高中數學北師大版必修四教學案：第一章 章末小結與測評 Word版含答案

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1、20192019 版數學精品資料（北師大版）版數學精品資料（北師大版）一、角的概念1角不僅有大小而且有正負，角的概念的推廣重在“旋轉”兩字其旋轉方向決定了角的正負，由此確定了角的分類2象限角及非象限角，都是相對于坐標系而言的，應注意平面直角坐標系的建立方法，即角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，只有在這一前提下，才能討論象限角與非象限角3 終 邊 相 同 的 角 有 無 數 個 ， 在 所 有 與 角終 邊 相 同 的 角 的 集 合 可 表 示 為S|k360，kZ Z.終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同二、角度制與弧度制弧度制是以“弧度”為單位來度量角的單位制，

2、而角度制是以“度”為單位來度量角的單位制，兩種單位不能混用，如6k360或 602k，kZ Z 的寫法是不允許的，尤其是當角是用字母表示時更要注意，如角是在弧度制下，就不能寫成k360，kZ Z 等三、三角函數的定義1三角函數的定義有兩種(1)角的終邊上任取一點P(x，y)，|OP|r，則 sinyr，cosxr；tanyx.(2)角的終邊與以原點為圓心， 以單位長為半徑的圓交于點P(x，y)， 則 siny， cosx，tanyx.2用三角函數線解基本的三角不等式的步驟為：(1)先作出取等號的角；(2)利用三角函數線的直觀性，在單位圓中確定滿足不等式的角范圍3誘導公式2k，2，2的誘導公式可

3、歸納為：k2(kZ Z)的三角函數值當k為偶數時，得的同名三角函數值；當k為奇數時，得的余名三角函數值，然后在前面加上一個把看成銳角時原函數值的符號，概括為“奇變偶不變，符號看象限”，這里的奇偶指整數k的奇偶四、三角函數的圖像與性質ysinxycosxytanx圖像定義域(，)x|xR R，x2k，kZ Z值域1,1(，)周期性周期T2周期T奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性在2k2，2k2(kZ Z)上增；在2k2，2k32(kZ Z)上減在2k，2k(kZ Z)上增；在2k，2k(kZ Z)上減在(k2，k2)(kZ Z)上增對稱軸xk2(kZ Z)xk(kZ Z)_對稱中心(k，0)(kZ

4、Z)(k2，0)(kZ Z)(k2，0)(kZ Z)五、函數yAsin(x)的圖像1由ysinx的圖像變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖像(1)三角函數圖像的變化規(guī)律和方法，由ysinxysin(x)，此步驟只是平移，而由ysinxysin(x)可由兩條思路：ysinxysin(x)ysin(x)即先平移后伸縮；ysinxysinxysin(x)即先伸縮再平移不論哪一條路徑，每一次變換都是對字母x而言的(2)“先平移后伸縮”和“先伸縮后平移”，兩條路徑平移的單位不同 ；“先平移后伸縮”平移|個單位， “先伸縮后平移”則須平移|個單位主要程序如下：ysinx平移變換平移|個單位ysin(x) 周期變換

5、ysin(x) 振幅變換yAsin(x)；ysinx周期變換ysinx平移變換平移|個單位ysin(x) 振幅變換yAsin(x)2由圖像確定函數yAsin(x)的解析式，主要從以下三個方面來考慮(1)A的確定：根據圖像的“最高點、最低點”確定A.(2)的確定：結合圖像先求周期T，然后由T2(0)確定.(3)的確定：根據函數yAsin(x)最開始與x軸的交點(靠近原點)的橫坐標為即令x0，x確定.3函數yAsin(x)的性質(1)求形如yAsin(x)(其中A0，0)的函數的單調區(qū)間，可以通過列不等式的方法求解，列不等式的原則是：把“x”視為一個“整體”；再根據ysinx的增減區(qū)間列不等式(2

6、)對于函數yAsin(x)(A0，0)，當k，kZ Z 時，是奇函數；當2k，kZ Z 時，是偶函數(3)函數yAsin(x)的周期T2|.典例 1已知f()sin2 cos32tan（5）tan（）sin（3），(1)化簡f()；(2)若133，求f()的值解(1)f()cos（sin）tan（tan） （sin）cos.(2)f133cos133cos3253cos53cos312.借題發(fā)揮(1)靈活運用誘導公式進行化簡，主要是進行角的轉化，以達到統(tǒng)一角的目的；(2)在求值中有已知三角函數值求值與已知角求值兩種情況，已知三角函數值求值時，要分清已知的三角函數與未知的三角函數之間的關系，特別

7、是角的關系；已知角求值時，利用誘導公式對點訓練1已知 cos(3)13，求cos（）coscos（）1cos（2）sin32cos（）sin32的值解：cos(3)13，cos13即 cos13.原式coscos（cos1）cos（2）sin32cos（）cos11coscoscos2cos11cos11cos21cos22113294.典例 2求下列函數的定義域：(1)ysinxcosxtanx；(2)y sinxtanx.解(1)要使函數有意義，必須使 tanx有意義，且 tanx0.有xk2，xk.(kZ Z)函數ysinxcosxtanx的定義域為x|xk2，kZ Z.(2)當 sin

8、x0 且 tanx有意義時，函數有意義，有2kx（2k1），xk2.(kZ Z)函數y sinxtanx的定義域為2k，2k2 2k2， （2k1）(kZ Z)借題發(fā)揮1.求三角函數的定義域事實上就是解最簡單的三角不等式(組)，通?？捎萌呛瘮档膱D像或單位圓來求解2求三角函數的值域(最值)問題常用的方法有：(1)將所給的三角函數轉化為二次函數并通過配方法求值域(最值)；(2)將所給的函數轉化為sin(x)或 cos(x)的函數，利用 sinx，cosx的有界性求值域對點訓練2已知函數ylg cos 2x，求它的定義域和值域解：函數f(x)lg cos 2x有意義，則 cos 2x0，即2k22

9、x2k2，kZ Z，解得k4xk4，kZ Z.函數的定義域為x|k4xk4，kZ Z由于 00，0)的一段圖像(1)求此函數解析式；(2)說明該函數是如何通過ysinx變換得來的？解(1)由圖像知A1232212，k123221，T2236 ，2T2.y12sin(2x)1.當x6時，262，6.所求函數解析式為y12sin2x6 1.(2)把ysinx向左平移6個單位，得到y(tǒng)sinx6 ，然后縱坐標保持不變、橫坐標縮短為原來的12，得到y(tǒng)sin2x6 ，再橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?2得到y(tǒng)12sin2x6 ，最后把函數y12sin2x6 的圖像向下平移 1 個單位，得到y(tǒng)12sin2

10、x6 1 的圖像借題發(fā)揮三角函數的圖像是研究三角函數性質的基礎， 又是三角函數性質的具體體現 在平時的考查中，主要體現在三角函數圖像的變換和解析式的確定，以及通過對圖像的描繪、觀察來討論函數的有關性質具體要求：(1)用“五點法”作yAsin(x)的圖像時， 確定五個關鍵點的方法是分別令x0，2，32，2.(2)對于yAsin(x)的圖像變換，應注意先“平移”后“伸縮”與先“伸縮”后“平移”的區(qū)別(3)已知函數圖像來求函數yAsin(x)(A0，0)的解析式時，要先求A、，再求.對點訓練3若函數f(x)Asin(2x)(A0，0)在x6處取得最大值，且最大值為 3，求函數f(x)的解析式解：因為

11、函數f(x)最大值為 3，所以A3，又當x6時函數f(x)取得最大值，所以sin31，因為 00，0，)在x6處取得最大值 2，其圖像與x軸的相鄰兩個交點的距離為2.(1)求f(x)的解析式；(2)求函數g(x)6cos4xsin2x1fx6的值域(提示：cos 2x2cos2x1)解(1)由題設條件知f(x)的周期T，即2，解得2.因f(x)在x6處取得最大值 2，所以A2.從而 sin261，所以322k，kZ Z.又由0)在區(qū)間0，3 上是增加的，在區(qū)間3，2 上是減小的，則()A3B2C.32D.23解析：選 C由題意知，函數在x3處取得最大值 1，所以 1sin3，32.5函數y3s

12、in4x的一個單調遞減區(qū)間為()A.2，2B.4，34C.34，74D.34，4解析：選 By3sin4x3sinx4 ，檢驗各選項知，只有 B 項中的區(qū)間是單調遞減區(qū)間6(全國高考)若函數f(x)sinx3，0，2是偶函數，則()A.2B.23C.32D.53解析：選 C若f(x)為偶函數，則f(0)1，即 sin31，3k2(kZ Z)3k32(kZ Z)只有 C 項符合7(山東高考)函數y2sinx63 (0 x9)的最大值與最小值之和為()A2 3B0C1D1 3解析：選 A當 0 x9 時，3x6376，32sinx63 1，所以函數的最大值為 2，最小值為 3，其和為 2 3.8方

13、程|x|cosx在(，)內()A沒有根B有且僅有一個根C有且僅有兩個根D有無窮多個根解析：選 C構造兩個函數y|x|和ycosx，在同一個坐標系內畫出它們的圖像，如圖所示，觀察圖像知有兩個公共點，所以已知方程有且僅有兩個根9. 已知函數圖像的一部分如圖，則函數的解析式是()Aysinx6Bysin2x6Cycos4x3Dycos2x6解析：選 D由圖像知T4126 .2，排除選項 A、C.圖像過12，1代入選項 B，f12 sin2126 01，故 B 錯誤10 如果函數y3cos(2x)的圖像關于點(43， 0)中心對稱， 那么|的最小值為()A.6B.4C.3D.2解析：選 A函數y3co

14、s(2x)的圖像關于點(43，0)中心對稱，243k2(kZ Z)k136(kZ Z)，由此易得|min6.二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上)11設扇形的半徑長為 4 cm，面積為 4 cm2，則扇形的圓心角的弧度數是_解析：由S12r2，得2Sr212.答案：1212已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若p(4，y)是角終邊上一點，且sin2 55，則y_解析：根據正弦值為負數，判斷角在第三、四象限，再加上橫坐標為正，斷定該角為第四象限角，故y0，即 sin2x4 22.設z2x4，則 sinz22.由圖知，42kz542k(kZ Z)

15、，即42k2x4542k(kZ Z)，解得4kx2k(kZ Z)答案：(4k，2k)(kZ Z)三、解答題(本大題共 4 小題，共 50 分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分 12 分)已知f()sin2 cos32tan（）tan（）sin（）.(1)化簡f()；(2)若 sin3215，求f()的值解：(1)原式cossin（tan）tansincos.(2)sin32sin(2)cos，cos15.故f()15.16(本小題滿分 12 分)已知函數f(x)2sin2x3 .(1)當x0，2 時，求f(x)的值域；(2)用五點法作出yf(x)在6，56閉區(qū)間

16、上的簡圖；(3)說明f(x)的圖像可由ysinx的圖像經過怎樣的變化得到？解：(1)x0，2 ，32x343，32sin2x3 1，所求值域為 3，2(2)列表：x6123712562x3023222sin2x302020畫圖(如圖)(3)法一：可由ysinx的圖像先向左平移3個單位長度，再將圖像上各點的橫坐標縮短到原來的12，最后將縱坐標伸長為原來的 2 倍而得到法二：可由ysinx的圖像先將圖像上各點的橫坐標縮短到原來的12，再將圖像向左平移6個單位長度，最后將縱坐標伸長為原來的 2 倍而得到17(本小題滿分 12 分)函數f(x)Asin(x)的圖像如圖，試依圖指出：(1)f(x)的最小

17、正周期；(2)f(x)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；(3)圖像的對稱軸方程與對稱中心解：(1)由圖像知f(x)的最小正周期為 2744 3.(2) 半 個 周 期 是32，432 54， 由 圖 像 可 知 ，f(x) 的 單 調 遞 增 區(qū) 間 是543k，43k(kZ Z)，f(x)的單調遞減區(qū)間是43k，743k(kZ Z)(3)f(x)的圖像的對稱軸方程是x43k2(kZ Z)，對稱中心是23k2，0(kZ Z)18(本小題滿分 14 分)已知函數f(x)2sinx6 ，(00)(1)若函數yf(x)圖像的兩相鄰對稱軸間的距離為2，且它的圖像過(0，1)點，求函數yf(x)的表達式；(2)

18、將(1)中的函數yf(x)的圖像向右平移6個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長到原來的 4 倍，縱坐標不變，得到函數yg(x)的圖像，求函數yg(x)的單調遞增區(qū)間；(3)若f(x)的圖像在xa，a1100 (aR R)上至少出現一個最高點或最低點，求正整數的最小值解：(1)由題意得222，所以2，所以f(x)2sin2x6 .又因為yf(x)的圖像過點(0，1)，sin6 12.又02，3，f(x)2sin2x6 .(2)將f(x)的圖像向右平移6個單位長度后，得到y(tǒng)2sin2x6 的圖像，再將所得圖像上各點的橫坐標伸長到原來的 4 倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)2sin12x6 的圖像即g(x)2sin12x6 .令 2k212x62k2，則 4k23x4k43，(kZ Z)，g(x)的單調遞增區(qū)間為4k23，4k43(kZ Z)(3)若f(x)的圖像在xa，a1100 (aR R)上至少出現一個最高點或最低點，則100，又為正整數，min315.