高二數(shù)學同步測試4

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1、夢幻網(wǎng)絡 ( ) 數(shù)百萬免費課件下載,試題下載,教案下載,論文范文,計劃總結(jié) 新課標高二數(shù)學同步測試( 4)— (2-1 第三章 3.1) 說明:本試卷分第一卷和第二卷兩部分,第一卷 74 分,第二卷 76 分,共 150 分;答題 時間 120 分鐘. 一、選擇題: 在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請把正確答案的代 號填在題后的括號內(nèi)(每小題 5 分,共 50 分). 1.在平行六面體 ABCD — A B C D 中, M 為 AC 與 BD 的交點,若 1 1 1 1 A1 B = a , A

2、1 D1 = b , A1 A = c .則下列向量中與 B1M 相等的向 量是( ) A . 1 a 1 b c B. 2 2 C. 1 a 1 b c D. 2 2  1 a 1 b c 2 2 1 a 1 b 圖 c 2 2 2.在下列條件中,使 M 與 A 、B、 C 一定共面的是 ( ) A . OM 2OA OB OC B. OM 1 OA 1 OB 1 OC

3、 5 3 2 C. MA MB MC 0 D. OM OA OB OC 0 3 . 已知平行六面體 ABCD A' B'C ' D ' 中, AB=4 , AD=3 , AA' 5 , BAD 90 0 , BAA' DAA ' 600 ,則 AC ' 等于 ( ) A . 85 B . 85 C. 5 2 D. 50 r (1, 3,2)

4、 4.與向量 a 平行的一個向量的坐標是 ( ) A .( 1 , 1,1) B.(- 1,- 3, 2) 3 1 , 3 ,- 1) C.(- D.( 2 ,- 3,- 2 2 ) 2 2 uuur uuur 5.已知 A(- 1,- 2,6),B(1,2,- 6)O 為坐標原點, 則向量 OA, 與OB 的夾角是 ( )

5、 A . 0 B . C. D. 3 2 2 6.已知空間四邊形 ABCD 中, OA a,OB b,OC c ,點 M 在 OA 上,且 OM=2MA ,N 夢幻網(wǎng)絡 ( ) ——最大的免費教育資源網(wǎng)站 夢幻網(wǎng)絡 ( ) 數(shù)百萬免費課件下載,試題下載,教案下載,論文范文,計劃總結(jié) 為 BC 中點,則 MN = ( ) A . 1 a 2 b 1

6、 c B. 2 a 1 b 1 c 2 3 2 3 2 2 C. 1 a 1 b 1 c D. 2 a 2 b 1 c 2 2 2 3 3 2 7.設 A 、B 、C、D 是空間不共面的四點, 且滿足 AB ? AC 0,AC ? AD 0,AB ? AD 0 , 則 BCD 是 ( ) A .鈍角三角形 B .銳角三角形 C.直角

7、三角形 D.不確定 8.空間四邊形 OABC 中, OB=OC , AOB= AOC=60 0 , = ( ) ,則 cos OA BC A . 1 B . 2 C. 1 D. 0 2 2 2 9.已知 A ( 1, 1,1)、 B( 2, 2, 2)、 C(3, 2, 4),則 ABC 的面積為 ( ) A . 3 B . 2 3 C

8、. 6 6 D. 2 10. 已知 a (1 t ,1 t,t ), b (2,t ,t ) ,則 | a b | 的最小值為 ( ) A . 5 B . 55 C. 3 5 D. 11 5 5 5 5 二、填空題:請把答案填在題中橫線上 (每小題 6 分,共 24 分).

9、11.若 a ( 2,3, 1) , b ( 2,1,3) ,則 a, b 為鄰邊的平行四邊形的面積為 . 12.已知空間四邊形 OABC ,其對角線為 OB、AC ,M 、N 分別是對邊 OA 、BC 的中點,點 G 在線段 MN 上,且 MG 2GN ,現(xiàn)用基組 OA,OB, OC 表示向量 OG ,有 OG =x OA yOB zOC ,則 x、 y、 z 的值分別為 . 13.已知點 A(1 , 2, 11)、 B(4 ,2,3) ,C(6, 1,4),則 ABC 的形狀是

10、 . 14.已知向量 a (2, 3,0) , b (k ,0,3) ,若 a, b 成 1200 的角,則 k= . 三、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟(共 76分). z D' N C' O' A&#

11、39; B' 夢幻網(wǎng)絡 ( ) ——最大的免費教育資源網(wǎng)站 M D C y A B x 夢幻網(wǎng)絡 ( ) 數(shù)百萬免費課件下載,試題下載,教案下載,論文范文,計劃總結(jié) 15.( 12 分)如圖,已知正

12、方體 ABCD A'B 'C ' D ' 的棱長為 a,M 為 BD '的中點,點 N 在 AC ' '上,且 | A' N | 3| NC ' |,試求 MN 的長. 16.( 12 分)如圖在空間直角坐標系中 BC=2,原點 O 是 BC 的中點,點 A 的坐標是( 3 , 1 , 0),點 D 在平面 yOz 上,且∠ BDC =90°,∠ DCB=30 ° . 2 2 ( 1)求向量 OD 的坐標; (

13、 2)設向量 AD 和 BC 的夾角為 θ,求 cosθ的值 圖 17.( 12 分)若四面體對應棱的中點間的距離都相等,證明這個四面體的對棱兩兩垂直. 18.( 12 分)四棱錐 P— ABCD 中,底面 ABCD 是一個平行四邊形, AB ={2 ,- 1,- 4} , AD ={4 , 2, 0} , AP ={ - 1, 2,- 1}. ( 1)求證: PA⊥底面 ABCD ; ( 2)求四棱錐 P— ABCD 的體積; ( 3)對于向量 a ={ x1, 1, 1 , b

14、 ={ x 2, 2, 2 , c ={ x 3, 3, 3 ,定義一種運算: y z } y z } y z } ( a × b )· c =x1y2z3+x2 y3z1+x3y1z2 -x1 y3z2- x2y1z3- x3y2z1 ,試計算( AB × AD )· AP 的絕 對值的值;說明其與四棱錐 P— ABCD 體積的關(guān)系,并由此猜想向量這一運算( AB × AD )· AP 的絕對值的幾何意義 ..

15、 19.( 14 分)如圖所示, 直三棱柱 ABC— A1B1C1 中, CA=CB=1,∠BCA =90°, 棱 AA1=2,M、 N 分別是 A1 B1、 A1A 的中點 . ( 1)求 BN 的長; 夢幻網(wǎng)絡 ( ) ——最大的免費教育資源網(wǎng)站 夢幻網(wǎng)絡 ( ) 數(shù)百萬免費課件下載,試題下載,教案下載,論文范文,計劃總結(jié) ( 2)求 cos< BA1 ,CB1 >的值; ( 3)求證: A1B⊥ C1M.

16、 20(. 14 分)如圖,已知平行六面體 ABCD — A1B1C1 D1 的底面 ABCD 是菱形且∠ C1CB=∠ C1CD= ∠ BCD=60 ° . ( 1)證明: C1C⊥ BD ; 3 ( 2)假定 CD =2,CC 1= ,記面 C1 BD 為α,面 CBD 為 β,求二面角 α— BD — β的平面角 2 的余弦值; ( 3)當 CD 的值為多少時,能使 A1C⊥平面 C1BD ?請給出證明 . CC1

17、 參考答案 夢幻網(wǎng)絡 ( ) ——最大的免費教育資源網(wǎng)站 夢幻網(wǎng)絡 ( ) 數(shù)百萬免費課件下載,試題下載,教案下載,論文范文,計劃總結(jié) 一、 1 . A ;解析: B1 M B1 B BMA1 A 1 (BA BC) = c + 1 2 2  (- a b ) = - 1 1 a + b + c .評述:用向量的方法處理立體幾何問題,使復雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化,本 2 2 題考查的是基本的向量相等,與向量的加法 .考查學生的空間想象能力 . 2.A ;解析:空間的四

18、點 P、A 、B 、C 共面只需滿足 OP xOA yOB zOC, 且 x y z 1 既可.只有選項 A . 3.B ;解析:只需將 AC AB AD AA ,運用向量的內(nèi)即運算即可, | AC | AC 2 . 4. C;解析:向量的共線和平行使一樣的,可利用空間向量共線定理寫成數(shù)乘的形式.即 b 0, a // b a b . 5. C;解析: cos a b ,計算結(jié)果為- 1.

19、 | a | | b | 6. B;解析:顯然 MN ON OM 1 (OB OC ) 2 OA . 2 3 7. B;解析:過點 A 的棱兩兩垂直,通過設棱長應用余弦定理可得三角形為銳角三角形. 8.D ;解析:建立一組基向量 OA,OB,OC ,再來處理 OA BC 的值. 9. D ;解析:應用向量的運算,顯然 cos AB, AC AB AC sin AB , AC

20、 , | AB || AC | 從而得 S 1 | AB || AC | sin AB, AC . 2 10.C; 二、 11. 6 5 ;解析: cos a, b a b 2 3 5 ,得 sin a, b ,可得結(jié)果. | a || b

21、 | 7 7 12. 1 OA 1 OB 1 OC ; 6 3 3 解析: 夢幻網(wǎng)絡 ( ) ——最大的免費教育資源網(wǎng)站 夢幻網(wǎng)絡 ( ) 數(shù)百萬免費課件下載,試題下載,教案下載,論文范文,計劃總結(jié) OG OM MG 1 OA 2 MN 1 OA 2 (ON OM ) 2 3 2 3 1 2 1 1 OA [ (

22、OB OC ) OA] 2 3 2 2 1 OA 1 OB 1 OC 6 3 3 13.直角三角形;解析:利用兩點間距離公式得: | AB |2 | BC |2 | AC |2 . 14. 39 ;解析: cos a, b a b 2k 1 ,得 k 39 . | a | | b | 13 9 k 2 2 三、 15.解:以 D 為原

23、點,建立如圖空間直角坐標系.因為正方體棱長為 a,所以 B( a,a, 0), A' ( a, 0, a), C '( 0, a, a), D ' (0, 0, a). 由于 M 為 BD '的中點,取 A'C ' 中點 O',所以 M( a , a , a ), O'( a , a , a).因為 2 2 2 2 2 | A' N | 3| NC ' |,所以 N 為 A'C ' 的四等分, 從而 N 為 O 'C ' 的 中點,故 N

24、( a , 3 a , a). 4 4 根據(jù)空間兩點距離公式,可得 | MN | ( a a) 2 ( a 3a )2 (a a)2 6 a . 2 4 2 4 2 4 16.解:( 1)過 D 作 DE ⊥ BC,垂足為 E,在 Rt△ BDC 中 ,由∠ BDC =90 °,∠ DCB =30°,BC=2, 得 BD =1, CD = 3 3 ,∴ DE=CD· sin30°=. 2 1 1 OE=OB- BE=OB-BD ·

25、;cos60° =1- . 2 2 ∴ D 點坐標為( 0,- 1 , 3 ),即向量 OD [TX → ]的坐標為 {0 ,- 1 , 3 }. 2 2 2 2 ( 2)依題意: OA { 3 , 1 ,0}, OB { 0, 1,0}, OC {0,1,0} , 2 2 夢幻網(wǎng)絡 ( ) ——最大的免費教育資源網(wǎng)站 夢幻網(wǎng)絡 ( ) 數(shù)百萬免費課件下載,試題下載,教案下載,論文范文,計劃總結(jié) 所以 AD OD OA { 3 , 1,

26、 3}, BC OC OB {0,2,0} . 2 2 設向量 AD 和 BC 的夾角為 θ,則 AD BC 3 0 ( 1) 2 3 0 1 2 2 cosθ= 10 . | AD | | BC | 3 )2 ( 1) 2 ( 3 ) 2 02 22 5 ( 02 2

27、 2 17. 證:如圖設 SA r1 , SB r2 , SC r3 ,則 SE, SF, SG, SH, SM , SN 分別為 1 r1 , 2 1 1 r2 ) , 1 1 1 (r2 r3 ) , (r1 r3 , (r1 r3 ) , r2 , 2 2 2 2 2 由條件 EH=GH=MN 得: ( r 2r3 r

28、1 ) 2 ( r1r 2 r3 ) 2 ( r1r3 r2 ) 2 2 2 2 展開得 r1 r2 r2 r3 r1 r3 ∴ ( r3 r2 ) 0 r1 0 r3 r2 0 r1 ,∵ ≠ , ≠ , ∴ r1 ⊥( r3 r2 )即 SA⊥ BC . 同理可證 SB⊥ AC , SC⊥AB . 18. ( 1)證明:∵ AP AB =- 2- 2+4=0,∴ AP⊥AB . 又∵ AP

29、 AD =- 4+4+0=0 ,∴ AP ⊥AD . ∵ AB、 AD 是底面 ABCD 上的兩條相交直線,∴ AP⊥底面 ABCD . ( 2)解:設 AB 與 AD 的夾角為 θ,則 夢幻網(wǎng)絡 ( ) ——最大的免費教育資源網(wǎng)站 夢幻網(wǎng)絡 ( ) 數(shù)百萬免費課件下載,試題下載,教案下載,論文范文,計劃總結(jié) AB AD 8 2 3 cosθ= 4 1 16 16 4 105 | AB | | AD | V= 1 | AB |· | AD |·

30、;sin θ· | AP |= 2 105 1 9 1 4 1 16 3 3 105 ( 3)解: |( AB × AD )· AP |=|- 4- 32- 4- 8|=48 它是四棱錐 P— ABCD 體積的 3 倍 . 猜測: |( AB × AD )· AP |在幾何上可表示以 AB、AD、AP 為棱的平行六面體的體積 (或以 AB、 AD 、 AP 為棱的直四棱柱的體積) . 評述:本題考查了空間向量的坐標表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件

31、、 空間向量的夾角公式和直線與平面垂直的判定定理、 棱錐的體積公式等 .主要考查考生的運 算能力,綜合運用所學知識解決問題的能力及空間想象能力 . 19.如圖,建立空間直角坐標系 O— xyz. ( 1)依題意得 B( 0,1, 0)、N( 1,0, 1) ∴ | BN |= (1 0) 2 (0 1) 2 (1 0)2 3 . ( 2)依題意得 A1( 1, 0, 2)、 B( 0, 1, 0)、 C( 0, 0,0)、 B1( 0, 1, 2) 圖 ∴ BA1 ={ - 1,- 1,2} , CB1 ={0 ,1,2,} , BA1 

32、3; CB1 =3 , | BA1 |= 6 ,| CB1 |= 5 ∴ cos< BA1 , CB1 >= BA1 CB1 1 30 . | BA1 | | CB1 | 10 ( 3)證明:依題意,得 C1( , , )、 ( 1 1 ,2), A B ={ - , , , 1 1 , 0 0 2 M

33、 2 , 1 1 1 2} C1M ={ , 2 2 2 0}. ∴ A1 B · C1 M =- 1 1 A1 B ⊥ C1 M ,∴ A1 B⊥ C1M . 2 +0=0,∴ 2 評述:本題主要考查空間向量的概念及運算的基本知識 .考查空間兩向量垂直的充要條件. 20.( 1)證明:設 CB = a , CD = b , CC1 = c

34、 ,則 | a |=| b |,∵ BD CD CB = b - a , ∴ BD · CC1 =( b - a )· c = b · c - a · c =| b |· | c |cos60°- | a |· | c |cos60° =0, ∴ C1C⊥ BD. 夢幻網(wǎng)絡 ( ) ——最大的免費教育資源網(wǎng)站 夢幻網(wǎng)絡 ( ) 數(shù)百萬免費課件下載,試題下載,教案下載,論文范文,計劃總結(jié) ( 2)解:連 AC、BD,設 AC∩ BD=O,連 OC1,則∠ C1 OC

35、 為二面角 α— BD— β的平面角 . ∵ CO 1 (BC CD) 1 ( a + b ), C1O CO CC1 1 ( a + b )- c 2 2 2 ∴ CO · C1O 1 1 ( a + b )- c ] ( a + b )·[ 2 2 = 1 a 2+2 a · b + b 2)- 1 1 4 ( a

36、 · c - b · c 2 2 = 1 ( 4+2· 2· 2cos60° +4)- 1 · 2· 3 cos60°- 1 · 2· 3 cos60° = 3 . 4 2 2 2 2 2 則 |CO |= 3 , |C1O |= 3 ,∴ cosC1OC= 2 ( 3)解:設 CD =x, CD =2, 則 CC1=

37、 CC1 ∵ BD⊥平面 AA1C1C,∴ BD ⊥ A1C  CO C1O | CO | | C1O | 2 . x  3 3 ∴只須求滿足: A1C C1 D =0 即可 . 設 A1 A = a , AD = b , DC = c , ∵ A1C = a + b + c , C1D = a - c , ∴ A1C C1D =( a + b + c )( a - c ) = a 2+ a · b - b · c - c 2= 4 2 - 6, x2 x 令 6- 2 4 =0,得 x=1 或 x=- 2 (舍去) . x x2 3 評述:本題蘊涵著轉(zhuǎn)化思想,即用向量這個工具來研究空間垂直關(guān)系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等問題 . 夢幻網(wǎng)絡 ( ) ——最大的免費教育資源網(wǎng)站

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