高中數學北師大版必修3教學案：第三章 167;3 模擬方法——概率的應用 Word版含解析

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1、20192019 版數學精品資料（北師大版）版數學精品資料（北師大版）模擬方法模擬方法概率的應用概率的應用預習課本預習課本 P150152，思考并完成以下問題思考并完成以下問題(1)幾何概型的定義是什么？幾何概型的定義是什么？(2)古典概型與幾何概型有什么區(qū)別？古典概型與幾何概型有什么區(qū)別？(3)幾何概型的概率公式是什么？幾何概型的概率公式是什么？新知初探新知初探1幾何概型的定義幾何概型的定義向平面上有限區(qū)域向平面上有限區(qū)域(集合集合)G 內隨機地投擲點內隨機地投擲點 M， 若點若點 M 落在子區(qū)域落在子區(qū)域 G1G 的概率與的概率與 G1的面積成的面積成正比正比，而與而與 G 的形狀的形狀、

2、位置無關位置無關，即即 P(點點 M 落在落在 G1)G1的面積的面積G 的面積的面積，則稱這種模型則稱這種模型為幾何概型為幾何概型幾何概型中的幾何概型中的 G 也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應的概率是也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應的概率是體積體積之比或之比或長度長度之比之比2幾何概型的特點幾何概型的特點(1)無限性，在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結果有無限個，即有無限個不同的基本事件；無限性，在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結果有無限個，即有無限個不同的基本事件；(2)等可能性，每個基本事件發(fā)生的可能性等可能性，每個基本事件發(fā)生的可能性(概率概率)是均等的是均等的因此，幾何概型適用于試驗結果

3、有無限多個且各個結果等可能發(fā)生的概率模型，主要因此，幾何概型適用于試驗結果有無限多個且各個結果等可能發(fā)生的概率模型，主要解決有關長度、面積、體積的概率問題解決有關長度、面積、體積的概率問題小試身手小試身手1判斷正誤判斷正誤(正確的打正確的打“”“”，錯誤的打，錯誤的打“”“”)(1)幾何概型的概率計算與構成事件的區(qū)域形狀有關幾何概型的概率計算與構成事件的區(qū)域形狀有關()(2)幾何概型中基本事件有無限個，而古典概型中基本事件有有限個幾何概型中基本事件有無限個，而古典概型中基本事件有有限個()(3)幾何概型中每個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，而古典概型中每個基本事件出現(xiàn)的幾何概型中每個基本事件出現(xiàn)的

4、可能性不相等，而古典概型中每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等可能性相等()答案：答案：(1)(2)(3)2取一根長度為取一根長度為 4 m 的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于 1 m的概率是的概率是_解析解析：把繩子把繩子 4 等分等分，當剪斷點位于中間當剪斷點位于中間 2 m 時時，兩段繩子都不少于兩段繩子都不少于 1 m，故所求概率故所求概率為為 P2412.答案：答案：123 在如圖所示的正方形中隨機擲一粒豆子在如圖所示的正方形中隨機擲一粒豆子，豆子落在正方形內切圓的上半圓豆子落在正方形內切圓的上半圓(圓中陰影圓中陰影部分部

5、分)中的概率是中的概率是_解析：解析：設正方形的邊長為設正方形的邊長為 2，則豆子落在正方形內切圓的上半圓中的概率為，則豆子落在正方形內切圓的上半圓中的概率為121248.答案：答案：8與長度與長度(角度角度)有關的幾何概型有關的幾何概型典例典例在圓心角為在圓心角為 90的扇形的扇形 AOB 中，以圓心中，以圓心 O 為起點作射線為起點作射線 OC，求使得，求使得AOC和和BOC 都不小于都不小于 30的概率的概率解解以以 O 為起點作射線為起點作射線 OC 是隨機的是隨機的， 而射線落在而射線落在AOB 內的任何位置是等可能的內的任何位置是等可能的，作作AODBOE30， 則則OC落在落在D

6、OE內符合題目要求內符合題目要求， OC落在落在DOE內只與內只與DOE的大小有關的大小有關，符合幾何概型的特點符合幾何概型的特點設事件設事件 A 為為“射線射線 OC 落在落在DOE 內內”事件事件 A 的度量的度量是是 90303030， 試驗的全部結果的度量是試驗的全部結果的度量是 90， 由幾何概型的概率公式得由幾何概型的概率公式得 P(A)309013.如果試驗的結果所構成的區(qū)域的幾何度量能轉化為實際意義上的線段長度，這種概率如果試驗的結果所構成的區(qū)域的幾何度量能轉化為實際意義上的線段長度，這種概率稱為長度型的幾何概型可按下列公式來計算其概率：稱為長度型的幾何概型可按下列公式來計算其

7、概率：P(A)事件事件 A 構成的區(qū)域長度構成的區(qū)域長度角度角度全部試驗結果構成的區(qū)域長度全部試驗結果構成的區(qū)域長度角度角度.活學活用活學活用某人欲從某車站乘車出差，已知該人能乘坐的車均為每小時一班，且車會在站內停某人欲從某車站乘車出差，已知該人能乘坐的車均為每小時一班，且車會在站內停留留 5 min 等待旅客上車求此人等待時間不多于等待旅客上車求此人等待時間不多于 10 min 即可上車的概率即可上車的概率解解：設事件設事件 A 為為“等待上車的時間不多于等待上車的時間不多于 10 min”，設汽車在時刻設汽車在時刻 60 min 時開走時開走，則則汽車在時刻汽車在時刻 55 min 時進站

8、上人，所以此人只要在時刻時進站上人，所以此人只要在時刻 45 min 之后到達車站即可之后到達車站即可所以此人到達車站的時刻位于所以此人到達車站的時刻位于45,60這一時間段內，因此由幾何概型的概率公式，這一時間段內，因此由幾何概型的概率公式，得得P(A)60456014，即此人等待上車時間不多于，即此人等待上車時間不多于 10 min 的概率為的概率為14.與面積有關的幾何概型與面積有關的幾何概型典例典例向面積為向面積為 S 的矩形的矩形 ABCD 內任投一點內任投一點 P，試求，試求PBC 的面積小于的面積小于S4的概率的概率解解如圖所示如圖所示，設設PBC 的邊的邊 BC 上的高為上的高

9、為 PF，線段線段 PF 所在的所在的直線交直線交 AD 于點于點 E，當，當PBC 的面積等于的面積等于S4時，即時，即12BCPF14BCEF，所以所以 PF12EF， 過點過點 P 作作 GH 平行于平行于 BC 交交 AB 于于 G， 交交 CD 于于 H，所以滿足所以滿足 SPBCS4的點的點 P 的軌跡是線段的軌跡是線段 GH.所以滿足條件所以滿足條件“PBC 的面積小于的面積小于S4”的點的點 P 應落在矩形區(qū)域應落在矩形區(qū)域 GBCH 內內設設“PBC 的面積小于的面積小于S4”為事件為事件 A，所以由幾何概型的概率公式得所以由幾何概型的概率公式得 P(A)S2S12.所以所以

10、PBC 的面積小于的面積小于S4的概率是的概率是12.在研究射擊在研究射擊、 射箭射箭、 投中投中、 射門等實際問題時射門等實際問題時， 常借助于區(qū)域的面積來計算概率的值常借助于區(qū)域的面積來計算概率的值 此此時 ， 只 需 分 清 各 自 區(qū) 域 特 征 ， 分 別 計 算 其 面 積 ， 以 公 式時 ， 只 需 分 清 各 自 區(qū) 域 特 征 ， 分 別 計 算 其 面 積 ， 以 公 式 P(A) 構成事件構成事件 A 的區(qū)域面積的區(qū)域面積試驗的全部結果構成的區(qū)域面積試驗的全部結果構成的區(qū)域面積計算事件的概率即可計算事件的概率即可活學活用活學活用設不等式組設不等式組0 x2，0y2表示的

11、平面區(qū)域為表示的平面區(qū)域為 D.在區(qū)域在區(qū)域 D 內隨機取一個點內隨機取一個點，則此點到坐則此點到坐標原點的距離大于標原點的距離大于 2 的概率是的概率是()A.4B.22C.6D.44解析：解析：選選 D畫草圖易知區(qū)域畫草圖易知區(qū)域 D 是邊長為是邊長為 2 的正方形，到原點的距離大于的正方形，到原點的距離大于 2 的點在以的點在以原點為圓心，原點為圓心，2 為半徑的圓的外部，所以所求的概率為為半徑的圓的外部，所以所求的概率為2214222244.與體積有關的幾何概型與體積有關的幾何概型典例典例有一個底面圓的半徑為有一個底面圓的半徑為 1、高為高為 2 的圓柱的圓柱，點點 O 為這個圓柱底面

12、圓的圓心為這個圓柱底面圓的圓心，在在這個圓柱內隨機取一點這個圓柱內隨機取一點 P，則點，則點 P 到點到點 O 的距離大于的距離大于 1 的概率為的概率為_解析解析先求點先求點 P 到點到點 O 的距離小于的距離小于 1 或等于或等于 1 的概率，圓柱的體積的概率，圓柱的體積 V圓柱圓柱1222，以，以 O 為球心，為球心，1 為半徑且在圓柱內部的半球的體積為半徑且在圓柱內部的半球的體積 V半球半球12431323.則點則點 P 到到點點 O 的距離小于的距離小于 1 或等于或等于 1 的概率為的概率為：23213，故點故點 P 到點到點 O 的距離大于的距離大于 1 的概率為的概率為：113

13、23.答案答案23在一個幾何概型中，如果試驗的結果所構成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概在一個幾何概型中，如果試驗的結果所構成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計算公式為率的計算公式為 P(A)構成事件構成事件 A 的區(qū)域體積的區(qū)域體積試驗的全部結果所構成的區(qū)域體積試驗的全部結果所構成的區(qū)域體積.活學活用活學活用已知正方體已知正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為的棱長為 1，在正方體內隨機取一點，在正方體內隨機取一點 M，求使四棱，求使四棱錐錐MABCD 的體積不超過的體積不超過16(事件事件 A)的概率的概率解：解：設設 M 到平面到平面 ABCD 的距離為的距離為 h，則，則

14、 VMABCD13S四邊形四邊形ABCDh16.又又 S四邊形四邊形ABCD1，所以只要所以只要 h12即可所有滿足即可所有滿足 h12的點組成以四邊形的點組成以四邊形 ABCD 為底面，為底面，12為高的長方體，其為高的長方體，其體積為體積為12.又正方體的體積又正方體的體積為為 1， 所以使四棱所以使四棱錐錐 MABCD 的體積不超過的體積不超過16(事事件件 A)的概率的概率為為 P(A)12112.層級一層級一學業(yè)水平達標學業(yè)水平達標1灰太狼和紅太狼計劃在某日灰太狼和紅太狼計劃在某日 12：0018：00 這個時間段內外出捉羊，則灰太狼和這個時間段內外出捉羊，則灰太狼和紅太狼在紅太狼在

15、 14：0015：00 之間出發(fā)的概率為之間出發(fā)的概率為()A.12B.13C.14D.16解析：解析：選選 DP1514181216.2在在 500 mL 的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出 2 mL 水樣放到顯微鏡下觀察，水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率為則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率為()A0B0.002C0.004D1解析：解析：選選 C由幾何概型公式得由幾何概型公式得 P25000.004.3.如圖所示如圖所示，一半徑為一半徑為 2 的扇形的扇形(其中扇形圓心角為其中扇形圓心角為 90)，在其內部在其內部隨機地撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為隨機地撒

16、一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為_解析：解析：S扇形扇形1422，S陰影陰影S扇形扇形SOAB12222，P212.答案：答案：124在區(qū)間在區(qū)間2，3上隨機選取一個數上隨機選取一個數 X，則，則 X1 的概率為的概率為_解析：解析：總長度為總長度為 5，而滿足條件的區(qū)間為，而滿足條件的區(qū)間為2，1，長度為，長度為 3，故所求概率為，故所求概率為35.答案：答案：35層級二層級二應試能力達標應試能力達標1已知函數已知函數 f(x)log2x，x12，2，在區(qū)間，在區(qū)間12，2上任取一點上任取一點 x0，則使，則使 f(x0)0 的概的概率為率為()A1B.12C.23D.34解析：解析：選選

17、 C欲使欲使 f(x)log2x0，則則 x1，而，而 x12，2，x01,2，從而由幾何概型概率公式知所求概率從而由幾何概型概率公式知所求概率 P2121223.2已知正三棱錐已知正三棱錐 SABC 的底面邊長為的底面邊長為 4，高為，高為 3，在正三棱錐內任取一點，在正三棱錐內任取一點 P，使，使得得VPABC12VSABC的概率是的概率是()A.34B.78C.12D.14解析解析：選選 B由由 VPABC12VSABC知知，P 點在三棱錐點在三棱錐 SABC 的中截面的中截面 A0B0C0的下方的下方，P1VSA0B0C0VSABC11878.3.如圖如圖，在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 ABC

18、D 的的 A，C 兩點處各有一個通信基站兩點處各有一個通信基站，假設其信號的覆蓋范圍假設其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域分別是扇形區(qū)域 ADE 和扇形區(qū)域和扇形區(qū)域 CBF(該矩形區(qū)域內無其他信號來源，該矩形區(qū)域內無其他信號來源，基站工作正常基站工作正常)若在該矩形區(qū)域內隨機地選一地點，則該地點無信號的若在該矩形區(qū)域內隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是概率是()A14B.21C22D.4解析：解析：選選 A由題意知，兩個四分之一圓補成半圓，其面積為由題意知，兩個四分之一圓補成半圓，其面積為12122，矩形面積，矩形面積為為 2，則所求概率為，則所求概率為22214.4已知集合已知集合 Ax|

19、1x5，Bx|2x3，在集合在集合 A 中任取一個元素中任取一個元素 x，則事件則事件“xAB”的概率為的概率為()A.16B.13C.23D.45解析解析： 選選 AABx|2x3， 因為集合因為集合 A 表示的區(qū)間長度為表示的區(qū)間長度為 5(1)6， 集合集合 AB表示的區(qū)間長度為表示的區(qū)間長度為 321.故事件故事件“xAB”的概率為的概率為16.5一只小蜜蜂在一個棱長為一只小蜜蜂在一個棱長為 3 的正方體容器內自由飛行的正方體容器內自由飛行，若小蜜蜂在飛行過程中始終若小蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體的保持與正方體的 6 個表面的距離均大于個表面的距離均大于 1，則稱其為則稱其為“安全

20、飛行安全飛行”則小蜜蜂則小蜜蜂“安全飛行安全飛行”的概率為的概率為_解析解析：棱長為棱長為 3 的正方體的體積為的正方體的體積為 33327，而小蜜蜂若要而小蜜蜂若要“安全飛行安全飛行”，則需控則需控制在以原正方體中心為中心的棱長為制在以原正方體中心為中心的棱長為 1 的小正方體內部，故小蜜蜂飛行區(qū)域的體積的小正方體內部，故小蜜蜂飛行區(qū)域的體積為為1111.根據幾何概型的概率公式，可得小蜜蜂根據幾何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飛行安全飛行”的概率為的概率為127.答案：答案：1276A 是圓上的一定點，在圓上其他位置任取一點是圓上的一定點，在圓上其他位置任取一點 B，連接，連接 A，B 兩

21、點，它是一條弦，兩點，它是一條弦，則它的長度大于等于半徑長度的概率為則它的長度大于等于半徑長度的概率為_解析解析：如圖如圖，當取點落在當取點落在 B、C 兩點時兩點時，弦長等于半徑弦長等于半徑；當取點落在劣當取點落在劣弧弧上時，弦長小于半徑；當取點落在優(yōu)弧上時，弦長小于半徑；當取點落在優(yōu)弧上時，弦長大于半徑所上時，弦長大于半徑所以弦長超過半徑的概率以弦長超過半徑的概率 P36012036023.答案：答案：237 如圖所示如圖所示， 圖圖(2)中實線圍成的部分是長方體中實線圍成的部分是長方體(圖圖(1)的平面展開圖的平面展開圖， 其中四邊形其中四邊形 ABCD是邊長為是邊長為 1 的正方形若向

22、虛線圍成的矩形內任意拋擲一質點，它落在長方體的平面展開的正方形若向虛線圍成的矩形內任意拋擲一質點，它落在長方體的平面展開圖內的概率是圖內的概率是14，則此長方體的體積是，則此長方體的體積是_解析解析：設長方體的高為設長方體的高為 h，由幾何概型的概率計算公式可知由幾何概型的概率計算公式可知，質點落在長方體的平面展質點落在長方體的平面展開圖內的概率開圖內的概率 P24h 2h2 2h1 14，解得，解得 h3 或或 h12(舍去舍去)，故長方體的體積為故長方體的體積為 1133.答案：答案：38已知正方體已知正方體 ABCDA1B1C1D1，棱長為，棱長為 a，在正方體內隨機取點，在正方體內隨機

23、取點 M.(1)求求 M 落在三棱柱落在三棱柱 ABCA1B1C1內的概率；內的概率；(2)求求 M 落在三棱錐落在三棱錐 BA1B1C1內的概率；內的概率；(3)求求 M 與平面與平面 ABCD 的距離大于的距離大于a3的概率；的概率；(4)求求 M 與平面與平面 ABCD 及平面及平面 A1B1C1D1的距離都大于的距離都大于a3的概率的概率解：解：V正方體正方體a3.(1)V 三棱柱三棱柱 ABCA1B1C112a2a12a3，所求概率所求概率 P112.(2)V 三棱錐三棱錐 BA1B1C113SA1BB1B1C11312a2a16a3，所求概率所求概率 P216.(3)P3VE1F1

24、G1H1A1B1C1D1V正方體正方體23a3a323.(4)P4VE1F1G1H1E2F2G2H2V正方體正方體13.9已知圓已知圓 C：x2y212，直線，直線 l：4x3y25.(1)求圓求圓 C 的圓心到直線的圓心到直線 l 的距離；的距離；(2)求圓求圓 C 上任意一點上任意一點 A 到直線到直線 l 的距離小于的距離小于 2 的概率的概率解：解：(1)由點到直線由點到直線 l 的距離公式可得的距離公式可得 d2542325.(2)由由(1)可知圓心到直線可知圓心到直線 l 的距離為的距離為 5，要使圓上的點到直線的距離小于要使圓上的點到直線的距離小于 2，設與圓相交設與圓相交且與直線且與直線 l 平行的直線為平行的直線為 l1，其方程為，其方程為 4x3y15.則符合題意的點應在則符合題意的點應在 l1：4x3y15 與與圓相交所得劣弧上，由半徑為圓相交所得劣弧上，由半徑為 2 3，圓心到直線，圓心到直線 l1的距離為的距離為 3 可知劣弧所對圓心角為可知劣弧所對圓心角為 60.故所求概率為故所求概率為 P6036016.