2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(含解析).doc

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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(含解析) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知，下列說法正確的是 （ ） A. 若，則 B. 若，則 C. 若，則 D. 若，則 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)不等式性質(zhì)得D成立，舉例說明A,B,C錯誤. 【詳解】因?yàn)?>1,-1>-2,2(-1)=1(-2),所以A錯； 因?yàn)?>1 ,2?02=1?02,所以B錯； 因?yàn)?2<-1,->-1 ,所以C錯； 由不等式性質(zhì)得若，則，所以D對，選D. 【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查分析判斷能力. 2.已知集合，，則=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求集合A,B，再根據(jù)交集定義求結(jié)果. 【詳解】因?yàn)?，，所? ，選B. 【點(diǎn)睛】求集合的交、并、補(bǔ)時，一般先化簡集合，再由交、并、補(bǔ)的定義求解． 3.在中，，則（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理可求得sinB==，結(jié)合范圍，即可解得B的值． 【詳解】∵ ∴由正弦定理可得：sinB===， ,∴ 解得：B=或π． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基本知識的考查． 4.在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列中，首項(xiàng)，且點(diǎn) 在直線上， 則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 代入點(diǎn)，化簡可得數(shù)列{an}為首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，化簡計算即可得到所求和． 【詳解】在正數(shù)數(shù)列{an}中，a1=2，且點(diǎn)在直線x﹣9y=0上， 可得an2=9an﹣12，即為an=3an﹣1， 可得數(shù)列{an}為首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列， 則{an}的前n項(xiàng)和Sn等于==3n﹣1． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合運(yùn)用，是一道好題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用． 5.我國古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤,中間三尺重幾何．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部尺，重斤，尾部尺，重斤，且從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，問中間三尺共重多少斤．” A. 6斤 B. 7斤 C. 斤 D. 斤 【答案】D 【解析】 【分析】 將原問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可. 【詳解】原問題等價于等差數(shù)列中，已知，求的值. 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：， 則，即中間三尺共重斤. 本題選擇D選項(xiàng). 【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力. 6.等差數(shù)列中，，且，為其前項(xiàng)和，則（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 由題意可得：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 ．即可得到答案. 【詳解】由題意可得：因?yàn)閍10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|， 所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：． 故選B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式． 7.不等式 對于一切恒成立，那么的取值范圍（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 當(dāng)時不等式即為，對一切恒成立，當(dāng)時，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出滿足的條件，結(jié)合兩種情況，即可得到答案． 【詳解】當(dāng)時不等式即為，對一切恒成立， 當(dāng)時，則須，解得，所以， 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的恒成立問題的求解，其中解答中熟練應(yīng)用一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，注意對二次項(xiàng)系數(shù)的分類討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題． 8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系求， 根據(jù)等比數(shù)列定義判斷為等比數(shù)列，最后根據(jù)等比數(shù)列求和公式得結(jié)果. 【詳解】當(dāng)時; 當(dāng)時;所以，， 因此數(shù)列為等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，選C. 【點(diǎn)睛】給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求. 應(yīng)用關(guān)系式時，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起. 9.設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為,若，則的形狀為（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用三角恒等變換化簡2sin A cos B＝sin C得A=B. 【詳解】由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因?yàn)椋?A－B<π，所以A＝B. 故答案為：B 【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查三角恒等變換，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)三角恒等變換時 ，要“三看”（看角看名看式）“三變”（變角變名變式）. 10..已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)其前項(xiàng)和為，則使成立的正整數(shù)有 A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】A 【解析】 【分析】 先有{an}的通項(xiàng)公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求出Sn，再把Sn＜-5轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式即可． 【詳解】∵， ， 又因?yàn)? ，故使Sn＜-5成立的正整數(shù)n有最小值：63 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的求和以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題． 11.已知，則函數(shù)的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用二倍角公式求出，再利用基本不等式，即可求出答案 【詳解】，則 故選 【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的最小值的求法，考查了二倍角公式，注意運(yùn)用基本不等式，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題 12.在中，角所對的邊分別為，若，，則周長的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知可得，結(jié)合的范圍可求，再由余弦定理求得 ，再由基本不等式，求得的范圍，即可得到的范圍，進(jìn)而可求周長的范圍． 【詳解】∵，， 可得：， ，解得， ∵， ∴由余弦定理可得 ∵由， ，得， ∴，即． ∴周長 ． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理及運(yùn)用，同時考查基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13.已知，滿足，則的最大值為______. 【答案】2 【解析】 【分析】 先作可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)所表示的直線結(jié)合圖象確定最大值取法,最后計算得結(jié)果. 【詳解】可行域如圖，則直線過點(diǎn)A(1,0)時取最大值2. 【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得 14.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，,則______. 【答案】10 【解析】 【分析】 根據(jù)等比數(shù)列和項(xiàng)性質(zhì)列方程解得結(jié)果. 【詳解】由題意得，成等比數(shù)列，則，所以,或90，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以>，因此. 【點(diǎn)睛】在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法. 15.函數(shù)的最小值是______. 【答案】5 【解析】 【分析】 利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，再見單調(diào)性確定函數(shù)最小值. 【詳解】因?yàn)楫?dāng)時，所以當(dāng)時最小值為5. 【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，考查基本求解能力. 16.已知數(shù)列為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列， ，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使不等式成立的最大正整數(shù)的值為______. 【答案】6 【解析】 【分析】 先根據(jù)條件求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求，化簡不等式解得，最后確定滿足條件的最大正整數(shù)的值. 【詳解】由數(shù)列為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，得公比>0 由 得 ,,,所以 因此滿足條件的最大正整數(shù)的值為6. 【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式以及解指數(shù)不等式，考查基本求解能力. 三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.（1）已知，且，求的最小值； （2）已知 ,，，求證：. 【答案】（1）9 ； （2）8 . 【解析】 【分析】 （1）利用1的代換化簡，再根據(jù)基本不等式求最值，（2）利用1的代換化簡 ，再根據(jù)基本不等式證不等式. 【詳解】（1）由基本不等式可得， 當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，因此的最小值為9， （2）因?yàn)?，所? ，因此當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ? 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ? 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以? 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，因?yàn)?，所以? 所以. 【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤. 18.如圖，在中，，是邊上一點(diǎn)，且. （1）求的長； （2）若，求的長及的面積. 【答案】(1) (2) 【解析】 試題分析：（1）在中由正弦定理可求得AD的長；（2）在中，由余弦定理可得，利用可得所求面積。 試題解析： （1）在中，由正弦定理得， 即 ∴ （2）∵，∴ 在中 ，由余弦定理得 ∴ ∴. 綜上，的面積為。 19.設(shè)函數(shù)． （1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)、的值； （2）解不等式． 【答案】（1） （2）時解集為，時解集為，時解集為，時解集為，時解集為 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)一元二次不等式的解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出實(shí)數(shù)a、m的值； （2）不等式化為（ax-1）（x-1）＜0，討論a=0和a＞0、a＜0時，求出不等式f（x）＜0的解集即可 試題解析：⑴∵， ∴不等式等價于， 依題意知不等式的解集為， ∴且1和2為方程的兩根， ∴， 解得， ∴實(shí)數(shù)、的值分別為、， ⑵不等式可化為， （?。┊?dāng)時，不等式等價于，解得，故原不等式的解集為， 7分 （ⅱ）當(dāng)時，不等式等價于， ①當(dāng)時，不等式的解集為，即原不等式的解集為， ②當(dāng)時，不等式的解集為，即原不等式的解集為， ③當(dāng)時，不等式的解集為，即原不等式的解集為， （ⅲ）當(dāng)時，不等式等價于， ∵， ∴， ∴不等式的解集為，即原不等式的解集為， 綜上所述，當(dāng)時不等式的的解集為， 當(dāng)時不等式的的解集為， 當(dāng)時不等式的的解集為， 當(dāng)時不等式的的解集為， 當(dāng)時不等式的的解集為。 考點(diǎn)：一元二次不等式的解法；二次函數(shù)的性質(zhì) 20.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,且. （1）求角的大小; （2）若,求的周長. 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理將條件化為角的關(guān)系，化簡得，即得結(jié)果，（2）由正弦定理得 ，再根據(jù)余弦定理解得，最后求周長. 【詳解】（1） 由正弦定理得 在中， ，即； （2） ，由正弦定理得 又 ， 解得（負(fù)根舍去）， 的周長 【點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理以及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的. 21.某企業(yè)今年初用72萬元購買一套新設(shè)備用于生產(chǎn)，該設(shè)備第一年需各種費(fèi)用12萬元，從第二年起，每年所需費(fèi)用均比上一年增加4萬元，該設(shè)備每年的總收入為50萬元，設(shè)生產(chǎn)x年的盈利總額為y萬元. 寫出y與x的關(guān)系式； ①經(jīng)過幾年生產(chǎn)，盈利總額達(dá)到最大值？最大值為多少？ ②經(jīng)過幾年生產(chǎn)，年平均盈利達(dá)到最大值？最大值為多少？ 【答案】（1）； （2）①經(jīng)過10年生產(chǎn)，盈利總額達(dá)到最大值，最大值為128萬元. ②經(jīng)過6年生產(chǎn)，年平均盈利達(dá)到最大值，最大值為16萬元. 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式得x年所需總費(fèi)用，再利用收入減去成本得盈利總額，即得結(jié)果，（2）①根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值，②根據(jù)基本不等式求最值. 【詳解】（1）x年所需總費(fèi)用為， 所以盈利總額； （2）①因?yàn)閷ΨQ軸為，所以當(dāng)時盈利總額達(dá)到最大值，為128萬元； ②因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以經(jīng)過6年生產(chǎn)，年平均盈利達(dá)到最大值，最大值為16萬元. 【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤. 22.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且，，數(shù)列、滿足，. （1）求 及；（2）數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，證明 . 【答案】（1）， （2）見解析 【解析】 【分析】 （1）先根據(jù)條件求得公比，再代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式求得 及；（2）根據(jù)條件得，利用裂項(xiàng)相消法求得，即證得不等式 【詳解】（1）因?yàn)?，所以（?fù)舍）， 因此； （2），(), 因此=()+()()+...+()+()=()<(. 【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如 (其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項(xiàng)相消法求和，常見的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(如本例)，還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如或.