2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(含解析) (I).doc

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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(含解析) (I) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.若集合A＝，則下列關(guān)系錯誤的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 集合與集合的關(guān)系不能是，得出答案. 【詳解】A、B、C顯然正確，空集與集合的關(guān)系不能是，D錯誤 故選D. 【點睛】本題考查了元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題. 2.下列命題中，真命題是（ ） A. B. C. 的充要條件是 D. 是的充分條件 【答案】D 【解析】 A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知ex＞0 恒成立，所以A錯誤． B：當x=?1 時，2?1＝12＜?12＝1 ，所以B錯誤． C：若a=b=0 時，滿足a+b=0 ，但ab=?1， 不成立，所以C錯誤． D：a＞1，b＞1， 則ab＞1 ，由充分必要條件的定義，a＞1，b＞1，，是 ab＞1的充分條件，則D正確． 故選D． 【此處有視頻，請去附件查看】 3.若函數(shù)f(x)=x+1x?2(x>2)，在x=a處取最小值， 則a=( A. 1+2 B. 1+3 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 當x>2時,x-2>0, f(x)=x-2+1x?2+2≥2(x?2)1(x?2)+2=4, 當且僅當x-2=1x?2(x>2),即x=3時取等號, 即當f(x)取得最小值時,x=3,即a=3.故選C. 【此處有視頻，請去附件查看】 4.設(shè)函數(shù)y=x3與y=(12)x?2的圖象的交點為(x0,y0)，則x0所在的區(qū)間是（ ） A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 【答案】B 【解析】 試題分析：因為根據(jù)題意可知,當x=1時，則y=x3=1y==(12)x?2=(12)0=1，并且前者是遞增函數(shù)，后者是遞減函數(shù)那么可知必然交點在該區(qū)間取得，故選B. 考點：本題主要考查了函數(shù)圖像與圖像的交點問題的運用，確定零點問題。 點評：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的圖像與圖像的位置關(guān)系來判定交點的位置，也可以通過求解各個區(qū)間的左右端點值，是否是滿足圖像出現(xiàn)交的情況即可。 5.某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積等于（ ）cm3 A. 4+2π3 B. 4+3π2 C. 6+2π3 D. 6+3π2 【答案】D 【解析】 解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體， 結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積為： V=V三棱柱+V半圓柱=223+12?π?123=（6+1.5π）cm3． 故答案為：6+1.5π． 點睛：根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計算它的體積即可． 6.如果直線ax+3y+1=0與直線2x+2y?3=0互相垂直，那么的值等于(　　) A. ?3 B. ?13 C. 3 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】 據(jù)兩直線垂直，斜率互為負倒數(shù)，求得a. 【詳解】∵直線ax+3y+1=0與直線2x+2y-3=0垂直， ∴斜率之積等于－1，∴a-3?2-2=-1，a＝-3，故選A. 【點睛】本題考查了兩直線的垂直位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題. 兩直線平行，斜率相等，截距不相等； 兩直線垂直（斜率都存在），斜率互為負倒數(shù)，或是一個斜率為0，另一個斜率不存在. 7.美索不達米亞平原是人類文明的發(fā)祥地之一。美索不達米亞人善于計算，他們創(chuàng)造了優(yōu)良的計數(shù)系統(tǒng)，其中開平方算法是最具有代表性的。程序框圖如圖所示，若輸入a,n,ξ的值分別為8，2，0.5，（運算結(jié)果精確到小數(shù)點后兩位），則輸出結(jié)果為（ ） A. 2.81 B. 2.82 C. 2.83 D. 2.84 【答案】D 【解析】 由算法流程圖中提供的算法程序可以看出：當輸入a=8,n=2,ξ=0.5時，m=an=4,n=m+n2=4+22=3,?|m?n|=1>0.5，程序繼續(xù)進行，此時m=an=83,n=83+32=8+96=176,?|m?n|=16<0.5，運算程序結(jié)束，輸出n=176=2.83333???=2.84，應(yīng)選答案D。 8.已知直線⊥平面α，直線m ?平面β，給出下列命題： ①α∥β ? l⊥m ②α⊥β ?∥m ③∥m ? α⊥β ④⊥m ? α∥β 其中正確命題的序號是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】 利用線面、面面平行的性質(zhì)和判斷以及線面、面面垂直的性質(zhì)和判斷可得結(jié)果. 【詳解】②若α⊥β，則與m不一定平行，還可能為相交和異面；④若l⊥m，則α與β不一定平行，還可能是相交. 故選A. 【點睛】本題是一道關(guān)于線線、線面、面面關(guān)系的題目，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與平面和平面與平面的平行、垂直的性質(zhì)定理和判斷定理. 9.已知函數(shù)f(x)=?x2+2x+3，若在區(qū)間[?4,4]上任取一個實數(shù)x0，則使f(x0)≥0成立的概率為（ ） A. 425 B. 12 C. 23 D. 1 【答案】B 【解析】 試題分析：由f(x0)≥0得?1≤x0≤3．所以所求概率為,故選B. 考點：幾何概型. 10.在△ABC中，若a＝52b，A＝2B，則cosB等于(　　) A. 53 B. 54 C. 55 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】 先由正弦定理得出sinA和sinB的關(guān)系，再利用二倍角公式展開，算出cosB的值. 【詳解】由正弦定理，得ab=sinAsinB，∴a＝52b可化為sinAsinB=52. 又A=2B，∴sin2BsinB=52，∴cosB＝54. 故選B. 【點睛】本題考查了對正弦定理和倍角公式的運用，屬于基礎(chǔ)題. 11.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60o的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（　　） A. (1,2] B. (1,2) C. [2,+∞) D. (2,+∞) 【答案】C 【解析】 試題分析：已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率ba，∴ba≥3，離心率e2=c2a2＝a2+b2a2≥4，∴e≥2，故選C． 考點：雙曲線的簡單性質(zhì)． 12.已知P為曲線(x+3)2+y2+(x?3)2+y2=10上的一點，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x?3)2＋y2＝4上的點，則|PM |＋|PN |的最小值為(　　) A. 5 B. 7 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)題意，點P的軌跡方程式是橢圓，而且橢圓的焦點恰好是圓M、N的圓心，再根據(jù)橢圓的定義與圓的有關(guān)性質(zhì)得出結(jié)果. 【詳解】根據(jù)橢圓的定義知曲線(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=10是以（3,0）和（-3,0）為焦點，2a=10的橢圓，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x-3)2＋y2＝4，所以圓心M（-3,0）、N（3,0），半徑分別為1和2，易知橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且|PF1|＋|PF2|＝10，從而|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋|PF2|-1-2＝7. 故選B. 【點睛】本題考查了橢圓的定義和性質(zhì)以及和圓有關(guān)的綜合知識，注意認真審題，仔細解答和公式的合理運用，屬于基礎(chǔ)題. 二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上. 13.設(shè)e1，e2為單位向量， 且e1，e2的夾角為π3，若a=e1+3e2，b=2e1，則向量在b方向上的投影為________． 【答案】52 【解析】 【分析】 根據(jù)向量在向量b上的投影為a?bb，然后分別算出a?b和b ，代入求得結(jié)果. 【詳解】由于a=e1+3e2，b=2e1， 所以|b|=2，a?b=2e12+6e1?e2=2+612=5， 所以向量在b方向上的投影為|a|?cos=a?b|b|=52. 故答案為52 【點睛】本題考查了向量的基本運算和向量數(shù)量積的幾何意義，熟練運用公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題. 14.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在2+2+2+? 222中“?”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值x. 這可以通過方程2+x=x確定x＝2，則1+11+11+?=_______. 【答案】1+52 【解析】 【分析】 根據(jù)題目已知的例子，令1+11+11+?=x,即1+1x=x，求得結(jié)果. 【詳解】由題意，可令1+11+11+?=x，即1+1x=x，即x2-x-1＝0， 解得x=1+52，故1+11+11+?= 1+52. 【點睛】本題主要考查的是類比推理，讀懂題目中整體代換的方法，理解其解答過程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題. 15.如果直線l:x+y?b=0與曲線C:y=1?x2有兩個公共點, 那么b的取值范圍是_______________ 【答案】??1,2 【解析】 【分析】 曲線C表示以原點為圓心，1為半徑的半圓，根據(jù)圖形得出直線l與半圓有兩個公共點時抓住兩個關(guān)鍵點，一是直線l與圓相切時；一是直線l過（﹣1，0）時，分別求出b的值，即可確定出b的范圍． 【詳解】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示： 當直線l與圓相切時，圓心（0，0）到y(tǒng)=x+b的距離d=r=1， 即|b|2=1，解得：b=2或b=﹣2（舍去）． 當直線l過（﹣1，0）時，將（﹣1，0）代入y=x+b中， 求得：b=1， 則直線l與曲線C有兩個公共點時b的范圍為1≤b＜2， 故答案為：??1,2. 【點睛】本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的，聯(lián)立的時候較少；在求圓上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長或者切線長時，經(jīng)常用到垂徑定理. 16.已知函數(shù)f(x)，任意x1，x2∈?π2,π2(x1≠x2)，給出下列結(jié)論： ①f (x＋π)＝f (x)；②f (?x)＝f (x)；③f (0)＝1；④f(x1)?f(x2)x1?x2>0；⑤fx1+x22>fx12+fx22. 當f (x)＝tanx時，正確結(jié)論的序號為________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】 根據(jù)正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，判斷出正誤即可. 【詳解】由于f(x)＝tanx的周期為π，故①正確；函數(shù)f(x)＝tanx為奇函數(shù)，故②不正確；f(0)＝tan0＝0，故③不正確；④表明函數(shù)為增函數(shù)，而f(x)＝tanx為區(qū)間-π2,π2上的增函數(shù)，故④正確；⑤由函數(shù)f(x)＝tanx的圖象可知，函數(shù)在區(qū)間-π2,0上有fx1+x22>fx12+fx22，在區(qū)間0,π2上有fx1+x22=n?vnv=55 ．所以二面角C-BF-A的余弦值55． （3）線段CE上不存在點G，使得AG⊥平面BCF，理由如下： 解法一：設(shè)平面ACE的法向量為m =(x1,y1,z1)， 則m?AC=0m?AE=0 即2x1+2y1=0,3y1+3z1=0. 令y1=1，則x1=-1，z1=-3，所以m =(-1,1,-3)．因為m?n≠0 ， 所以平面ACE與平面BCF不可能垂直， 從而線段CE上不存在點G，使得AG⊥平面BCF． 解法二：線段CE上不存在點G，使得AG⊥平面BCF，理由如下： 假設(shè)線段CE上存在點G，使得AG⊥平面BCF，設(shè)CG→=λCE→，其中λ∈[0,?1]． 設(shè)G(?x2,??y2,??z2?)，則有(?x2-2,??y2-2,??z2)=(-2λ,λ,3λ)， 所以?x2=2-2λ，y2=2+λ，z2=3λ，從而G(?2-2λ,??2+λ,??3λ?)， 所以AG→=(2-2λ,2+λ,3λ)． 因為AG⊥平面BCF，所以AG?//?n．所以有2-2λ1=2+λ1=3λ3， 因為上述方程組無解，所以假設(shè)不成立． 所以線段CE上不存在點G，使得AG⊥平面BCF． 【點睛】本題目主要考查了線面平行的判定，以及利用空間向量求二面角和線面垂直的方法，解題的關(guān)鍵是在于平面的法向量的求法，運算量較大，屬于中檔題. 19. 某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]． (1) 求圖中a的值； (2) 根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成績的平均分； (3) 若這100名學(xué)生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分數(shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50，90)之外的人數(shù). 分數(shù)段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 【答案】（Ⅰ）a=0.005（Ⅱ）73．（Ⅲ）有10人 【解析】 試題分析：（1）每一個小矩形的面積是該組的頻率，頻率和等于1，列式求；（2）用每個小矩形的底邊中點乘以該組的頻率之后就是平均分；（3）首先計算語文成績分別在四個小組的人數(shù)，對比x:y可求數(shù)學(xué)成績的人數(shù)，這樣就可得到所有數(shù)學(xué)成績落在50,90的人數(shù)，再用100減，可得結(jié)果. 試題解析：（1）由2a+0.02+0.03+0.0410=1,解得a=0.005. （2）0.0555+0.465+0.375+0.285+0.0595=73. （3）這100位學(xué)生語文成績在50,60、60,70、70,80、80,90的分別有5人、40人、30人、20人,按照表中所給比例,數(shù)學(xué)成績在50,60、60,70、70,80、80,90的分別有5人、20人、40人、25人，共90人，所以數(shù)學(xué)成績在50,90之外的人數(shù)有10人. 【點睛】本題考查了頻率分布直方圖，頻率分布直方圖的高不表示頻率，而是面積表示頻率，樣本容量頻率=頻數(shù)，每一組的頻率和等于1，以及根據(jù)頻率分布直方圖求眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)，眾數(shù)是最高組的底邊中點，中位數(shù)的兩邊的頻率都是0.5，平均數(shù)是每一組的底邊中點乘以該組的頻率的和，這是處理這類問題使用到的知識. 20.定義在D上的函數(shù)f(x)，如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M，都有f(x)≥M成立，則稱f(x)是D上的有下界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)的一個下界．已知函數(shù)f(x)=exa+aex(a>0)． （1）若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，求a的值； （2）求函數(shù)f(x)在[lna,+∞)上所有下界構(gòu)成的集合． 【答案】（1）1（2） ?∞,2 【解析】 【分析】 （1）利用偶函數(shù)的定義，求得a的值； （2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷出函數(shù)f(x)在[lna,+∞)的單調(diào)性，求得最小值，最后得出結(jié)果. 【詳解】解：（1）函數(shù)f(x)=exa+aex(a>0)是R上的偶函數(shù)， f(-x)=f(x)，即1aex-e-x=a(1e-x-1ex)=aex-e-x在R恒成立， ∴1a=a，解得a=1（a＞0）， （2）在[lna,+∞)上任取x1，x2，且x1＜x2，則 f(x1)-f(x2)=1a(ex1-ex2)-aex1-ex2ex1?ex2=(ex1-ex2)?ex1+x2-a2a?ex1+x2 ∵y=ex是增函數(shù)，lna≤x12lna2， ∴ex1+x2>elna2=a2，∴ex1+x2-a2>0， 又∵a?ex1+x2>0，∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0)，準線方程為y=-1， 則p＝2，故拋物線的方程為x2＝4y. (2)證明：設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)． 過點A的切線方程為x1x＝2y＋2y1，過點B的切線方程為x2x＝2y＋2y2. 兩切線都過點M，所以有x1x0=2y0+2y1x2x0=2y0+2y2故過點M的直線為x0x＝2y0＋2y. 又因為直線l過點(1，2)，所以有x0＝2y0＋4. 所以點M在定直線x＝2y＋4上． (3)解：只需要將定直線x＝2y＋4平移與拋物線相切，求出切點坐標． 由x2＝4y，得y＝14x2.由y′＝12x＝12， 可得x＝1，代入x2＝4y，得y＝14，切點為(1，14).所以所求距離 d=1-214-412+(-2)2=7510. 【點睛】本題目主要考查了拋物線的性質(zhì)和切線的問題，解題關(guān)鍵是拋物線的切線的求法，屬于中檔題. 22.在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=3cosαy=sinα（α為參數(shù)），以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin(θ+π4)=22. （1）寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程； （2）設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求PQ的最小值以及此時P的直角坐標. 【答案】（1）C1：x23+y2=1，C2：x+y?4=0；（2）PQmin=2，此時P(32,12). 【解析】 試題分析：（1）C1的普通方程為x23+y2=1，C2的直角坐標方程為x+y?4=0；（2）由題意，可設(shè)點P的直角坐標為(3cosα,sinα) ? P到C2的距離d(α)=|3cosα+sinα?4|2=2|sin(α+π3)?2| ?當且僅當α=2kπ+π6(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為2，此時P的直角坐標為(32,12). 試題解析： （1）C1的普通方程為x23+y2=1，C2的直角坐標方程為x+y?4=0. （2）由題意，可設(shè)點P的直角坐標為(3cosα,sinα)，因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，d(α)=|3cosα+sinα?4|2=2|sin(α+π3)?2|. 當且僅當α=2kπ+π6(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為2，此時P的直角坐標為(32,12). 考點：坐標系與參數(shù)方程. 【方法點睛】參數(shù)方程與普通方程的互化：把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當?shù)南麉⒎椒?，常見的消參方法有：代入消參法；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法；混合消參法等．把曲線C的普通方程F(x,y)=0化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當選取參數(shù)；二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r性．注意方程中的參數(shù)的變化范圍． 【此處有視頻，請去附件查看】