2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文(宏志班).doc

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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文(宏志班) 一、選擇題（共60題，每題5分。每題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)。） 1.下列說法正確的是 ( ) A.有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱 B.四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形 C.有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái) D.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后不一定交于一點(diǎn) 2.如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖， 其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，則原圖形是 ( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四邊形 3.已知直線是異面直線，直線分別與都相交，則直線的位置關(guān)系 A.可能是平行直線 B.一定是異面直線 C.可能是相交直線 D.平行、相交、異面直線都有可能 4．在正四面體的6條棱中隨機(jī)抽取2條，則其2條棱互相垂直的概率為 （ ） A． B． C． D． 5.已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥，則（ ） A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 6．直線與的位置關(guān)系是（ ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．與的值有關(guān) 7．設(shè)△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3，－1)，∠B，∠C的平分線方程分別為x＝0，y＝x，則直線BC的方程為(　　) A．y＝2x＋5　　　B．y＝2x＋3 C．y＝3x＋5 D．y＝－x＋ 8.是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件中，可判斷平面平行的是 ( ) A.是平面內(nèi)兩條直線，且 B.內(nèi)不共線的三點(diǎn)到的距離相等 C.都垂直于平面 D.是兩條異面直線，，且 9.某工作的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工作通過切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工作的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=新工件的體積/原工件的體積）（ ） A、 B、 C、 D、 10．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ） A. B. C. D. 11.在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線A1B上存在一點(diǎn)P使得AP+D1P取得最小值,則此最小值是（ ） A.2 B. C. D. 12．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D1、E、F的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為V1、V2（V1＜V2），則V1：V2=（　?。? A． B． C． D． 二、填空題（共20分，每題5分） 13.直線l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的傾斜角大于45，則a的取值范圍是________________. 14. 四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_________． 15. 我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；② 一尺等于十寸) 16．如果三棱錐的底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影是△的中心，則這樣的三棱錐稱為正三棱錐．給出下列結(jié)論： ① 正三棱錐所有棱長都相等； ② 正三棱錐至少有一組對棱（如棱與）不垂直； ③ 當(dāng)正三棱錐所有棱長都相等時(shí)，該棱錐內(nèi)任意一點(diǎn)到它的四個(gè)面的距離之和為定值； ④ 若正三棱錐所有棱長均為，則該棱錐外接球的表面積等于． ⑤ 若正三棱錐的側(cè)棱長均為2，一個(gè)側(cè)面的頂角為，過點(diǎn)的平面分別交側(cè)棱，于．則△周長的最小值等于． 以上結(jié)論正確的是 （寫出所有正確命題的序號）． 三、解答題（共70分，每題必需要有必要的解答過程） 17（10分）.如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，，分別是的中點(diǎn)．求證： （1）直線∥平面； （2）平面⊥平面. 18（12分）.如圖，在三棱錐中，，， ，，. （1）求三棱錐的體積； （2）求點(diǎn)C到平面距離. 19(12分).已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M(－1，0)，N(1，0)距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1.求直線PN的方程． 20（12分）．如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠DAB=60，PA=PD，M為CD的中點(diǎn)，BD⊥PM． （1）求證：平面PAD⊥平面ABCD； （2）若∠APD=90，四棱錐P﹣ABCD的體積為，求三棱錐A﹣PBM的高． 21（12分）.如圖在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1，D1C1上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B1不重合），且EH∥A1D1．過EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點(diǎn)分別為F，G. （１）證明：AD∥平面EFGH； （２）設(shè)AB=2AA1=2a，在長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為p.當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A1B1，B1B上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，求p的最小值. 22（12分）.如圖，已知正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G． （Ⅰ）證明：G是AB的中點(diǎn)； （Ⅱ ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F （說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積． 合肥一六八中學(xué)xx第一學(xué)期期中考試 高二數(shù)學(xué)試題（宏志班） 命題人：汪克亮 審題人：賈秋雨 （考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分） 注意事項(xiàng)： 1、 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。 2、 選擇題答案請用2B鉛筆準(zhǔn)確地填涂在答題卡上相應(yīng)位置，非選擇題答案必須填寫在答題卷上相應(yīng)位置，否則不得分。 3、 考試結(jié)束后，請將答題卡和答題卷一并交回。 第Ⅰ卷 一、選擇題（共60題，每題5分。每題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)。） 1.下列說法正確的是 (B ) A.有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱 B.四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形 C.有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái) D.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后不一定交于一點(diǎn) 2.如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖， 其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，則原圖形是 (C ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四邊形 3.已知直線是異面直線，直線分別與都相交，則直線的位置關(guān)系 A.可能是平行直線 B.一定是異面直線 C.可能是相交直線 D.平行、相交、異面直線都有可能 答案 C 4．在正四面體的6條棱中隨機(jī)抽取2條，則其2條棱互相垂直的概率為 （ ） A． B． C． D． C 5.已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥，則（ ） A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【答案】C 6．直線與的位置關(guān)系是（ ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．與的值有關(guān) B 7．設(shè)△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3，－1)，∠B，∠C的平分線方程分別為x＝0，y＝x，則直線BC的方程為(　　) A．y＝2x＋5　　　B．y＝2x＋3 C．y＝3x＋5 D．y＝－x＋ 答案：A 8.是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件中，可判斷平面平行的是 ( ) A.是平面內(nèi)兩條直線，且 B.內(nèi)不共線的三點(diǎn)到的距離相等 C.都垂直于平面 D.是兩條異面直線，，且 D 9.某工作的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工作通過切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工作的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=新工件的體積/原工件的體積）（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】A 10．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 11.在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線A1B上存在一點(diǎn)P使得AP+D1P取得最小值,則此最小值是（ ） A.2 B. C. D. D 12．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D1、E、F的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為V1、V2（V1＜V2），則V1：V2=（　C?。? A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空題（共20分，每題5分） 13.直線l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的傾斜角大于45，則a的取值范圍是________________. 答案　(－∞，－)∪(0，＋∞) 14. 四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_________． 解析： 如圖所示，根據(jù)對稱性，只要在四棱錐的高線SE上找到一個(gè)點(diǎn) 使得，則四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)就在同一個(gè)球面上．在中， ，故．設(shè)球的半徑為，則 中，，，即點(diǎn)E即為球心， 故這個(gè)球的體積 15. 我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；② 一尺等于十寸) 答案：3 解析：本題考查圓臺(tái)的體積公式．做出圓臺(tái)的軸截面如圖，由題意知，BF＝14(單位寸，下同)，OC＝6，OF＝18，OG＝9，即G是OF中點(diǎn)，所以GE為梯形的中位線，所以GE＝＝10，即積水的上底面半徑為10.所以盆中積水的體積為(100π＋36π＋)＝588π.盆口的面積為142π＝196π，所以＝3，即平地降雨量是3寸． 16．如果三棱錐的底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影是△的中心，則這樣的三棱錐稱為正三棱錐．給出下列結(jié)論： ① 正三棱錐所有棱長都相等； ② 正三棱錐至少有一組對棱（如棱與）不垂直； ③ 當(dāng)正三棱錐所有棱長都相等時(shí)，該棱錐內(nèi)任意一點(diǎn)到它的四個(gè)面的距離之和為定值； ④ 若正三棱錐所有棱長均為，則該棱錐外接球的表面積等于． ⑤ 若正三棱錐的側(cè)棱長均為2，一個(gè)側(cè)面的頂角為，過點(diǎn)的平面分別交側(cè)棱，于．則△周長的最小值等于． 以上結(jié)論正確的是 ▲ （寫出所有正確命題的序號）． 答案：③，④，⑤ 三、解答題（共70分，每題必需要有必要的解答過程） 17（10分）.如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，，分別是的中點(diǎn)．求證： （1）直線∥平面； （2）平面⊥平面. 解析：（1）如圖，在△PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)， 所以EF∥PD. 又因?yàn)槠矫鍼CD，PD?平面PCD， 所以直線EF∥平面PCD. （2）連接BD.因?yàn)锳B＝AD，∠BAD＝60，所以△ABD為正三角形． 因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD. 因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以BF⊥平面PAD. 又因?yàn)锽F?平面BEF， 所以平面BEF⊥平面PAD. 18（12分）.如圖，在三棱錐中，，，，，. （1）求三棱錐的體積； （2）求點(diǎn)C到平面距離. 18.解：（1）過作交于一點(diǎn)， ， . 在中，，，則，. 面積. 四面體體積. （2）在中，連接.則,. ，. 在中，，，， ，. . 設(shè)點(diǎn)到平面距離為，由等體積法可知. . .從而. 點(diǎn)到平面距離為. 19(本題滿分12分)已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M(－1，0)，N(1，0)距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1.求直線PN的方程． 解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題設(shè)有＝， 即＝， 整理得x2＋y2－6x＋1＝0.① 因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1，|MN|＝2，所以∠PMN＝30，直線PM的斜率為， 直線PM的方程為y＝(x＋1)．② 將②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0， 解得x＝2，代入②式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2＋，1＋)或(2－，－1＋)或(2＋，－1－)或(2－，1－)， ∴直線PN的方程為y＝x－1或y＝－x＋1. 20（12分）．如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠DAB=60，PA=PD，M為CD的中點(diǎn)，BD⊥PM． （1）求證：平面PAD⊥平面ABCD； （2）若∠APD=90，四棱錐P﹣ABCD的體積為，求三棱錐A﹣PBM的高． 20證明：（１）取AD的中點(diǎn)E，連接PE，EM，AC. 底面ABCD為菱形， 又 EM ∥AC， 又BD⊥PM， 則. , 平面PAD⊥平面ABCD （2）設(shè), 由∠APD=90，可得 由（1）知，則 ，則 連接，可得 . 設(shè)三棱錐A﹣PBM的高為,則由,可得 即. 21（12分）.如圖在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1，D1C1上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B1不重合），且EH∥A1D1．過EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點(diǎn)分別為F，G. （１）證明：AD∥平面EFGH； （２）設(shè)AB=2AA1=2a，在長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為p.當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A1B1，B1B上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，求p的最小值. （１）證明：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD∥A1D1， 又因?yàn)镋H∥A1D1，所以AD∥EH. 因?yàn)锳D平面EFGH，EH平面EFGH， 則AD∥平面EFGH． （２）解:設(shè)BC=b，則長方體ABCD-A1B1C1D的體積V=ABADAA1=2a2b． 幾何體EB1F-HC1C的體積V1=（EB1B1FB1C1）=EB1B1F． 因?yàn)? 所以EB1B1F. 當(dāng)且僅當(dāng)EB1=B1F=時(shí)等號成立． 從而V1≤. 故≥． 當(dāng)且僅當(dāng)EB1=B1F=時(shí)等號成立． 則p的最小值為． 22（12分）.如圖，已知正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G． （Ⅰ）證明：G是AB的中點(diǎn)； （Ⅱ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積． 【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意分析可得PD⊥平面ABC，進(jìn)而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，結(jié)合兩者分析可得AB⊥平面PDE，進(jìn)而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性質(zhì)可得證明； （Ⅱ）由線面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F為E在平面PAC內(nèi)的正投影．由棱錐的體積公式計(jì)算可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）證明：∵P﹣ABC為正三棱錐，且D為頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影， ∴PD⊥平面ABC，則PD⊥AB， 又E為D在平面PAB內(nèi)的正投影， ∴DE⊥面PAB，則DE⊥AB， ∵PD∩DE=D， ∴AB⊥平面PDE，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G， 則AB⊥PG， 又PA=PB， ∴G是AB的中點(diǎn)； （Ⅱ）在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影． ∵正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形， ∴PB⊥PA，PB⊥PC， 又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC， 即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影． 連結(jié)CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心． 由（Ⅰ）知，G是AB的中點(diǎn)，所以D在CG上，故CD=CG． 由題設(shè)可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC． 由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2． 在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2． 所以四面體PDEF的體積V=DES△PEF=222=． 【點(diǎn)評】本題考查幾何體的體積計(jì)算以及線面垂直的性質(zhì)、應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確分析幾何體的各種位置、距離關(guān)系．