(shù)y=x2-5x+4,x∈[-1,1]的最大值為10,最小值為-;②函數(shù)y=2x2-4x+1(2<x<4
11、)的最大值為17,最小值為1;③函數(shù)y=x3-12x(-3<x<3)的最大值為16,最小值為-16;④函數(shù)y=x3-12x(-2<x<2)無最大值,也無最小值.其中正確的命題有( )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
[答案] B
[解析] ③④正確.
2.已知不等式≤對任意的正實數(shù)x恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是( )
A.(0,1] B.(-∞,1]
C.[0,2] D.(0,2]
[答案] A
[解析] 令y=,則y′=,可以驗證當y′=0即kx=e,x=時,ymax==,
又y≤對于x>0恒成立∴≤,得k≤1
又kx>0,x
12、>0,∴k>0,∴0<k≤1.
3.(2014·江西文,10)在同一直角坐標系中,函數(shù)y=ax2-x+與y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的圖像不可能的是( )
[答案] B
[解析] 若a=0時,兩函數(shù)分別為y=-x和y=x,選項D此時合適,
若a≠0時,設(shè)f1(x)=ax2-x+,設(shè)f2(x)=a2x3-2ax2+x+a
f2′(x)=3a2x2-4ax+1=(3ax-1)(ax-1),
①若a>0,易知f2(x)的極大值為f()=+a,極小值為f()=a,而f1(x)圖象此時開口向上,對稱軸為x=>0且f1()=f1(0)=,f2(0)=a,
13、A、C均適合.
(2)若a<0,f1(x)圖象開口向下,對稱軸為x=<0 ,f()=f1(0)=<0,而f2()>a<0,比較知0>>a,也就是說當x=時函數(shù)f2(x)圖象為極大值而此時f1(x)圖象對應(yīng)的點應(yīng)該在(,f2())上方,而B選項中顯然右下方,因而B不可能.
4.以長為10的線段AB為直徑作半圓,則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為( )
A.10 B.15
C.25 D.50
[答案] C
[解析] 如圖,設(shè)∠NOB=θ,則矩形面積S=5sinθ·2·5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin
14、2θ,故Smax=25.
二、填空題
5.已知函數(shù)y=xf′(x)的圖像如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),給出以下說法:
①函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù);②函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上無單調(diào)性;③函數(shù)f(x)在x=-處取得極大值;④函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值.其中正確的說法有________
[答案]?、佗?
[解析] 從圖像上可以發(fā)現(xiàn),當x∈(1,+∞)時,xf′(x)>0 ,所以f′(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),①正確;當x∈(-1,1)時,f′(x)<0,所以函數(shù)f(x)在(-1,1)上是減函數(shù),所以②
15、,③錯誤;當0<x<1時,f(x)在區(qū)間(0,1)上遞減,而在(1,+∞)上遞增,故f(x)在x=1處取極小值,故④正確.
6.已知函數(shù)f(x)=loga,當x∈[1,4]時,f(x)≥2恒成立,則a的取值范圍是____________.
[答案] 1<a≤4
[解析] 要使得當x∈[1,4]時,f(x)≥2恒成立,只需保證當x∈[1,4]時,f(x)min≥2即可,因此問題轉(zhuǎn)化為先求函數(shù)f(x)=loga在區(qū)間[1,4]上的最小值,再結(jié)合不等式求得a的取值范圍.考慮到f(x)=loga的導(dǎo)數(shù)不好求,可以先采用換元的辦法,利用導(dǎo)數(shù)法求出真數(shù)的最值,再考慮函數(shù)f(x)的最小值,
16、但要注意對底數(shù)a加以討論.
令h(x)==4x++16,x∈[1,4].
∵h′(x)=4-=,x∈[1,4].
∴當1≤x<2時,h′(x)<0,當2<x≤4時,h′(x)>0.
∴h(x)在[1,2]上是單調(diào)減函數(shù),在[2,4]上是單調(diào)增函數(shù),
∴h(x)min=h(2)=32,∴h(x)max=h(1)=h(4)=36.
∴當0<a<1時,有f(x)min=loga36,
當a>1 時,有f(x)min=loga32.
∵當x∈[1,4]時,f(x)≥2恒成立,
∴f(x)min≥2.
∴滿足條件的a的值滿足下列不等式組:
①或②
不等式組①的解集為空集,解不等式
17、組②得1<a≤4.
綜上所述,滿足條件的a的取值范圍是:1<a≤4.
三、解答題
7.(2014·全國大綱,22)函數(shù)f(x)=ln(x+1)-(a>1).討論f(x)的單調(diào)性;
[解析] f(x)的定義域為(-1,+∞),f′(x)=.
①當1<a<2時,若x∈(-1,a2-2a),則f′(x)>0,f(x)在(-1,a2-2a)是增函數(shù);
若x∈(a2-2a,0),則f′(x)<0,f(x)在(a2-2a,0)是減函數(shù);
若x∈(0,+∞),則f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)是增函數(shù).
②當a=2時,f′(x)≥0,f′(
18、x)=0成立當且僅當x=0,f(x)在(-1,+∞)是增函數(shù).
③當a>2時,若x∈(-1,0),則f′(x)>0,f(x)在(-1,0)是增函數(shù);
若x∈(0,a2-2a),則f′(x)<0,f(x)在(0,a2-2a)是減函數(shù);
若x∈(a2-2a,+∞),則f′(x)>0,f(x)在(a2-2a,+∞)是增函數(shù).
8.設(shè)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).
(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(2)討論g(x)與g()的大小關(guān)系;
(3)求a的取值范圍,使得g(a)-g(x)<對任意x>0成立.
[分析] (1)先求f′
19、(x),寫出g(x),對g(x)求導(dǎo),g′(x)>0求得增區(qū)間,g′(x)<0求得減區(qū)間;
(2)作差構(gòu)造函數(shù)h(x)=g(x)-g(),對h(x)求導(dǎo),判定其單調(diào)性,進一步求出最值,與0比較大小;
(3)利用(1)的結(jié)論求解.
[解析] (1)f(x)=lnx,∴f′(x)=,g(x)=lnx+.
∴g′(x)=,令g′(x)=0得x=1,
當x∈(0,1)時,g′(x)<0,∴(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間
當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0.∴(1,+∞)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間
因此當x=1時g(x)取極小值,且x=1是唯一極值點,從而是最小值點
20、.
所以g(x)最小值為g(1)=1.
(2)g()=-lnx+x
令h(x)=g(x)-g()=2lnx-x+,h′(x)=-,
當x=1時,h(1)=0,即g(x)=g(),
當x∈(0,1)∪(1,+∞)時h′(x)<0,h′(1)=0,所以h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減
當x∈(0,1)時,h(x)>h(1)=0,即g(x)>g()
當x∈(1,+∞)時,h(x)<h(1)=0,即g(x)<g()
綜上知,當x∈(0,1)時,g(x)>g(),
當x=1時,g(x)=g()
當x∈(1,+∞)時,g(x)<g()
(3)由(1)可知g(x)最小值為1,
所以g(a)-g(x)<對任意x>0成立等價于g(a)-1<,即lna<1,解得0<a<e.
所以a的取值范圍是(0,e)
[點評] 本題考查了求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不等式恒成立等知識以及分類計論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.