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1、北師大版2019-2020學年數學精品資料
第二課時 排列的應用
無限制條件的排列問題
[例1] 由數字1,2,3,4可組成多少個無重復數字的正整數？
[思路點撥] 可分別求出一位數、二位數、三位數、四位數的個數，再求和．
[精解詳析] 第一類：組成一位數有A＝4個；
第二類：組成二位數有A＝12個；
第三類：組成三位數有A＝24個；
第四類：組成四位數有A＝24個．
根據加法原理，一共可以組成4＋12＋24＋24＝64個正整數．
[一點通] 對于無限制條件的排列問題，可直接根據排列的定義及排列數公式列式求解．若解決問題時需要分類或分步，則要結合兩
2、個計數原理求解．
1．從4種蔬菜品種中選3種，分別種植在不同土質的3塊土地上進行試驗，有多少種不同的種植方法？
解：從4種蔬菜品種中選3種，分別種在3塊不同土質上，對應于從4個元素中取出3個元素的排列數．因此不同的種植方法數為A＝432＝24.
故共有24種不同的種植方法．
2．(1)有3名大學畢業(yè)生到5個招聘雇員的公司應聘，每個公司至多招聘一名新雇員，且3名大學畢業(yè)生全部被聘用，若不允許兼職，共有多少種不同的招聘方案？
(2)有5名大學畢業(yè)生到3個招聘雇員的公司應聘，每個公司只招聘一名新雇員，并且不允許兼職，現(xiàn)假定這三個公司都完成了招聘工作，問共有多少種不同的招聘方案？
解：
3、(1)將5個招聘雇員的公司看作5個不同的位置，從中任選3個位置給3名大學畢業(yè)生，則本題即為從5個不同元素中任取3個元素的排列問題，所以不同的招聘方案共有A＝543＝60種．
(2)將5名大學畢業(yè)生看作5個不同的位置，從中任選3個位置給3個招聘雇員的公司，則本題仍為從5個不同的元素中任取3個元素的排列問題，所以不同的招聘方案有A＝543＝60種.
元素“在”與“不在”型排列問題
[例2] 7名同學站成一排．
(1)其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？
(2)甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？
(3)甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？
[思路點撥] 這是一個有限
4、制條件的排列問題，每一問均應優(yōu)先考慮限制條件，遵循特殊元素或位置優(yōu)先安排的原則．
[精解詳析] (1)先考慮甲站在中間有1種方法，再在余下的6個位置排另外 6名同學，共有A＝654321＝720種排法．
(2)先考慮甲、乙站在兩端的排法有A種，再在余下的5個位置排另外5名同學的排法有A種，共有AA＝215432＝240種排法．
(3)法一：先考慮在除兩端外的5個位置選2個安排甲、乙有A種，再在余下的5個位置排另外5位同學的排法有A種，共有AA＝5454321＝2 400種排法．
法二：考慮特殊位置優(yōu)先法，即兩端的排法有A種，中間5個位置有A種，共有AA＝2 400種排法．
[一點通]
5、 (1)“在”與“不在”的有限制條件的排列問題，既可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰“特殊”誰優(yōu)先．
(2)從元素入手時，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；從位置入手時，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：無論從元素考慮還是從位置考慮，都要貫徹到底，不能既考慮元素又考慮位置．
3．電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的產品廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則不同的播放方式有( )
A．48種 B．24種
C．720種 D．120種
解析：分兩步：第一步先排首尾，第二步再排中間4個位置，則N＝AA＝224＝48.
6、
答案：A
4．用0,1,2這3個數字，可以排成________個無重復數字的3位數．
解析：組成3位數，相當于將3個元素排在三個位置，但0不能在首位，首位的排法有A，而其余兩位排法有A，由分步乘法原理知，共有AA＝4種排法．
答案：4
5．由0,1,2,3,4,5這六個數字組成沒有重復數字的六位數，其中小于50萬，又不是5的倍數的數有多少個？
解：法一：因為首位和個位上不能排0和5，所以先從1,2,3,4中任選2個排在首位和個位，有A種排法，再排中間4位數有A種排法，由分步乘法計數原理，共有AA＝1224＝288個符合要求．
法二：六個數位的全排列共有A個，其中有0排在首位或個位
7、上的有2A個，還有5排在首位或個位上的也有2A個，其中不合要求的要減去，但這兩種情況都包含0和5分別在首位或個位上的排法2A種，所以有A－4A＋2A＝288個符合要求.
元素“相鄰”與“不相鄰”型排列問題
[例3] (8分)喜羊羊家族的四位成員，與灰太狼、紅太狼進行談判，通過談判他們握手言和，準備一起照張合影．(排成一排)
(1)要求喜羊羊的四位成員必須相鄰，有多少排法？
(2)要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少排法？
[思路點撥] 相鄰元素可看作一個集團利用捆綁法，不相鄰元素利用插空法．
[精解詳析] (1)把喜羊羊家族的四位成員看成一個元素，與灰太狼、紅太狼排隊共有A種排法，
8、又因四位成員交換順序產生不同排列，所以共有AA＝144種排法． (4分)
(2)第一步將喜羊羊家族的四位成員排好，有A種排法，第二步讓灰太狼、紅太狼插四位成員形成的空(包括兩端)，有A種排法，共有AA＝480種排法． (8分)
[一點通] (1)相鄰問題用捆綁法解決，即把相鄰元素看成一個整體作為一個元素與其他元素排列．但不要忘記再對這些元素“松綁”，即對這些元素內部全排列．
(2)不相鄰問題用插空法，即先把其余元素排好，再把要求不相鄰的元素插入空中排列．
6．(重慶高考)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數是
9、( )
A．72 B．120
C．144 D．168
解析：依題意，先僅考慮3個歌舞類節(jié)目互不相鄰的排法種數為AA＝144，其中3個歌舞類節(jié)目互不相鄰但2個小品類節(jié)目相鄰的排法種數為AAA＝24，因此滿足題意的排法種數為144－24＝120，選B.
答案：B
7．(北京高考)把5件不同產品擺成一排，若產品A與產品B相鄰，且產品A與產品C不相鄰，則不同的擺法有________種．
解析：將A，B捆綁在一起，有A種擺法，再將它們與其他3件產品全排列，有A種擺法，共有AA＝48種擺法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相鄰，A，C相鄰有CAB，BAC兩種情況，將這3件與剩下2件
10、全排列，有2A＝12種擺法，故A，B相鄰，A，C不相鄰的擺法有48－12＝36種．
答案：36
8．4名男同學和3名女同學站成一排．
(1)3名女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？
(2)任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？
(3)男生與女生相間排列的方法有多少種？
解：(1)3名女同學是特殊元素，優(yōu)先安排，共有A種排法；由于3名女同學必須排在一起，我們可視排好的女同學為一整體，再與男同學排隊，這時是5個元素的全排列，應有A種排法．由分步乘法計數原理，共有AA＝720種不同的排法．
(2)先將男生排好，共有A種排法；再在這4名男生的中間及兩頭的5個空當中插入3名女生
11、，有A種排法．故符合條件的排法共有AA＝1 440種．
(3)不妨先排男生，有A種排法，在4名男生形成的3個間隔共有3個位置安排3名女生，有A種，因此共有AA種排法，故4名男生3名女生相間的排法共有AA＝144種．
解有限制條件的排列問題的基本思路
1．含有特殊元素或特殊位置的排列，通常優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置；
2．當限制條件超過兩個(包括兩個)，若互不影響，則直接按分步解決，若相互影響，則首先分類，在每個分類中再分步解決；
3．某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看作一個整體，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內部排序，即用“捆綁法”；
4．某些元素要求不相鄰時，可以
12、先安排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空位，即用“插空法”．
1．6個人站成一排，甲、乙、丙3人必須站在一起的所有排列的總數為( )
A．A B．3A
C．AA D．AA
解析：甲、乙、丙3人站在一起有A種站法，把3人作為一個元素與其他3人排列有A種，共有AA種．
答案：D
2．(北京高考)從0,2中選一個數字，從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為( )
A．24 B．18
C．12 D．6
解析：若選0，則0只能在十位，此時組成的奇數的個數是A；若選2，則2只能在十位或百位，此時組成的奇數的個數是
13、2A＝12，根據分類加法計數原理得總個數為6＋12＝18.
答案：B
3．由數字1,2,3,4,5組成的所有沒有重復數字的5位數中，大于23 145且小于43 521的數共有( )
A．56個 B．57個
C．58個 D．60個
解析：首位為3時，有A＝24個；
首位為2時，千位為3，則有AA＋1＝5個，千位為4或5時有AA＝12個；
首位為4時，千位為1或2有AA＝12個，千位為3時，有AA＋1＝5個．
由分類加法計數原理知，共有符合條件的數字24＋5＋12＋12＋5＝58(個)．
答案：C
4．(遼寧高考)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種
14、數為( )
A．144 B．120
C．72 D．24
解析：剩余的3個座位共有4個空隙供3人選擇就座， 因此任何兩人不相鄰的坐法種數為A＝432＝24.
答案：D
5．(大綱全國卷)6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有________種．(用數字作答)
解析：法一：先把除甲、乙外的4個人全排列，共有A種方法．再把甲、乙兩人插入這4人形成的五個空位中的兩個，共有A種不同的方法．故所有不同的排法共有AA＝2420＝480(種)．
法二：6人排成一行，所有不同的排法有A＝720(種)，其中甲、乙相鄰的所有不同的排法有AA＝240(種)，所以甲、乙不相鄰的不同排
15、法共有720－240＝480(種)．
答案：480
6．有A，B，C，D，E五位學生參加網頁設計比賽，決出了第一到第五的名次，A，B兩位學生去問成績，老師對A說：“你的名次不知道，但肯定沒得第一名”；又對B說：“你是第三名”．請你分析一下，這五位學生的名次排列共有________種不同的可能．
解析：先安排B有1種方法，再安排A有3種方法，最后安排C，D，E共A種方法．由分步乘法計數原理知共有3A＝18種方法．
答案：18
7．由A，B，C等7人擔任班級的7個班委．
(1)若正、副班長兩職只能由這三人中選兩人擔任，有多少種分工方案？
(2)若正、副班長兩職至少要選三人中的1人擔任
16、，有多少種分工方案？
解：(1)先安排正、副班長有A種方法，再安排其余職務有A種方法，依分步乘法計數原理，共有AA＝720種分工方案．
(2)7人的任意分工方案有A種，A，B，C三人中無一人任正、副班長的分工方案有AA種，因此A，B，C三人中至少有1人任正、副班長的方案有A－AA＝3 600種．
8．如圖，某傘廠生產的“太陽”牌太陽傘蓬是由太陽光的七種顏色組成的，七種顏色分別涂在傘蓬的八個區(qū)域內，且恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內，則不同的顏色圖案的此類太陽傘至多有多少種？
解：如圖，對8個區(qū)域進行編號，任選一組對稱區(qū)域(如1與5)同色，用7種顏色涂8個區(qū)域的不同涂法有7！種，又由于1與5,2與6,3與7,4與8是對稱的，通過旋轉后5,6,7,8,1,2,3,4與1,2,3,4,5,6,7,8是同一種涂色，即重復染色2次，故此種圖案至多有＝2 520種．
2020高中數學北師大版選修23教學案：第一章 2 第二課時 排列的應用 Word版含解析
