高中數(shù)學(xué)蘇教版選修23教學(xué)案：第1章 章末小結(jié) 知識(shí)整合與階段檢測(cè) Word版缺答案

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1、 精品資料 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P24] 一、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 1．分類計(jì)數(shù)原理 首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下分類；其次，完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類．分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法． 2．分步計(jì)數(shù)原理 首先根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn)．其次分步時(shí)要注意，完成一件事必須并且只有連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事才算完成． 二、排列與組合概念及公式 1．定義 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，若按照一定的順序排成一列，則叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；若合成

2、一組，則叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合． 即排列和順序有關(guān)，組合與順序無關(guān)． 2．排列數(shù)公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，規(guī)定A＝1. 當(dāng)m＝n時(shí)，A＝n (n－1)(n－2)…321. (2)A＝，其中A＝n！，0?。?. 三、排列與組合的應(yīng)用 1．在求解排列與組合應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)注意： (1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題； (2)通過分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理； (3)分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏； (4)列出式子計(jì)算并作答． 2．處理排列組合的綜合性問題，一般思想方法是先選元素(組合)，后排列．按元素

3、的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”，始終是處理排列組合問題的基本方法和原理，通過解題訓(xùn)練注意積累分類和分步的基本技能． 3．解排列組合應(yīng)用題時(shí)，常見的解題策略有以下幾種： (1)特殊元素優(yōu)先安排的策略； (2)合理分類和準(zhǔn)確分步的策略； (3)排列、組合混合問題先選后排的策略； (4)正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略； (5)相鄰問題捆綁處理的策略； (6)不相鄰問題插空處理的策略； (7)定序問題除法處理的策略； (8)分排問題直排處理的策略； (9)“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略； (10)構(gòu)造模型的策略． 四、二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 1．二項(xiàng)式定

4、理 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn，其中各項(xiàng)的系數(shù)C(r＝0,1,2，…，n)稱為二項(xiàng)式系數(shù)，第r＋1項(xiàng)Can－rbr稱為通項(xiàng)． [說明]　 (1)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念，前者只與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而后者還與a，b的取值有關(guān)． (2)運(yùn)用通項(xiàng)求展開式的特定值(或特定項(xiàng)的系數(shù))，通常先由題意列方程求出r，再求所需的項(xiàng)(或項(xiàng)的系數(shù))． 2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，體現(xiàn)了組合數(shù)性質(zhì)C＝C. (2)增減性與最大值： 當(dāng)r<時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)C逐漸增大； 當(dāng)r>時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)C逐漸減小． 當(dāng)n 是

5、偶數(shù)時(shí)，展開式中間一項(xiàng)T＋1的二項(xiàng)式系數(shù)Cn最大； 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，展開式中間兩項(xiàng)T與T＋1的二項(xiàng)式系數(shù)Cn，Cn相等且最大． (3)各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…. [說明]　與二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)的和或差有關(guān)的問題，一般采用賦值法求解． 　 (時(shí)間120分鐘，滿分160分) 一、填空題(本大題共14個(gè)小題，每小題5分，共70分，把正確答案填在題中橫線上) 1．從4名女同學(xué)和3名男同學(xué)中選1人主持本班的某次班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為________． 解析：由題意可得不同的

6、選法為C＝7種． 答案：7 2．(湖南高考改編)5的展開式中x2y3的系數(shù)是________． 解析：由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可得，第四項(xiàng)T4＝C2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系數(shù)為－20. 答案：－20 3．現(xiàn)有男、女學(xué)生共8人，從男生中選2人，從女生中選1人分別參加數(shù)學(xué) 、物理、化學(xué)三科競(jìng)賽，共有90種不同方案，那么男、女生人數(shù)分別是________． 解析：設(shè)男學(xué)生有x人，則女學(xué)生有(8－x)人， 則CCA＝90，即x(x－1)(8－x)＝30＝235， 所以x＝3，8－x＝5. 答案：3,5 4．將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相

7、同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有________種． 解析：由分步計(jì)數(shù)原理，先排第一列，有A種方法，再排第二列，有2種方法，故共有A2＝12種排列方法． 答案：12 5．(湖北高考改編)若二項(xiàng)式7的展開式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析：Tr＋1＝C(2x)7－rr＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5，即T5＋1＝C22a5x－3＝84x－3，解得a＝1. 答案：1 6．甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有________種． 解析：從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門

8、，則不同的選修方案共在CCC＝96種． 答案：96 7．C＋C＋C＋C＋C＝________. 解析：∵C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝26＝64， ∴C＋C＋C＋C＋C＝64－2＝62. 答案：62 8.用4種不同的顏色涂入如圖所示的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂色方法共有________種． 解析：分四步依次涂A，B，C，D.開始涂A有4種涂法；再涂B有3種涂法；然后涂C有2種涂法；最后涂D，由于D和A，B不相鄰，所以D可以和A或B同色，也可以和A，B不同色，所以共有3種涂法．由分步計(jì)數(shù)原理得，共有4323＝72(種)． 答案：72 9．“201

9、2”含有數(shù)字0,1,2，且有兩個(gè)數(shù)字2，則含有數(shù)字0,1,2，且有兩個(gè)相同數(shù)字2或1的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為________． 解析：由題意可分情況討論：含有兩個(gè)1或兩個(gè)2的四位數(shù)，先排0有3個(gè)位置可以選，然后排另外一個(gè)不重復(fù)的數(shù)字有3個(gè)位置可以選，剩下的排重復(fù)的數(shù)字，所以滿足要求的數(shù)共有2CCC＝18個(gè)． 答案：18 10．將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有________種． 解析：分兩類：甲、乙兩個(gè)宿舍中一個(gè)住4人、另一個(gè)住3人或一個(gè)住5人，另一個(gè)住2人，所以不同的分配方案共有CA＋CA＝352＋212＝112種． 答案：112 1

10、1．一次考試中，要求考生從試卷上的9個(gè)題目中選6個(gè)進(jìn)行答題，要求至少包含前5個(gè)題目中的3個(gè)，則考生答題的不同選法的種數(shù)是________． 解析：分三類：第一類，前5個(gè)題目的3個(gè)，后4個(gè)題目的3個(gè)CC； 第二類，前5個(gè)題目的4個(gè)，后4個(gè)題目的2個(gè)CC； 第三類，前5個(gè)題目的5個(gè)，后4個(gè)題目的1個(gè)CC，由分類計(jì)數(shù)原理得CC＋CC＋CC＝74. 答案：74 12．(重慶高考改編)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是________． 解析：依題意，先僅考慮3個(gè)歌舞類節(jié)目互不相鄰的排法種數(shù)為AA＝144，其中3個(gè)歌舞類節(jié)目

11、互不相鄰但2個(gè)小品類節(jié)目相鄰的排法種數(shù)為AAA＝24，因此滿足題意的排法種數(shù)為144－24＝120. 答案：120 13.n展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是________． 解析：只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n＝10， Tr＋1＝C10－rr＝2rCx5－r， 令5－r＝0，得r＝2，T3＝4C＝180. 答案：180 14.4(x－1)5的展開式中x4的系數(shù)為________． 解析：4(x－1)5＝(x－1)5(x2＋4x＋6x＋4＋1)，x4的系數(shù)為C(－1)3＋C6＋C(－1)＝45. 答案：45 二、解答題(本大題共6小題，共90分，解

12、答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)有三個(gè)袋子，其中第一個(gè)袋子裝有紅色小球20個(gè)，每個(gè)球上標(biāo)有1至20中的一個(gè)號(hào)碼．第二個(gè)袋子裝有白色小球15個(gè)，每個(gè)球上標(biāo)有1至15中的一個(gè)號(hào)碼．第三個(gè)袋子裝有黃色小球8個(gè)，每個(gè)球上標(biāo)有1至8中的一個(gè)號(hào)碼． (1)從袋子里任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？ (2)從袋子里任取紅、白、黃色球各一個(gè)，有多少種不同的取法？ 解：(1)從第一個(gè)袋子中取一個(gè)小球有20種取法；從第二個(gè)袋子中取一個(gè)小球有15種取法；從第三個(gè)袋子中取一個(gè)小球有8種取法．由分類計(jì)數(shù)原理可知共有20＋15＋8＝43種取法． (2)分三步：第一步，從第

13、一個(gè)袋子中取一個(gè)紅色球有20種取法；第二步，從第二個(gè)袋子中取一個(gè)白色球有15種取法；第三步，從第三個(gè)袋子中取一個(gè)黃色球有8種取法．由分步計(jì)數(shù)原理可知共有20158＝2 400種取法． 16．(本小題滿分14分)有0,1,2,3,4,5共六個(gè)數(shù)字． (1)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)； (2)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)． 解：(1)符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：第一類，0在個(gè)位時(shí)有A個(gè)；第二類，2在個(gè)位時(shí)有AA個(gè)；第三類，4在個(gè)位時(shí)有AA個(gè)； 由分類計(jì)數(shù)原理知，共有四位偶數(shù)A＋AA＋AA＝156(個(gè))． (2)五位數(shù)中5的倍數(shù)可分為兩類；第一類，個(gè)位上的數(shù)字是

14、0的五位數(shù)有A個(gè)；第二類，個(gè)位上的數(shù)字是5的五位數(shù)有AA個(gè)． 故滿足條件的五位數(shù)有A＋AA＝216(個(gè))． 17．(本小題滿分14分)在(1－x2)20的展開式中，如果第4r項(xiàng)和第r＋2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等， (1)求r的值； (2)寫出展開式中的第4r項(xiàng)和第r＋2項(xiàng)． 解：(1)第4r項(xiàng)和第r＋2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是C和C， C＝C?4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20， 解得r＝4或r＝(舍去)．所以r＝4. (2)T4r＝T16＝C(－x2)15＝－15 504x30， Tr＋2＝T6＝C(－x2)5＝－15 504x10. 18．(本小題滿分16分)設(shè)(2x－1)

15、10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值． (1)a0＋a1＋a2＋…＋a10； (2)a6. 解：(1)令x＝1， 得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1. (2)a6即為含x6項(xiàng)的系數(shù)， Tr＋1＝C(2x)10－r(－1)r＝C(－1)r210－rx10－r， 所以當(dāng)r＝4時(shí)，T5＝C(－1)426x6＝13 440x6， 即a6＝13 440. 19．(本小題滿分16分)6個(gè)人坐在一排10個(gè)座位上，問： (1)空位不相鄰的坐法有多少種？ (2)4個(gè)空位只有3個(gè)相鄰的坐法有多少種？ (3)4個(gè)空位至多有2個(gè)相鄰的坐法有多少種？

16、解：6個(gè)人排有A種坐法，6人排好后包括兩端共有7個(gè)“間隔”可以插入空位． (1)空位不相鄰相當(dāng)于將4個(gè)空位安插在上述7個(gè)“間隔”中，有C＝35種插法， 故空位不相鄰的坐法有AC＝25 200種． (2)將相鄰的3個(gè)空位當(dāng)作一個(gè)元素，另一空位當(dāng)作另一個(gè)元素，往7個(gè)“間隔”里插，有A種插法，故4個(gè)空位中只有3個(gè)相鄰的坐法有AA＝30 240種． (3)4個(gè)空位至多有2個(gè)相鄰的情況有三類： ①4個(gè)空位各不相鄰有C種坐法； ②4個(gè)空位2個(gè)相鄰，另有2個(gè)不相鄰有CC種坐法； ③4個(gè)空位分兩組，每組都有2個(gè)相鄰，有C種坐法． 綜上所述，應(yīng)有A(C＋CC＋C)＝115 920種坐法． 20

17、．(本小題滿分16分)10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果： (1)4只鞋子沒有成雙的； (2)4只鞋子恰成兩雙； (3)4只鞋中有2只成雙，另2只不成雙． 解：(1)從10雙鞋子中選取4雙，有C種不同選法，每雙鞋子中各取一只，分別有2種取法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，選取種數(shù)為N＝C24＝3 360(種)． 即4只鞋子沒有成雙有3 360種不同取法． (2)從10雙鞋子中選取2雙有C種取法， 所以選取種數(shù)為N＝C＝45(種) 即4只鞋子恰成雙有45種不同取法． (3)先選取一雙有C種選法，再?gòu)?雙鞋中選取2雙有C種選法，每雙鞋只取一只各有2種取法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同取法為N＝CC22＝1 440(種).