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1、
理科第15周 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
核心知識
1.雙曲線的概念
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2(|F1F2|=2c>0)的距離的差的絕對值為常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a、c為常數(shù)且a>0,c>0;
(1)當(dāng)ac時(shí), P點(diǎn)不存在.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
-=1
(a>0,b>0)
-=1
(a>0,b>0
2、)
圖 形
性 質(zhì)
范 圍
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
對稱性
對稱軸:坐標(biāo)軸
對稱中心:原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
漸近線
y=x
y=x
離心率
e=,e∈ (1,+∞),其中c=
實(shí)虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸,它的長|A1A2|=2a;線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=2b;a叫做雙曲線的實(shí)半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長
a、b、c的關(guān)系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
自我測評
1.雙曲線-=1的焦距為
解析 由已知有c
3、2=a2+b2=12,∴c=2,故雙曲線的焦距為4.
2.雙曲線2x2-y2=8的實(shí)軸長是
解析 雙曲線2x2-y2=8的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,所以實(shí)軸長2a=4.
3.設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0)的虛軸長為2,焦距為2,則雙曲線的漸近線方程為
解析 由題意得b=1,c=.∴a=,∴雙曲線的漸近線方程為y=x,即y=x.
4.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C:x2+y2-6x+5=0相切,且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心,求該雙曲線的方程
解 圓心的坐標(biāo)是(3,0),圓的半徑是2,雙曲線的漸近線方程是bxay=0,根據(jù)已知得=2,即=2,解得b=2,則a2=5,故所求的雙曲線方程是-=1.
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