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1、
北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料
【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第1章 4簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-3
一、選擇題
1.4位同學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽,競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定:每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任選一道作答,選甲答對(duì)得100分,答錯(cuò)得-100分;選乙答對(duì)得90分,答錯(cuò)得-90分.若4位同學(xué)的總分為0,則這4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是( )
A.48種 B.36種
C.24種 D.18種
[答案] B
[解析] 本題是考查排列組合及相關(guān)分類的問題.
①設(shè)4人中兩人答甲題,兩人答乙題,且各題有1人答錯(cuò),則有A=24(種).
②設(shè)4人都答甲題或都答乙題,且兩人答
2、對(duì),兩人答錯(cuò),則有2CC=12(種).
∴4位同學(xué)得總分為0分的不同情況有
24+12=36(種).故選B.
2.將5個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里,使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),則不同的放球方法有( )
A.15種 B.20種
C.25種 D.32種
[答案] C
[解析] 就編號(hào)為1的盒子中所放的球的個(gè)數(shù)分類:第一類,當(dāng)編號(hào)為1的盒子中放入一個(gè)球時(shí),相應(yīng)的放法數(shù)有C種;第二類,當(dāng)編號(hào)為1的盒中放入2個(gè)球時(shí),相應(yīng)的放法數(shù)有C=10種;第三類,當(dāng)編號(hào)為1的盒子中放入3個(gè)球時(shí),相應(yīng)的放法數(shù)有C=10種.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知,滿足題意的放法
3、種數(shù)是5+10+10=25.
3.(2014·秦安縣西川中學(xué)高二期中)某城市的汽車牌照號(hào)碼由2個(gè)英文字母后接4個(gè)數(shù)字組成,其中4個(gè)數(shù)字互不相同英文字母可以相同的牌照號(hào)碼共有( )
A.(C)2A個(gè) B.AA個(gè)
C.(C)2104個(gè) D.A104個(gè)
[答案] A
[解析] ∵前兩位英文字母可以重復(fù),∴有(C)2種排法,又∵后四位數(shù)字互不相同,∴有A種排法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有不同牌照號(hào)碼(C)2A個(gè).
4.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在一次聯(lián)歡會(huì)上合唱一首歌曲,他們商議:前四句歌詞每人唱一句,其中甲和乙唱相鄰的兩句且甲不能唱第一句,第五句歌詞由兩人合唱,第六句歌詞由另外兩
4、人合唱,歌曲的余下部分由四人合唱,則四人唱完這首歌曲的不同唱法的種數(shù)是( )
A.24 B.36
C.48 D.60
[答案] D
[解析] 由題意,對(duì)甲的前4句唱哪句進(jìn)行分類:①甲唱第2句:C·A;②甲唱第3句:C·A;③甲唱第4句:C·A;共有C·A+C·A+C·A=10種唱法.然后第5句有C種唱法,第6句有C種唱法,故共有10×C×C=60種唱法.
5.有兩排座位,前排11個(gè)座位,后排12個(gè)座位.現(xiàn)安排2人就座,規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐,并且這2人不左右相鄰,那么不同排法的種數(shù)是( )
A
5、.234 B.346
C.350 D.363
[答案] B
[解析] ∵前排中間3個(gè)座位不能坐,
∴實(shí)際可坐的位置前排8個(gè),后排12個(gè).
(1)兩人一個(gè)前排,一個(gè)后排,排法數(shù)為CCA;
(2)兩人均在后排,共A種,需排除兩個(gè)相鄰的情況:AA,即A-AA;
(3)兩人均在前排,又分兩類:①兩人一左一右,為CCA,②兩人同左或同右時(shí),有2(A-AA)種.
綜上,不同排法的種數(shù)為CCA+(A-AA)+CCA+2(A-AA)=346.
二、填空題
6.將5位志愿者分成3組,其中兩組各2人,另一組1人,分赴世博會(huì)的三個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù),不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答
6、)
[答案] 90種
[解析] 本題考查了排列組合中的平均分組分配問題,先分組,再把三組分配乘以A得:·A=90種.
7.將數(shù)字1、2、3、4、5、6排成一列,記第i個(gè)數(shù)為ai(i=1,2,…,6).若a1≠1,a3≠3,a5≠5,a1<a3<a5,則不同的排列方法有________種.(用數(shù)字作答)
[答案] 30
[解析] 本題主要考查用排列知識(shí)解決問題的能力.第一類:a1=2時(shí),a3=4,a5=6或a3=5,a5=6,共有2A=12(種).
第二類:a1=3時(shí),a3=4,a5=6或a3=5,a5=6,共有2A=12(種).
第三類:a1=4時(shí),a3=5
7、,a5=6,共有A=6(種).
所以總的排列方法有12+12+6=30(種).
8.如果把2條異面直線看成“一對(duì)”,那么六棱錐的棱所在的12條直線中,異面直線共有________對(duì)(用數(shù)字作答).
[解析] 方法一:第一步:從6條側(cè)棱中任取一條,有C種方法.
第二步:從與該側(cè)棱不相交的4條底邊中任取一條,有C種方法.
根據(jù)乘法原理,異面直線有CC=24種.
方法二:從12條直線中任取2條組成C對(duì)直線,求其中異面直線的對(duì)數(shù),只需從中減去2條直線共面的情況.
2條直線共面的情況有三類:
第一類:任取2條側(cè)棱所在的直線,顯然是共面的,有C種取法.
第二類:任取1條側(cè)棱所在的直線,再
8、取與它有交點(diǎn)的底邊所在直線,有6×2種取法.
第三類:任取2條底邊所在的直線,顯然是共面的,有C種取法.
所以異面直線共有C-C-6×2-C=24對(duì).
三、解答題
9.男運(yùn)動(dòng)員6名,女運(yùn)動(dòng)員4名,其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1人,選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法?
(1)男3名,女2名;
(2)隊(duì)長(zhǎng)至少有1人參加;
(3)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員;
(4)既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女運(yùn)動(dòng)員.
[分析] 此題中選的5人與順序無關(guān),是組合問題.
[解析] (1)C×C=120種不同的選派方法.
(2)分為兩類:僅1名隊(duì)長(zhǎng)參加和兩人都參加:
共C×
9、;C+C=196種不同的選派方法.
(3)全部選法中排除無女運(yùn)動(dòng)員的情況:
共C-C=246種不同的選法.
(4)分三類:①僅女隊(duì)長(zhǎng):C;
②僅男隊(duì)長(zhǎng):C-C;
③兩名隊(duì)長(zhǎng):C;
∴共C+C-C+C=191種不同的選派方法.
[反思總結(jié)] 本題涉及所取元素“至少”問題,一般有兩種考慮方法:直接法:“至少”中包含分類,間接法就是從總數(shù)中去掉“至少”之外的情況,“至多”也可這樣考慮.
10.某人手中有5張撲克牌,其中2張為不同花色的2,3張為不同花色的A,他有5次出牌機(jī)會(huì),每次只能出一種點(diǎn)數(shù)的牌,但張數(shù)不限,此人有多少種不同的出牌方法?
[解析] 出牌的方法可分為以下幾類:
(
10、1)5張牌全部開出,有A種方法;
(2)2張2一起出,3張A一起出,有A種方法;
(3)2張2一起出,3張A分開出,有A種方法;
(4)2張2一起出,3張A分兩次出,有CA種方法;
(5)2張2分開出,3張A一起出,有A種方法;
(6)2張2分開出,3張A分兩次出,有CA種方法.
因此共有不同的出牌方法A+A+A+CA+A+CA=860種.
[反思總結(jié)] 全面細(xì)致地分類是解決本題的關(guān)鍵.若按出牌次數(shù)分類,方法數(shù)為A+(1+C)A+(1+C)A+A=860種.
一、選擇題
1.某旅游團(tuán)組織的旅游路線有省內(nèi)和省外兩種,且省內(nèi)路線有4條,省外路線有5條,則參加該旅游團(tuán)的游客的旅
11、游方案有( )
A.4種 B.5種
C.9種 D.20種
[答案] C
[解析] 游客的旅游方案分為兩類:第一類:選省內(nèi)路線,有4種方法.第二類:選省外路線,有5種方法.由加法原理可知,游客的旅游方案有4+5=9種.
2.(2014·重慶理,9)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( )
A.72 B.120
C.144 D.168
[答案] B
[解析] 分兩類:(1)先排歌舞類有A =6種排法,再將其余的三個(gè)節(jié)目插空,如圖所示▼▽▼▽▼▽,或者▽▼▽▼▽▼,此時(shí)有2AA =72;(
12、2)先排歌舞類有A=6種排法,其余的兩個(gè)小品與歌舞排法如圖▼▽△▼▽▼,或者▼▽▼▽△▼,有4AC =48.所以共有72+48=120種不同的排法.解決不相鄰的排列問題,一般是運(yùn)用插空法,解決本題容易忽略了第二類,導(dǎo)致出差.
3.現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數(shù)為( )
A.232 B.252
C.472 D.484
[答案] C
[解析] 本題考查了利用組合知識(shí)來解決實(shí)際問題.
C-4C-CC=-16-72=560-88=472.
另解:CC-3C+CC=-12+
13、4×=220+264-12=472.
解題時(shí)要注意直接求解與反面求解相結(jié)合,做到不漏不重
4.如圖A,B,C,D為海上的四個(gè)小島,要建三座橋,將這四個(gè)小島連接起來,則不同的建橋方案共有( )
A.8種 B.12種
C.16種 D.20種
[答案] C
[解析] 如圖,構(gòu)造三棱錐A-BCD;四個(gè)頂點(diǎn)表示四個(gè)小島,六條棱表示連接任意兩島的橋梁.由題意,只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法.這可由間接法完成:從六條棱中任取三條棱的不同取法有C種,任取三條共面棱的不同取法有4種,所以從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法有C-4=16種.故不同的建橋方案共有16種
14、.
[反思總結(jié)] 此例通過構(gòu)造幾何圖形使組合問題借助于幾何圖形展現(xiàn)出來也蘊(yùn)函著轉(zhuǎn)化思想.
二、填空題
5.有4張分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的藍(lán)色卡片,從這8張卡片中取出4張卡片排成一行.如果取出的4張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于10,則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答).
[答案] 432
[解析] 因?yàn)?0=1+2+3+4=2+2+3+3=1+1+4+4,即數(shù)字之和為10的情況有4,4,1,1;4,3,2,1;3,3,2,2,共三種.
若為1,2,3,4,先選出標(biāo)有數(shù)字的卡片,有2×2×2×2種可能,
15、然后再排列它們,每一種可能有A種排法,根據(jù)乘法原理,滿足題意的排法有2×2×2×2×A=384種;
若為2,2,3,3,先選出標(biāo)有數(shù)字的卡片,方法是唯一的,再排列它們有A種排法;
若為1,4,1,4也有A種排法.
所以共有384+A+A=432種不同的排法.
6.今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球,若同色球不加以區(qū)分,將這9個(gè)球排成一列共有________種不同的方法(用數(shù)字作答).
[答案] 1260
[解析] 方法一:只需找到不同顏色的球所在的位置即可,共有CCC=1260種方法.
方法二:同色球不加以區(qū)分(即屬相同元素排列的消序問題),
16、先全排列,再消去各自的順序即可,則將這9個(gè)球排成一列共有=1260種不同的方法.
三、解答題
7.有四個(gè)不同的數(shù)字1、4、5、x(x≠0)組成沒有重復(fù)數(shù)字的所有的四位數(shù)的各位數(shù)字之和為288,求x的值.
[解析] 因?yàn)?、4、5、x四個(gè)數(shù)字不同,排成的四位數(shù)中1在千位上、百位上、十位上、個(gè)位上分別有A個(gè),所有的1的和共為4×A=24.
同理,排成的四位數(shù)中4在千位上、百位上、十位上、個(gè)位上分別有A個(gè),所以,所有的4的和共為4×4×A=96.
所有的5的和共為5×4×A=120.
所有的x的和為x×4×A=24x.
17、
即24x+120+96+24=288,解得:x=2.
8.“抗震救災(zāi),眾志成城”在舟曲的救災(zāi)中,某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴災(zāi)區(qū)救災(zāi),其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家.問:
(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種?
(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種?
(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種?
[解析] (1)分步:首先從4名外科專家中任選2名,有C種選法,再從除外科專家的6人中選取4人,有C種選法,
所以共有C·C=90種抽調(diào)方法.
(2)“至少”的含義是不低于,有兩種解答方法,
方法一(直接法):按選取的外科專家的
18、人數(shù)分類:
①選2名外科專家,
共有C·C種選法;
②選3名外科專家,共有C·C種選法;
③選4名外科專家,共有C·C種選法;
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有
C·C+C·C+C·C=185種抽調(diào)方法.
方法二(間接法):不考慮是否有外科專家,共有C種選法,考慮選取1名外科專家參加,有C·C種選法;沒有外科專家參加,有C種選法,所以共有:
C-C·C-C=185種抽調(diào)方法.
(3)“至多2名”包括“沒有”、“有1名”、“有2名”三種情況,分類解答.
①?zèng)]有外科專家參加,有C種選法;
②有1名外科專家參加,有C·C種選法;
③有2名外科專家參加,有C·C種選法.
所以共有C+C·C+C·C=115種抽調(diào)方法.