新版高中數學北師大版必修5 第三章3.2 基本不等式與最大小值 作業(yè) Word版含解析

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1、新版數學北師大版精品資料新版數學北師大版精品資料 學業(yè)水平訓練 1已知 a，bR，且 a2b24，那么 ab( ) A有最大值 2，有最小值2 B有最大值 2，但無最小值 C有最小值 2，但無最大值 D有最大值 2，有最小值 0 解析：選 A.這里沒有限制 a，b 的正負，則由 a2b24，a2b22|ab|，得|ab|2，所以2ab2，可知 ab 的最大值為 2，最小值為2. 2若 x4，則函數 yx1x4( ) A有最大值6 B有最小值 6 C有最大值2 D有最小值 2 解析：選 B.x4，x40，yx1x4(x4)1x44246.當且僅當 x41x4，即 x5 時，取“”號 3已知 x、

2、y 為正實數，且 x4y1，則 xy 的最大值為( ) A.14 B.18 C.116 D.132 解析：選 C.x、y 為正實數，xy14x4y14x4y22116，當且僅當 x4y 且 x4y1，即 x12，y18時取等號 4點 P(x，y)是直線 x3y20 上的動點，則代數式 3x27y有( ) A最大值 8 B最小值 8 C最小值 6 D最大值 6 解析：選 C.點 P(x，y)在直線 x3y20 上， x3y2. 3x27y3x33y2 3x33y2 3x3y2 326.當且僅當 x3y，即 x1，y13時，等號成立代數式 3x27y有最小值 6. 5將一根鐵絲切割成三段，做一個面

3、積為 2 m2、形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費最少)的是( ) A6.5 m B6.8 m C7 m D7.2 m 解析：選 C.設兩直角邊分別為 a、b，直角三角形的框架的周長為 l，則12ab2，lab a2b22 ab 2ab42 26.828(m)故選 C. 6已知 x，y 都是正數， (1)如果 xy15，則 xy 的最小值是_； (2)如果 xy15，則 xy 的最大值是_ 解析：(1)因為 x，y 都是正數，且 xy15，由基本不等式得 xy2 xy2 15.當且僅當 xy 15時，取等號 (2)因為 x，y 都是正數，且 xy15，由基本

4、不等式得 xyxy2215222254.當且僅當 xy7.5 時，取等號 答案：(1)2 15 (2)2254 7一批救災物資隨 26 輛汽車從某市以 v 千米/時的速度勻速直達災區(qū)，已知兩地公路線長 400 千米，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于v202千米，那么這批物資全部到達災區(qū)，最少需要_小時 解析： 從第一輛車出發(fā)到最后一輛車到達目的地共需要的時間 y400v25v202v400v25v4002400v25v40010.當且僅當 v80 時，等號成立 答案：10 8有下面四個推導過程： a，b(0，)， baab2baab2； x，y(0，)， lg xlg y2 lg xlg

5、y； aR，a0， 4aa24aa4； x，yR，xy0， xyyxxyyx 2xyyx2. 其中正確推導過程的序號為_ 解析：從基本不等式成立的條件考慮 a，b(0，)， ba，ab(0，)，符合基本不等式的條件，故推導正確； 雖然 x，y(0，)，但當 x(0，1)時，lg x 是負數，y(0，1)時，lg y 是負數， 故的推導過程是錯誤的； 的推導過程中 aR，不符合基本不等式的條件， 故4aa24aa4 是錯誤的 對于，由 xy0，求證：x22x132. 證明：x0，x120，x22x1x1x12x121x12122x121x121232.當且僅當 x121x12，即 x12時等號成

6、立 10用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻，且表面積為 2 平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖所示)，設容器高為 h 米，蓋子邊長為 a 米 (1)求 a 關于 h 的解析式； (2)設容器的容積為 V 立方米，則當 h 為何值時，V 最大？并求出 V 的最大值(求解本題時，不計容器厚度) 解：(1)設 h是正四棱錐的斜高，由題設，得 a2412ha2，h214a2h2，消去 h， 解得 a1h21(a0) (2)由 V13a2hh3（h21）(h0)， 得 V13h1h.而 h1h2h1h2. 所以 V16，當且僅當 h1h，即 h1 時，等號成立 故當 h1 米時，V 有最大值，V 的最大值為16立

7、方米 高考水平訓練 1在區(qū)間12，2 上，函數 f(x)x2bxc(b，cR)與 g(x)x2x1x在同一點取得相同的最小值，那么 f(x)在區(qū)間12，2 上的最大值是( ) A.134 B4 C8 D.54 解析：選 B.g(x)x2x1xx1x13，當且僅當 x1 時，等號成立，即當 x1 時取最小值 3，所以 f(x)的對稱軸是 x1，所以 b2.再把(1，3)代入即得 c4.所以 f(x)x22x4，易得在12，2 上的最大值是 f(2)4444. 2若實數 a，b，c 滿足 2a2b2ab，2a2b2c2abc，則 c 的最大值是_ 解析：2a2b2ab， 2ab2a2b2 2a2b

8、2 2ab，即 2ab2 2ab. 2ab4. 又2a2b2c2abc， 2ab2c2ab2c，即 2c2ab()2c1 . 2c2c12ab4，即2c2c14，432c2c10， 2c43，clog2432log23， c 的最大值為 2log23. 答案：2log23 3(1)若 x、yR，且 2x8yxy0，求 xy 的最小值； (2)若 x1，求 yx23x3x1的最小值 解：(1)由 2x8yxy0，得 2x8yxy， x、yR，2y8x1， xy(xy)8x2y108yx2xy1024yxxy10224yxxy18. 當且僅當4yxxy，即 x2y 時取等號，又 2x8yxy0，

9、當 x12，y6 時，xy 取最小值 18. (2)法一：yx23x3x1（x1）2x2x1 （x1）2（x1）1x1(x1)1x11. x1，x10.y(x1)1x11213. 當且僅當 x11x1，即 x0 時，函數有最小值 3. 法二：令 x1t，則 xt1. yx23x3x1（t1）23（t1）3t t2t1tt1t1. x1，tx10. yt1t12t1t13. 當且僅當 t1t，即 t1，即 x0 時，函數有最小值 3. 4 某工廠擬建一座平面圖為矩形， 面積為 200 m2， 高度一定的三段污水處理池(如圖) 由于受地形限制，其長、寬都不能超過 16 m，如果池的外壁的建造費單價

10、為 400 元/m，池中兩道隔墻的建造費單價為 248 元/m，池底的建造費單價為 80 元/m2，試設計水池的長 x 和寬y(xy)，使總造價最低，并求出這個最低造價 解：設污水池長為 x m，則寬 y200 x m，且 0 x16，0200 x，設總造價為Q(x)，則 Q(x)400(2x2200 x)2482200 x80200800(x324x)16 0001 600 x324x16 00044 800.當且僅當 x324x(x0)，即 x18 時取等號，44 800 不是最小值 又0 x16，0200 x， 10 2x16，而 Q(x)在(10 2，16上單調遞減， Q(x)Q(16)800(1632416)16 00045 000(元) 故水池長為 16 m，寬為 12.5 m 時，其總造價最低，最低造價為 45 000 元