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1、新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料
第2課時(shí) 向量的減法
[核心必知]
1．相反向量
(1)定義：與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量．記作：－a．
(2)相反向量的性質(zhì)
①－00，－(－a)＝a；
②a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
③如果a，b互為相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．
2．向量的減法
定義
向量a加上b的相反向量，叫作向量a與b的差，即a－b＝a＋(－b)．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫作向量的減法.
作法
如果把向量a與b的起點(diǎn)放在O點(diǎn)，那么從向量b的終點(diǎn)B指向被減向量a的終點(diǎn)A，得到的向量就是a－b.
圖示
[問(wèn)題思考]
2、
1．向量減法的實(shí)質(zhì)是什么？
提示：向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算，即a－b＝a＋(－b)．
2．如何運(yùn)用三角形法則進(jìn)行向量的減法運(yùn)算？
提示：如已知向量a，b，求a－b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，連接AB，則＝a－b.
講一講
1．已知向量a，b，c求作向量a＋b－c.
[嘗試解答] 法一：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，
連接OB，則＝a＋b.
再作＝c，連接BC，則＝－＝a＋b－c
即為所求(如圖)
法二：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，以O(shè)A，OB為鄰邊，作?OACB，連接OC，則＝a＋b.
再作＝c，連接CD.
則＝－
3、＝a＋b－c即為所求(如圖)．
法三：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，連接OB，則＝a＋b.再作＝－c，連接OC.
則＝＋＝a＋b－c即為所求(如圖)．
1．向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算．利用相反向量的定義，－＝就可以把減法化為加法．在用三角形法則作向量減法時(shí)，只要記住“連接兩向量終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”即可．
2．以向量＝a、＝b為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對(duì)角線的向量為＝a＋b，＝b－a，＝a－b，這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)該加強(qiáng)理解并記?。?
3．三角形法則和平行四邊形法則對(duì)于向量的減法同樣適用．
練一練
1．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1，＝
4、a，＝b，＝c，試作向量a－b＋c.
講一講
2．化簡(jiǎn)下列各式：
1．計(jì)算向量的加減法時(shí)應(yīng)謹(jǐn)記以下口訣：
(1)加法口訣：首尾相接，箭頭從始點(diǎn)指向最后一個(gè)終點(diǎn)．
(2)減法口訣：始點(diǎn)相同連接終點(diǎn)，箭頭指向被減向量．
2．多個(gè)向量作加減運(yùn)算時(shí)，應(yīng)把首尾相連的放在一起計(jì)算，起點(diǎn)相同的放在一起計(jì)算．必要時(shí)，可畫出圖形，結(jié)合圖形觀察，將使問(wèn)題更為直觀．
練一練
講一講
3．已知?ABCD中，∠ABC＝60，設(shè)＝a，＝b，若|a|＝|a＋b|＝2，求|a－b|的值．
[嘗試解答]
依題意，
||＝|a＋b|＝2，
而
5、||＝|a|＝2，
∵∠ABC＝60，∴△ABC是等邊三角形．∴BC＝AB.
?ABCD為菱形，AC⊥BD，
∴|a|2＝(|a＋b|)2＋(|a－b|)2
即4＝1＋，∴|a－b|＝2.
本題的解答是利用了向量加法與減法的幾何意義，一般地，若a，b是兩個(gè)不共線的向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A作＝a，＝b，以AB、AD為鄰邊作?ABCD，那么＝a＋b，＝a－b.恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造平行四邊形，尋找|a|，|b|，|ab|的關(guān)系，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
練一練
3．已知非零向量a，b滿足|a|＝＋1，|b|＝－1，且
|a－b|＝4，求|a＋b|的值．
解：
6、
所以△OAB是以∠AOB為直角的直角三角形，
從而OA⊥OB，
所以?OACB是矩形．
根據(jù)矩形的對(duì)角線相等有＝4，
即|a＋b|＝4.
如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，.
試用a，b，c表示向量.
[錯(cuò)解] ∵
＝c＋b－a.
[錯(cuò)因] 錯(cuò)誤地使用了向量的減法法則，誤認(rèn)為，在應(yīng)用三角形法則作向量減法時(shí)，應(yīng)注意“連接兩向量終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”．
＝a－b＋c.
1．在四邊形ABCD中，設(shè)等于( )
A．a(chǎn)－b＋c B．a(chǎn)＋b＋c
C．b－(a＋c) D．b－a＋c
解析：選A
＝－b＋a＋c.
4．已知|a|＝
7、1，|b|＝2，|a＋b|＝，則|a－b|＝________．
解析：∵()2＝12＋22.
∴以a，b為鄰邊的平行四邊形為矩形，
那么|a－b|＝|a＋b|＝.
答案：
5．給出下列運(yùn)算：
∴①，②正確，③不正確．
答案： ①②
6．如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.
解：法一：如圖①，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝b，則＝a＋b，
再作＝c，則＝a＋b－c.
法二：如圖②，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝b，則＝a＋b，再作＝c，連接OC，則＝a＋b－c.
一、選擇題
A．①② B．②③
C．③④
8、 D．①④
3．如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則( )
4．a(chǎn)與b是非零向量，下列結(jié)論正確的是( )
A．|a|＋|b|＝|a＋b| B．|a|－|b|＝|a－b|
C．|a|＋|b|>|a＋b| D．|a|＋|b|≥|a＋b|
解析：選D
當(dāng)a，b共線時(shí)，若a，b同向，則|a＋b|＝|a|＋|b|，a，b反向時(shí)，
|a＋b|<|a|＋|b|；
當(dāng)a，b不共線時(shí)，如圖有：
|a＋b|<|a|＋|b|.
故|a|＋|b|≥|a＋b|.
二、填空題
5．若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則＝________.
9、
答案：2
6．若A、B、C、D是平面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子：①＋其中所有正確的式子的序號(hào)是________．
答案：②③
7．在?ABCD中，＝b，|a|＝|b|＝2，∠BAD＝120，則|a－b|＝________.
解析：
如圖，依題意?ABCD是菱形，∴∠DAO＝60，∴DO＝ADsin 60＝2＝，
故|a－b|＝||＝2DO＝2.
答案：2
8. 如圖，已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，＝c，試用a，b，c表示＝________.
＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
三、解答題
9．如圖，在正五邊形ABCDE中，若＝c，＝e，求作向量a
10、－c＋b－d－e.
解：
a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e)
.
如圖，連接AC，并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，
使CF＝AC，則.
所以，即為所求作的向量a－c＋b－d－e.
10. 如圖，?ABCD中，＝b，
(1)用a、b表示；
(2)當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，a＋b與a－b的所在直線互相垂直？
(3)當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，|a＋b|＝|a－b|.
(4)a＋b與a－b有可能為相等向量嗎？為什么？
解：(1)＝a－b.
(2)由(1)知a＋b＝，a－b＝.
a＋b與a－b的所在直線垂直，即AC⊥BD.
又∵ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD為菱形，即a、b應(yīng)滿足|a|＝|b|.
(3)|a＋b|＝|a－b|，即||＝||.
∵矩形的對(duì)角線相等．
∴當(dāng)a與b的所在直線垂直時(shí)，
滿足|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能，因?yàn)?ABCD的兩對(duì)角線不可能平行，因此a＋b與a－b不可能為共線向量，也就不可能為相等向量．
新編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;2 第2課時(shí) 向量的減法 Word版含答案
