數學同步優(yōu)化指導北師大版選修22練習：第1章 3 反證法 活頁作業(yè)3 Word版含解析

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1、2019版數學精品資料（北師大版） 活頁作業(yè)(三)　反證法 1．用反證法證明命題“三角形的內角至多有一個鈍角”時，假設正確的是(　　) A．假設至少有一個鈍角 B．假設至少有兩個鈍角 C．假設沒有一個鈍角 D．假設沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角 解析：“至多有一個”的否定是“至少有兩個”，故選B． 答案：B 2．設a，b，c是正數，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“P·Q·R＞0”是“P，Q，R同時大于零”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：必要性顯然成立．充分性：

2、若P·Q·R＞0，則P，Q，R同時大于零或其中兩個負的一個正的，不妨設P＜0，Q＜0，R＞0. 因為P＜0，Q＜0，即a＋b＜c，b＋c＜a， 所以a＋b＋b＋c＜c＋a. 所以b＜0，這與a，b，c都是正數矛盾． 故P，Q，R同時大于零． 答案：C 3．設a，b，c∈(－∞，0)，則a＋，b＋，c＋(　　) A．都不大于－2 B．都不小于－ 2 C．至少有一個不大于－2 D．至少有一個不小于－2 解析：對于C，可用反證法證明如下： 假設a＋＞－2，b＋＞－2，c＋＞－2同時成立，則＋＋＞－6， 這與＋＋＝＋＋≤－6矛盾． 答案：C 4．已知：

3、x1＞0，x1≠1，且xn＋1＝(n＝1,2，3，…)．試證：數列{xn}或者對任意正整數n都滿足xn＜xn＋1，或者對任意的正整數n都滿足xn＞xn＋1.當此題用反證法否定結論時，應為(　　) A．對任意的正整數n，有xn＝xn＋1 B．存在正整數n，使xn＝xn＋1 C．存在正整數n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1 D．存在正整數n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0 解析：證明結論的含義是數列{an}為單調數列，因此對它的否定是數列{an}不為單調數列， 即為常數數列或存在不具備單調的項，故選D． 答案：D 5．用反證法證明命題“設a，b為實數，則方程x3＋ax

4、＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根 解析：至少有一個實根的否定是沒有實根，故要做的假設是“方程x3＋ax＋b＝0沒有實根”． 答案：A 6．對于定義在實數集R上的函數f(x)，如果存在實數x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函數f(x)的一個好點．已知函數f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好點，那么a的取值范圍是________． 解析：假設函數f(x)存在好點x， 即x2＋2ax＋1＝x， 即x2＋

5、(2a－1)x＋1＝0. 所以Δ＝(2a－1)2－4≥0， 解得a≤－或a≥. 因此f(x)不存在好點時，a∈. 答案： 7．用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內角和為180°矛盾，故假設錯誤． ②所以一個三角形不能有兩個直角． ③假設△ABC中有兩個直角，不妨設∠A＝90°，∠B＝90°. 上述步驟的正確順序為________． 解析：由反證法的一般步驟可知，正確的順序應為③①②. 答案：③①② 8．在△ABC中，若AB＝AC，

6、P是△ABC內一點，∠APB＞∠APC，求證：∠BAP＜∠CAP.用反證法證明時，假設應分________和________兩類． 解析：∠BAP＜∠CAP的否定為∠BAP≥∠CAP，因此假設應分兩類：∠BAP＝∠CAP和∠BAP＞∠CAP. 答案：∠BAP＝∠CAP　∠BAP＞∠CAP 9．用反證法證明：已知a，b均為有理數，且和都是無理數，求證：＋是無理數． 證明：假設＋為有理數，則(＋)(－)＝a－b. 由a＞0，b＞0，得＋＞0. ∴－＝ . ∵a，b為有理數，且＋為有理數． ∴為有理數，即－為有理數． ∴(＋)＋(－)為有理數，即2為有理數． ∴應為有理數，這與已

7、知為無理數矛盾． ∴＋一定為無理數． 10．已知x＞0，y＞0，且x＋y＞2. 求證：，中至少有一個小于2. 證明：假設，都不小于2， 即≥2，≥2. ∵x>0，y＞0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)． 即x＋y≤2，與已知x＋y＞2矛盾， 故假設錯誤，原命題正確． ∴，中至少有一個小于2. 11．用反證法證明命題“a，b∈N，如果ab能被5整除，那么a，b至少有一個能被5整除”，則假設的內容是(　　) A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a不能被5整除 D．a，b有一個不能被5整除 解析：至少有一個的反面

8、是一個也沒有，故選B． 答案：B 12．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一個方程有實根，則實數a的取值范圍為___________． 解析：假設三個方程均無實根，則有 解得 即－＜a＜－1. 所以當a≥－1或a≤－時，三個方程至少有一個方程有實根． 答案：a≥－1或a≤－ 13．設二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若關于x的不等式f(x－1)≥0的解集為[0,1]，則關于x的不等式f(x＋1)≤0的解集為___________． 解析：將函數y＝f(x－1)的圖像向左平移2個單位得到函數y＝f(

9、x＋1)的圖像，不等式f(x－1)≥0的解集為[0,1]，所以y＝f(x－1)的圖像是開口向下的拋物線，與x軸的交點為(0,0)，(1,0)，所以不等式f(x＋1)≤0的解集為(－∞，－2]∪[－1，＋∞)． 答案：(－∞，－2]∪[－1，＋∞) 14．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三個關系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個正確，則100a＋10b＋c等于____________． 解析：(1)若①正確，則②③不正確，由③不正確得c＝0，由①正確得a＝1，所以b＝2，與②不正確矛盾，故①不正確．(2)若②正確，則①③不正確，由①不正確得a＝2，與②正確矛盾，故②不

10、正確．(3)若③正確，則①②不正確，由①不正確得a＝2，由②不正確及③正確得b＝0，c＝1，此時100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201. 答案：201 15．設二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均為整數，且f(0)，f(1)均為奇數． 求證：f(x)＝0無整數根． 證明：假設f(x)＝0有一個整數根k， 則ak2＋bk＝－c.① 又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均為奇數． ∴a＋b為偶數． 當k為偶數時，顯然與①式矛盾； 當k為奇數時，設k＝2n＋1(n∈Z)，則ak2＋bk＝(2n＋1)(2na＋a＋b)為偶

11、數，也與①式矛盾，故假設不成立． 所以方程f(x)＝0無整數根． 16．已知函數f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數，且當x0≥1，f(x0)≥1時，有f(f(x0))＝x0，求證：f(x0)＝x0. 證明：假設f(x0)≠x0， 則必有f(x0)＞x0或f(x0)＜x0. 若f(x0)＞x0≥1，由f(x)在[1，＋∞)上為增函數，得f(f(x0))＞f(x0)． 又f(f(x0))＝x0，∴f(x0)＜x0，與假設矛盾． 若x0＞f(x0)≥1，同理，得f(x0)＞f (f(x0))． 又f(f(x0))＝x0，∴x0＜f(x0)，也與假設矛盾． 綜上所述，當x0≥1，f(x0)≥1，且f(f(x0))＝x0時，f(x0)＝x0.