高中數(shù)學蘇教版選修12習題：第2章 推理與證明 章末檢測B

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1、 精品資料 第2章　推理與證明(B) (時間：120分鐘　滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則： ①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt

2、?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”； ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“＝”類比得到“＝”． 以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是________． 2．數(shù)列1,1,2,3，x,8,13,21，…中的x值為________． 3．若數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，則a8＝________. 4．p＝＋，q＝· (m、n、a、b、c、d均為正數(shù))，則p、q的大小關(guān)系為________．

3、5．凡自然數(shù)是整數(shù)，4是自然數(shù)，所以4是整數(shù)．對以上三段論推理下列說法正確的是__________(請?zhí)顚懴鄳男蛱?． ①正確； ②推理形式不正確； ③兩個“自然數(shù)”概念不一致； ④“兩個整數(shù)”概念不一致． 6．觀察下列等式： C＋C＝23－2， C＋C＋C＝27＋23， C＋C＋C＋C＝211－25， C＋C＋C＋C＋C＝215＋27， … 由以上等式推測到一個一般的結(jié)論： 對于n∈N*，C＋C＋C＋…＋C＝______________. 7．對于等差數(shù)列{an}有如下命題：“若{an}是等差數(shù)列，a1＝0，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有(s－1)at＝(t－1)

4、as”．類比此命題，給出等比數(shù)列{bn}相應的一個正確命題是：“__________________________________________”． 8．設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，如果f(1)＝lg，f(2)＝lg 15，則f(2 010)＝__________. 9．將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0～1三角數(shù)表．從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行的數(shù)都為1的是第________行；第61行中1的個數(shù)是________． 第1行　　　1　1 第2行1　

5、0　1 第3行1　1　1　1 第4行1　0　0　0　1 第5行1　1　0　0　1　1 ………… 10．某同學準備用反證法證明如下一個問題：函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義，且f(0)＝f(1)，如果對于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求證：|f(x1)－f(x2)|<.那么它的反設(shè)應該是______________________________． 11．凸函數(shù)的性質(zhì)定理為：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函數(shù)y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，

6、sin A＋sin B＋sin C的最大值為_________________________． 12．若不等式(－1)na<2＋對任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 13．由“等腰三角形的兩底角相等，兩腰相等”可以類比推出正棱錐的類似屬性是__________________________________________________． 14．船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的平均速度v1和在靜水中的速度v2的大小關(guān)系為_________________________________________________________________

7、____． 二、解答題(本大題共6小題，共90分) 15．(14分)已知a、b、c是互不相等的正數(shù)，且abc＝1， 求證：＋＋<＋＋. 16．(14分)把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論是否成立． (1)如果一條直線和兩條平行線中的一條相交，則必和另一條相交； (2)如果兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行． 17．(14分)已知a>0，求證： －≥a＋－2. 18．(16分)在不等邊△ABC中，A是最

8、小角， 求證：A<60°. 19．(16分)先解答(1)，再通過類比解答(2)． (1)求證：tan＝； (2)設(shè)x∈R且f(x＋1)＝，試問f(x)是周期函數(shù)嗎？證明你的結(jié)論． 20．(16分)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn； (2)設(shè)bn＝ (n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．

9、 第2章　推理與證明(B) 答案 1．2 解析　只有①②對，其余錯誤． 2．5 解析　每相鄰兩數(shù)相加等于后面的數(shù)． 3．512 解析　由a1，a2，a3，a4的形式可歸納， ∵1＋2＋3＋4＋…＋7＝＝28， ∴a8的首項應為第29個正奇數(shù)，即2×29－1＝57. ∴a8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71 ＝＝512. 4．p≤q 解析　q＝ ≥＝＋＝p. 5．① 解析　三段論中的大前提、小前提及推理形式都是正確的． 6．24n－1＋(－1)n22n－1 7．若{bn}是等比數(shù)列，b1＝1，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有b＝b

10、解析　由類比推理可得． 8．－1 解析　由f(1)＝lg＝lg 15－1，f(2)＝lg 15， f(3)＝f(2)－f(1)＝1， f(4)＝f(3)－f(2)＝1－lg 15， f(5)＝f(4)－f(3)＝－lg 15， f(6)＝f(5)－f(4)＝－1， f(7)＝f(6)－f(5)＝lg 15－1， f(8)＝f(7)－f(6)＝lg 15，…， 可以猜想到，從f(7)開始，又重復了上述數(shù)值， 即f(x＋6)＝f(x)， ∴f(2 010)＝f(335×6)＝f(6)＝－1. 9．2n－1　32 解析　(1)第一次全行的數(shù)都是1的是第1行，第二次

11、全行的數(shù)都是1的是第3行，第三次全行的數(shù)都是1的是第7行，第n次全行的數(shù)都是1的是第2n－1行． (2)1　1　0　0　…　0　0　1　1……第61行 　1　0　1　0　…　　0　1　0　1　……第62行 1　1　1　1　…　　　　1　1　1　1……第63行 由圖可知第61行的數(shù)的特點是兩個1兩個0交替出現(xiàn)，最后兩個數(shù)為1，所以在第61行的62個數(shù)中有32個1. 10．“?x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|< |x1－x2|且|f(x1)－f(x2)|≥” 11． 解析　∵f(x)＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)， 且A、B、C∈(0，π)，

12、 ∴≤f＝f， 即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝， 所以sin A＋sin B＋sin C的最大值為. 12．－2≤a< 解析　當n為偶數(shù)時，a<2－， 而2－≥2－＝，∴a<. 當n為奇數(shù)時，a>－2－， 而－2－<－2，∴a≥－2. 綜上可得－2≤a<. 13．正棱錐各側(cè)面與底面所成二面角相等，各側(cè)面都是全等的三角形或各側(cè)棱相等 解析　等腰三角形的底與腰可分別與正棱錐的底面與側(cè)面類比． 14．v1<v2 解析　設(shè)甲地到乙地的距離為S，船在靜水中的速度為v2，水流速度為v(v2>v>0)，則船在流

13、水中在甲、乙間來回行駛一次的時間t＝＋＝，平均速度v1＝＝. ∵v1－v2＝－v2＝－<0， ∴v1<v2. 15．證明　∵a、b、c是不等正數(shù)，且abc＝1， ∴＋＋＝＋＋ <＋＋ ＝＋＋. 故＋＋<＋＋. 16．解　(1)類比為：如果一個平面和兩個平行平面中的一個相交，則必和另一個相交． 結(jié)論是正確的：證明如下： 設(shè)α∥β，且γ∩α＝a， 則必有γ∩β＝b，若γ與β不相交，則必有γ∥β， 又α∥β，∴α∥γ，與γ∩α＝a矛盾， ∴必有γ∩β＝b. (2)類比為：如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相平行，結(jié)論是錯誤的，這兩個平

14、面也可能相交． 17．證明　要證 －≥a＋－2， 只要證 ＋2≥a＋＋. ∵a>0， 故只要證2≥2， 即a2＋＋4＋4 ≥a2＋2＋＋2＋2， 從而只要證2≥， 只要證4≥2， 即a2＋≥2， 而上述不等式顯然成立，故原不等式成立． 18．證明　假設(shè)A≥60°，∵A是不等邊三角形ABC的最小角，∵B>A≥60°，C>A≥60°， ∴A＋B＋C>180°，與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾，∴假設(shè)錯誤，原結(jié)論成立，即A<60°. 19．(1)證明　tan＝ ＝； (2)解　f(x

15、)是以4為一個周期的周期函數(shù)． 證明如下： ∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝ ＝＝－， ∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)， ∴f(x)是周期函數(shù)． 20．(1)解　由已知得 ∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)． (2)證明　由(1)得bn＝＝n＋. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項bp、bq、br (p、q、r∈N*且互不相等)成等比數(shù)列，則b＝bpbr， 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)， ∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p、q、r∈N*，∴ ∴2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r，這與p≠r矛盾． ∴數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．