高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第一章 2 第二課時(shí) 排列的應(yīng)用 Word版含解析

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1、2019屆 北師大版數(shù)學(xué)精品資料 第二課時(shí)　排列的應(yīng)用 無(wú)限制條件的排列問(wèn)題 [例1]　由數(shù)字1,2,3,4可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？ [思路點(diǎn)撥]　可分別求出一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)的個(gè)數(shù)，再求和． [精解詳析]　第一類(lèi)：組成一位數(shù)有A＝4個(gè)； 第二類(lèi)：組成二位數(shù)有A＝12個(gè)； 第三類(lèi)：組成三位數(shù)有A＝24個(gè)； 第四類(lèi)：組成四位數(shù)有A＝24個(gè)． 根據(jù)加法原理，一共可以組成4＋12＋24＋24＝64個(gè)正整數(shù)． [一點(diǎn)通]　對(duì)于無(wú)限制條件的排列問(wèn)題，可直接根據(jù)排列的定義及排列數(shù)公式列式求解．若解決問(wèn)題時(shí)需要分類(lèi)或分步，則要結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

2、求解． 1．從4種蔬菜品種中選3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行試驗(yàn)，有多少種不同的種植方法？ 解：從4種蔬菜品種中選3種，分別種在3塊不同土質(zhì)上，對(duì)應(yīng)于從4個(gè)元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)．因此不同的種植方法數(shù)為A＝4×3×2＝24. 故共有24種不同的種植方法． 2．(1)有3名大學(xué)畢業(yè)生到5個(gè)招聘雇員的公司應(yīng)聘，每個(gè)公司至多招聘一名新雇員，且3名大學(xué)畢業(yè)生全部被聘用，若不允許兼職，共有多少種不同的招聘方案？ (2)有5名大學(xué)畢業(yè)生到3個(gè)招聘雇員的公司應(yīng)聘，每個(gè)公司只招聘一名新雇員，并且不允許兼職，現(xiàn)假定這三個(gè)公司都完成了招聘工作，問(wèn)共有多少種不同的招聘

3、方案？ 解：(1)將5個(gè)招聘雇員的公司看作5個(gè)不同的位置，從中任選3個(gè)位置給3名大學(xué)畢業(yè)生，則本題即為從5個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的排列問(wèn)題，所以不同的招聘方案共有A＝5×4×3＝60種． (2)將5名大學(xué)畢業(yè)生看作5個(gè)不同的位置，從中任選3個(gè)位置給3個(gè)招聘雇員的公司，則本題仍為從5個(gè)不同的元素中任取3個(gè)元素的排列問(wèn)題，所以不同的招聘方案有A＝5×4×3＝60種. 元素“在”與“不在”型排列問(wèn)題 [例2]　7名同學(xué)站成一排． (1)其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？ (2)甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？ (3)甲、乙不能

4、站在排頭和排尾的排法共有多少種？ [思路點(diǎn)撥]　這是一個(gè)有限制條件的排列問(wèn)題，每一問(wèn)均應(yīng)優(yōu)先考慮限制條件，遵循特殊元素或位置優(yōu)先安排的原則． [精解詳析]　(1)先考慮甲站在中間有1種方法，再在余下的6個(gè)位置排另外 6名同學(xué)，共有A＝6×5×4×3×2×1＝720種排法． (2)先考慮甲、乙站在兩端的排法有A種，再在余下的5個(gè)位置排另外5名同學(xué)的排法有A種，共有AA＝2×1×5×4×3×2＝240種排法． (3)法一：先考慮在除兩端外的5個(gè)位置選2個(gè)安排甲、乙有A種，再在余下的5個(gè)位置排

5、另外5位同學(xué)的排法有A種，共有AA＝5×4×5×4×3×2×1＝2 400種排法． 法二：考慮特殊位置優(yōu)先法，即兩端的排法有A種，中間5個(gè)位置有A種，共有AA＝2 400種排法． [一點(diǎn)通]　(1)“在”與“不在”的有限制條件的排列問(wèn)題，既可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰(shuí)“特殊”誰(shuí)優(yōu)先． (2)從元素入手時(shí)，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；從位置入手時(shí)，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：無(wú)論從元素考慮還是從位置考慮，都要貫徹到底，不能既考慮元素又考慮位置． 3．電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中

6、含4個(gè)不同的產(chǎn)品廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則不同的播放方式有(　　) A．48種　　　　　　　　 B．24種 C．720種 D．120種 解析：分兩步：第一步先排首尾，第二步再排中間4個(gè)位置，則N＝AA＝2×24＝48. 答案：A 4．用0,1,2這3個(gè)數(shù)字，可以排成________個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)． 解析：組成3位數(shù)，相當(dāng)于將3個(gè)元素排在三個(gè)位置，但0不能在首位，首位的排法有A，而其余兩位排法有A，由分步乘法原理知，共有AA＝4種排法． 答案：4 5．由0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中小于50萬(wàn)，又不是5

7、的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 解：法一：因?yàn)槭孜缓蛡€(gè)位上不能排0和5，所以先從1,2,3,4中任選2個(gè)排在首位和個(gè)位，有A種排法，再排中間4位數(shù)有A種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A·A＝12×24＝288個(gè)符合要求． 法二：六個(gè)數(shù)位的全排列共有A個(gè)，其中有0排在首位或個(gè)位上的有2A個(gè)，還有5排在首位或個(gè)位上的也有2A個(gè)，其中不合要求的要減去，但這兩種情況都包含0和5分別在首位或個(gè)位上的排法2A種，所以有A－4A＋2A＝288個(gè)符合要求. 元素“相鄰”與“不相鄰”型排列問(wèn)題 [例3]　(8分)喜羊羊家族的四位成員，與灰太狼、紅太狼進(jìn)行談判，通過(guò)談判他們握手言和，準(zhǔn)備一起

8、照張合影．(排成一排) (1)要求喜羊羊的四位成員必須相鄰，有多少排法？ (2)要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少排法？ [思路點(diǎn)撥]　相鄰元素可看作一個(gè)集團(tuán)利用捆綁法，不相鄰元素利用插空法． [精解詳析]　(1)把喜羊羊家族的四位成員看成一個(gè)元素，與灰太狼、紅太狼排隊(duì)共有A種排法，又因四位成員交換順序產(chǎn)生不同排列，所以共有AA＝144種排法． (4分) (2)第一步將喜羊羊家族的四位成員排好，有A種排法，第二步讓灰太狼、紅太狼插四位成員形成的空(包括兩端)，有A種排法，共有AA＝480種排法． (8分) [一點(diǎn)通]　(1)相鄰問(wèn)題用捆綁法解決，即把相鄰元素看成一個(gè)整體作為

9、一個(gè)元素與其他元素排列．但不要忘記再對(duì)這些元素“松綁”，即對(duì)這些元素內(nèi)部全排列． (2)不相鄰問(wèn)題用插空法，即先把其余元素排好，再把要求不相鄰的元素插入空中排列． 6．(重慶高考)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目、2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目和1個(gè)相聲類(lèi)節(jié)目的演出順序，則同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是(　　) A．72 B．120 C．144 D．168 解析：依題意，先僅考慮3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目互不相鄰的排法種數(shù)為AA＝144，其中3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目互不相鄰但2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目相鄰的排法種數(shù)為AAA＝24，因此滿(mǎn)足題意的排法種數(shù)為144－24＝120，選B. 答案：B 7．(北京高考)把5件不同產(chǎn)品

10、擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種． 解析：將A，B捆綁在一起，有A種擺法，再將它們與其他3件產(chǎn)品全排列，有A種擺法，共有AA＝48種擺法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相鄰，A，C相鄰有CAB，BAC兩種情況，將這3件與剩下2件全排列，有2×A＝12種擺法，故A，B相鄰，A，C不相鄰的擺法有48－12＝36種． 答案：36 8．4名男同學(xué)和3名女同學(xué)站成一排． (1)3名女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？ (2)任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？ (3)男生與女生相間排列的方法有多少種？ 解：

11、(1)3名女同學(xué)是特殊元素，優(yōu)先安排，共有A種排法；由于3名女同學(xué)必須排在一起，我們可視排好的女同學(xué)為一整體，再與男同學(xué)排隊(duì)，這時(shí)是5個(gè)元素的全排列，應(yīng)有A種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有AA＝720種不同的排法． (2)先將男生排好，共有A種排法；再在這4名男生的中間及兩頭的5個(gè)空當(dāng)中插入3名女生，有A種排法．故符合條件的排法共有AA＝1 440種． (3)不妨先排男生，有A種排法，在4名男生形成的3個(gè)間隔共有3個(gè)位置安排3名女生，有A種，因此共有AA種排法，故4名男生3名女生相間的排法共有AA＝144種． 解有限制條件的排列問(wèn)題的基本思路 1．含有特殊元素或特殊位置的排列，通常

12、優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置； 2．當(dāng)限制條件超過(guò)兩個(gè)(包括兩個(gè))，若互不影響，則直接按分步解決，若相互影響，則首先分類(lèi)，在每個(gè)分類(lèi)中再分步解決； 3．某些元素要求必須相鄰時(shí)，可以先將這些元素看作一個(gè)整體，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序，即用“捆綁法”； 4．某些元素要求不相鄰時(shí)，可以先安排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空位，即用“插空法”． 1．6個(gè)人站成一排，甲、乙、丙3人必須站在一起的所有排列的總數(shù)為(　　) A．A　　　　　　　　 B．3A C．A·A D．A·A 解析：甲、乙、丙3人站在一起有A種站法，把3人作為一個(gè)元

13、素與其他3人排列有A種，共有A·A種． 答案：D 2．(北京高考)從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．24 B．18 C．12 D．6 解析：若選0，則0只能在十位，此時(shí)組成的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是A；若選2，則2只能在十位或百位，此時(shí)組成的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是2×A＝12，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得總個(gè)數(shù)為6＋12＝18. 答案：B 3．由數(shù)字1,2,3,4,5組成的所有沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23 145且小于43 521的數(shù)共有(　　) A．56個(gè) B．57個(gè) C．58個(gè) D．60個(gè)

14、解析：首位為3時(shí)，有A＝24個(gè)； 首位為2時(shí)，千位為3，則有AA＋1＝5個(gè)，千位為4或5時(shí)有AA＝12個(gè)； 首位為4時(shí)，千位為1或2有AA＝12個(gè)，千位為3時(shí)，有AA＋1＝5個(gè)． 由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，共有符合條件的數(shù)字24＋5＋12＋12＋5＝58(個(gè))． 答案：C 4．(遼寧高考)6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(　　) A．144 B．120 C．72 D．24 解析：剩余的3個(gè)座位共有4個(gè)空隙供3人選擇就座， 因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為A＝4×3×2＝24. 答案：D 5．(大綱全國(guó)卷)6個(gè)人排成一行，其中甲

15、、乙兩人不相鄰的不同排法共有________種．(用數(shù)字作答) 解析：法一：先把除甲、乙外的4個(gè)人全排列，共有A種方法．再把甲、乙兩人插入這4人形成的五個(gè)空位中的兩個(gè)，共有A種不同的方法．故所有不同的排法共有A·A＝24×20＝480(種)． 法二：6人排成一行，所有不同的排法有A＝720(種)，其中甲、乙相鄰的所有不同的排法有AA＝240(種)，所以甲、乙不相鄰的不同排法共有720－240＝480(種)． 答案：480 6．有A，B，C，D，E五位學(xué)生參加網(wǎng)頁(yè)設(shè)計(jì)比賽，決出了第一到第五的名次，A，B兩位學(xué)生去問(wèn)成績(jī)，老師對(duì)A說(shuō)：“你的名次不知道，但肯定沒(méi)得第一名”

16、；又對(duì)B說(shuō)：“你是第三名”．請(qǐng)你分析一下，這五位學(xué)生的名次排列共有________種不同的可能． 解析：先安排B有1種方法，再安排A有3種方法，最后安排C，D，E共A種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3A＝18種方法． 答案：18 7．由A，B，C等7人擔(dān)任班級(jí)的7個(gè)班委． (1)若正、副班長(zhǎng)兩職只能由這三人中選兩人擔(dān)任，有多少種分工方案？ (2)若正、副班長(zhǎng)兩職至少要選三人中的1人擔(dān)任，有多少種分工方案？ 解：(1)先安排正、副班長(zhǎng)有A種方法，再安排其余職務(wù)有A種方法，依分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有AA＝720種分工方案． (2)7人的任意分工方案有A種，A，B，C三人中無(wú)一人任正、副班長(zhǎng)的分工方案有AA種，因此A，B，C三人中至少有1人任正、副班長(zhǎng)的方案有A－AA＝3 600種． 8．如圖，某傘廠生產(chǎn)的“太陽(yáng)”牌太陽(yáng)傘蓬是由太陽(yáng)光的七種顏色組成的，七種顏色分別涂在傘蓬的八個(gè)區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi)，則不同的顏色圖案的此類(lèi)太陽(yáng)傘至多有多少種？ 解：如圖，對(duì)8個(gè)區(qū)域進(jìn)行編號(hào)，任選一組對(duì)稱(chēng)區(qū)域(如1與5)同色，用7種顏色涂8個(gè)區(qū)域的不同涂法有7！種，又由于1與5,2與6,3與7,4與8是對(duì)稱(chēng)的，通過(guò)旋轉(zhuǎn)后5,6,7,8,1,2,3,4與1,2,3,4,5,6,7,8是同一種涂色，即重復(fù)染色2次，故此種圖案至多有＝2 520種．