2020高中數(shù)學北師大版必修三教學案：第三章167;3 模擬方法——概率的應用 Word版含答案

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1、北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料 [核心必知] 1．模擬方法 在大量重復試驗的前提下，可以用隨機事件發(fā)生的頻率來估計其發(fā)生的概率，但確定隨機事件發(fā)生的頻率常常需要人工做大量的重復試驗，既費時又費力，并且有時很難實現(xiàn)．因此，我們可以借助于模擬方法來估計某些隨機事件發(fā)生的概率． 2．幾何概型 (1)定義：向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機地投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，即 P(點M落在G1)＝，則稱這種模型為幾何概型． (2)說明：幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應的概率是體積之比或長度之比． [

2、問題思考] 1．幾何概型的概率計算與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀有關(guān)嗎？ 提示：幾何概型的概率只與它的長度(面積或體積)有關(guān)，而與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無關(guān)． 2．在幾何概型中，如果A為隨機事件，若P(A)＝0，則A一定為不可能事件；若P(A)＝1，則A一定為必然事件，這種說法正確嗎？ 提示：這種說法不正確．如果隨機事件所在的區(qū)域是一個單點，由于單點的長度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，顯然它不是不可能事件；如果一個隨機事件所在的區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件． 講一講 1.取一根長為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長度

3、都不小于1 m的概率有多大？ [嘗試解答]　如圖所示，記事件A＝{剪得兩段繩子長都不小于1 m}，把繩子三等分，于是當剪斷位置處在中間一段上時，事件A發(fā)生． 全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是繩子的長度3 m，事件A包含的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是中間一段的長度為3×＝1(m)，故事件A發(fā)生的概率P(A)＝. 在求解與長度有關(guān)的幾何概型時，首先找到幾何區(qū)域D，這時區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件A發(fā)生對應的區(qū)域d，在找d的過程中，確定邊界點是問題的關(guān)鍵，但邊界點是否取到卻不影響事件A的概率． 練一練 1．在區(qū)間[－1,2]上隨機取一個數(shù)x，則|x|≤

4、1的概率為________． 解析：由|x|≤1得，－1≤x≤1， 故易知所求概率為＝. 答案： 講一講 2.假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30～7：30把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間是7：00～8：00，問你父親在離開家前能拿到報紙(稱為事件A)的概率是多少？ [嘗試解答]　如圖，送報人到達的時間是6：30～7：30的任一時刻，父親離開家去工作的時間是7：00～8：00的任一時刻，如果在直角坐標系內(nèi)以x軸表示報紙送到的時間，y軸表示父親離開家的時間，因為報紙送到的時間和父親離開家的時間都是隨機的，所以隨機試驗的所有結(jié)果(x，y)是圖中所示正方形中等可能的

5、任意一點．事件A(父親離開家前能拿到報紙)發(fā)生須x≤y，即正方形內(nèi)陰影部分，事件A發(fā)生的概率只與陰影部分的面積大小有關(guān)，這符合幾何概型的條件． μA＝12－××＝，μΩ＝1，所以P(A)＝＝. 在研究射擊、射箭、投中、射門等實際問題時，常借助于區(qū)域的面積來計算概率的值．此時，只需分清各自區(qū)域特征，分別計算其面積，以公式P(A)＝ 計算事件的概率即可． 練一練 2．在平面直角坐標系xOy中，設D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點的距離不大于1的點構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨機投一點，則落入E中的概率為________． 解析：如圖所示，

6、區(qū)域D表示邊長為4的正方形的內(nèi)部(含邊界)，區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此P＝＝. 答案： 講一講 3.有一杯2升的水，其中含有一個細菌，用一個小杯從這杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有這個細菌的概率． [嘗試解答]　把判斷這個細菌所在的位置看成一次試驗，設所取的0.1升水中含有這個細菌為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是0.1升，全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是2升，所以P(A)＝＝0.05. 如果試驗的結(jié)果所成的區(qū)域可用體積來度量，我們要結(jié)合問題的背景，選擇好觀察角度，準確找出基本事件所占的總體積及事件A所分布的體積．其概率的計算 P(A)＝. 練一練 3．在棱長為

7、3的正方體內(nèi)任意取一個點，求這個點到各面的距離均大于1的概率． 解：記事件A為“點到各面的距離均大于1”，則滿足題意的點構(gòu)成的區(qū)域為：位于該正方體中心的一個棱長為1的小正方體的內(nèi)部．由幾何概型的計算公式，可得滿足題意的概率為P(A)＝＝. 講一講 4.設A為圓周上一定點，在圓周上等可能的任取一點與A連接，求弦長超過半徑的倍的概率． [嘗試解答]　如圖所示，在⊙O上有一定點A，任取一點B與A連結(jié)，則弦長超過半徑的倍，即為∠AOB的度數(shù)大于90°，而小于270°. 記“弦長超過半徑的倍”為事件C， 則C表示的范圍是∠AOB∈(，)． 則由幾何概型概

8、率的公式，得 P(C)＝＝. 如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率的計算公式為 P(A)＝. 練一練 4．在轉(zhuǎn)盤游戲中，假設轉(zhuǎn)盤有三種顏色：紅、綠、藍．當轉(zhuǎn)盤停止時，如果指針指向紅色為贏，綠色為平，藍色為輸．若每種顏色被平均分成四塊，不同顏色相間排列，要使贏的概率為，輸?shù)母怕蕿?，求每個綠色扇形的圓心角為多少度(假設轉(zhuǎn)盤停止位置都是等可能的)． 解：由于轉(zhuǎn)盤停止旋轉(zhuǎn)時，指針指向每個位置都是等可能的，并且位置是無限多的，所以符合幾何概型的特點，問題轉(zhuǎn)化為求圓盤角度或周期問題． 因為贏的概率為，故紅色所占角度為周角的，即P1＝＝72°.同理

9、，藍色占周角的，即P2＝＝120°， 所以綠色的角度P3＝360°－120°－72°＝168°. 再將P3分成四等份，得P3÷4＝168°÷4＝42°， 即每個綠色扇形的圓心角為42°. 【解題高手】【易錯題】 如圖，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM<AC的概率． [錯解]　在AB上截取線段AC′，使AC′＝AC. 則P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝＝. [錯因]　因為該題所涉及的基本事件是

10、與角度有關(guān)的，而不是在線段AB上取點，即該題是與角度有關(guān)的幾何概型，而不是與長度有關(guān)的幾何概型． [正解]　在AB上取AC′＝AC，則∠ACC′＝＝67.5°. ∴P(AM<AC)＝＝. 1．在500 mL的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出2 mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率為(　　) A．0　　　B．0.002 C．0.004 D．1 解析：選C 由幾何概型公式得：P＝＝0.004. 2．(遼寧高考)在長為12 cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20 cm2的概率為(　　)

11、 A. B. C. D. 解析：選C 設|AC|＝x cm,0<x<12，則|CB|＝(12－x) cm，要使矩形面積大于20 cm2，只要x(12－x)>20，則x2－12x＋20<0,2<x<10，所以所求概率為P＝＝. 3．(湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：選D 由已知，點P的分界點恰好是邊CD的四等分點，由勾股定理可得AB2＝2＋AD2，解得2＝，即＝. 4． 如圖所示，在平面直角坐標系內(nèi)

12、，射線OT落在60°的終邊上，任作一條射線OA，射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率為________． 解析：記B＝{射線OA落在∠xOT內(nèi)}， ∵∠xOT＝60°， ∴P(B)＝＝. 答案： 5．兩根相距6 m的木桿系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于2 m的概率是________． 解析：由題意P＝＝. 答案： 6．國家安全機關(guān)監(jiān)聽錄音機記錄了兩個間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30 min長的磁帶上，從開始30 s處起，有10 s長的一段內(nèi)容包含兩間諜犯罪的信息．后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯了鍵，使從此處

13、起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了．那么由于按錯了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？ 解：記A＝{按錯鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉}，A的發(fā)生就是在0到 min時間段內(nèi)按錯鍵．P(A)＝＝. 一、選擇題 1．在區(qū)間[0,3]上任取一點，則此點落在區(qū)間[2,3]上的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選A 區(qū)間[2,3]長度為1，總區(qū)間[0,3]的長度為3，∴P＝. 2． 如圖，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則陰影區(qū)域的面積為(　　) A. B.

14、 C. D．無法計算 解析：選B 由幾何概型的公式知：＝，又：S正方形＝4，∴S陰影＝. 3．有四個游戲盤，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎．小明希望中獎，他應當選擇的游戲盤為(　　) 解析：選A A游戲盤的中獎概率為，B游戲盤的中獎概率為，C游戲盤的中獎概率為＝，D游戲盤的中獎概率為＝，A游戲盤的中獎概率最大． 4．A是圓上的一定點，在圓上其他位置任取一點B，連接A、B兩點，它是一條弦，則它的長度大于等于半徑長度的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B 如圖，當取點落在B、C兩點時，弦長等于半徑；當取點落在劣弧上時，弦長小于半

15、徑；當取點落在優(yōu)弧上時，弦長大于半徑．所以弦長超過半徑的概率P＝＝. 5．在區(qū)間[0,1]內(nèi)任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的平方和也在[0,1]內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選A 設在[0,1]內(nèi)取出的數(shù)為a，b，若a2＋b2也在[0,1]內(nèi)，則有0≤a2＋b2≤1.如圖，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為邊長為1的正方形，滿足a2＋b2在[0,1]內(nèi)的點在單位圓內(nèi)(如陰影部分所示)，故所求概率為＝. 二、填空題 6．函數(shù)f(x)＝x－2，x∈[－5,5]，那么任取一點x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是________． 解析：由f(x0)≤

16、0得x0－2≤0，x0≤2，又x0∈[－5,5]，∴x0∈[－5,2]． 設使f(x0)≤0為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域長度是2－(－5)＝7，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是5－(－5)＝10，則P(A)＝. 答案： 7．圓上的任意兩點間的距離大于圓的內(nèi)接正三角形邊長的概率是________． 解析：如圖所示，從點A出發(fā)的弦中，當弦的另一個端點落在劣弧B上的時候，滿足已知條件，當弦的另一個端點在劣弧A或劣弧A上的時候不能滿足已知條件．又因為△ABC是正三角形，所以弦長大于正三角形邊長的概率是. 答案： 8．已知點P是邊長為4的正方形內(nèi)任一點，則P到四個頂點的距離均大于2的概率是___

17、_____． 解析：如圖所示，邊長為4的正方形ABCD，分別以A、B、C、D為圓心，并以2為半徑畫圓截正方形ABCD后剩余部分是陰影部分． 則陰影部分的面積是42－4××π×22＝16－4π， 所以所求概率是＝1－. 答案：1－ 三、解答題 9．在△ABC內(nèi)任取一點P，求△ABP與△ABC的面積之比大于的概率． 解：設P點、C點到AB的距離分別為dP、dC， 則S△ABP＝AB·dP，S△ABC＝AB·dC， 所以＝，要使>， 只需使P點落在某條與AB平行的直線的上方， 當然P點應在△ABC之內(nèi)，而這條與AB平行的直線EF與AB的距離要大于dC的. 由幾何概率公式，得P＝＝2＝. 10．甲、乙兩人約定晚6點到晚7點之間在某處見面，并約定甲若早到應等乙半小時，而乙還有其他安排，若他早到則不需等待．求甲、乙兩人能見面的概率． 解：用x軸、y軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間． 若甲早到，當y－x≤30時，兩人仍可見面；若乙早到，則兩人不可能見面，因此，必須有x≤y. 如圖，事件A“兩人可以見面”的可能結(jié)果是陰影部分的區(qū)域． 故P(A)＝＝.