高考數(shù)學 文二輪專題復習習題：第1部分 專題六　解析幾何 163 Word版含答案

限時規(guī)范訓練十六　圓錐曲線的綜合問題 限時60分鐘，實際用時________ 分值60分，實際得分________　 解答題(本題共5小題，每小題12分，共60分) 1．(20xx高考全國卷Ⅱ)設O為坐標原點，動點M在橢圓C：＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足＝. (1)求點P的軌跡方程； (2)設點Q在直線x＝－3上，且＝1，證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 解：(1)設P(x，y)，M(x0，y0)， 則N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)． 由＝得x0＝x，y0＝y(tǒng). 因為M(x0，y0)在C上，所以＋＝1. 因此點P的軌跡方程為x2＋y2＝2. (2)由題意知F(－1,0)．設Q＝(－3，t)，P(m，n)， 則＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. 所以＝0，即⊥. 又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 2．(20xx黑龍江哈爾濱模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的焦點分別為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，點P在橢圓C上，滿足|PF1|＝7|PF2|，tan∠F1PF2＝4. (1)求橢圓C的方程． (2)已知點A(1,0)，試探究是否存在直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于D，E兩點，且使得|AD|＝|AE|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由． 解：(1)由|PF1|＝7|PF2|，PF1＋PF2＝2a得PF1＝，PF2＝，由cos2∠F1PF2＝＝＝，又由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝，所以a＝2， 故所求C的方程為＋y2＝1. (2)假設存在直線l滿足題設，設D(x1，y1)，E(x2，y2)，將y＝kx＋m代入＋y2＝1并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝－16(m2－4k2－1)＞0，得4k2＋1＞m2①，又x1＋x2＝ －設D，E中點為M(x0，y0)，M，kAMk＝－1，得m＝－②，將②代入①得4k2＋1＞2，化簡得20k4＋k2－1＞0?(4k2＋1)(5k2－1)＞0，解得k＞或k＜－，所以存在直線l，使得|AD|＝|AE|，此時k的取值范圍為∪. 3．(20xx高考全國卷Ⅰ)設A，B為曲線C：y＝上兩點，A與B的橫坐標之和為4. (1)求直線AB的斜率； (2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程． 解：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4， 于是直線AB的斜率k＝＝＝1. (2)由y＝，得y′＝. 設M(x3，y3)，由題設知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)． 設直線AB的方程為y＝x＋m， 故線段AB的中點為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 將y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0. 當Δ＝16(m＋1)＞0，即m＞－1時，x1,2＝22. 從而|AB|＝|x1－x2|＝4. 由題設知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7. 所以直線AB的方程為y＝x＋7. 4．已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)2的坐標滿足圓Q方程(x－)2＋(y－1)2＝1，且圓心Q滿足|QF1|＋|QF2|＝2a. (1)求橢圓C1的方程． (2)過點P(0,1)的直線l1交橢圓C1于A，B兩點，過P與l1垂直的直線l2交圓Q于C，D兩點，M為線段CD中點，求△MAB面積的取值范圍． 解：(1)方程(x－)2＋(y－1)2＝1為圓，此圓與x軸相切，切點為F2(，0)，所以c＝，即a2－b2＝2，且F2(，0)，F(xiàn)1(－，0)，|QF1|＝＝＝3， 又|QF1|＋|QF2|＝3＋1＝2a. 所以a＝2，b2＝a2－c2＝2，所以橢圓C1的方程為＋＝1. (2)當l1平行x軸時，l2與圓Q無公共點，從而△MAB不存在； 所以設l1：x＝t(y－1)，則l2：tx＋y－1＝0. 由消去x得(t2＋2)y2－2t2y＋t2－4＝0，則|AB|＝|y1－y2|＝. 又圓心Q(，1)到l2的距離d1＝＜1得t2＜1. 又MP⊥AB，QM⊥CD，所以M到AB的距離即Q到AB的距離，設為d2，即d2＝＝. 所以△MAB面積S＝|AB|d2＝， 令u＝∈[2，)，則S＝f(u)＝＝∈. 所以△MAB面積的取值范圍為. 5．(20xx山東濰坊模擬)如圖，點O為坐標原點，點F為拋物線C1：x2＝2py(p＞0)的焦點，且拋物線C1上點P處的切線與圓C2：x2＋y2＝1相切于點Q. (1)當直線PQ的方程為x－y－＝0時，求拋物線C1的方程； (2)當正數(shù)p變化時，記S1，S2分別為△FPQ，△FOQ的面積，求的最小值． 解：(1)設點P，由x2＝2py(p＞0)得，y＝，求導得y′＝. 因為直線PQ的斜率為1，所以＝1且x0－－＝0， 解得p＝2， 所以拋物線C1的方程為x2＝4y. (2)因為點P處的切線方程為：y－＝(x－x0)， 即2x0x－2py－x＝0， 根據(jù)切線又與圓相切，得＝1， 化簡得x＝4x＋4p2， 由4p2＝x－4x＞0，得|x0|＞2. 由方程組 解得Q， 所以|PQ|＝|xP－xQ| ＝＝ ＝＝(x－2)． 點F到切線PQ的距離是d＝＝ ＝＝， 所以S1＝|PQ|d＝(x－2)， S2＝|OF||xQ|＝， 所以＝＝＝ ＝＋＋3≥2＋3， 當且僅當＝時取“＝”號， 即x＝4＋2，此時，p＝， 所以的最小值為3＋2.