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2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 理(普通班，含解析)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分。)
1. 命題“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )
A. ?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B. ?x?(0，＋∞)，ln x＝x－1
C. ?x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 D. ?x0?(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
【答案】A
【解析】
因為特稱命題的否定是全稱命題,所以,命題“?x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是：.
故選：A.
2. 設(shè)x＞0，y∈R，則“x＞y”是“x＞|y|”的( )
A. 充要條件 B. 充分而不必要條件
C. 必要而不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.
3. 已知全集U＝{x∈Z|0
1，且對任意的實數(shù)x、y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若數(shù)列{an}滿足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝，則a2 017的值為( )
A. 4 033 B. 3 029 C. 2 249 D. 2 209
【答案】A
【解析】
【分析】
因為是選擇題，可用特殊函數(shù)來研究，根據(jù)條件，底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)符合題意，可令f（x）=（）n，從而很容易地求得則a1=f（0）=1，再由f（an+1）= （n∈N*），得到an+1=an+2，由等差數(shù)列的定義求得結(jié)果．
【詳解】根據(jù)題意，不妨設(shè)f（x）=（）n，則a1=f（0）=1，
∵f（an+1）= （n∈N*），（n∈N*），
∴an+1=an+2，
∴數(shù)列{an}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列
∴an=2n﹣1
∴axx=4034-1=4033
故答案為：A
【點睛】本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用．抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．對于客觀題不妨靈活處理，進而來提高效率，拓展思路，提高能力．
7. 若函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域為{y|00，且a≠1)的值域為{y|02的解集為( )
A. (－2，4) B. (－4，－2)∪(－1，2)
C. (1，2)∪(，＋∞) D. ( ，＋∞)
【答案】C
【解析】
當時，有，又因為，所以為增函數(shù)，則有，故有；當時，有，因為是增函數(shù)，所以有，解得，故有。綜上。故選C
9. 已知函數(shù)f(x)＝ax，其中a>0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))為端點的線段的中點在y軸上，那么f(x1)f(x2)等于( )
A. 1 B. a C. 2 D. a2
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得，再根據(jù)指數(shù)運算性質(zhì)得解.
【詳解】因為以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))為端點的線段的中點在y軸上，所以.
因為f(x)＝ax，所以f(x1)f(x2)=.
故答案為：A
【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)和指數(shù)運算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.
10. 已知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱，當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝log2x，若a＝f(－3)，b＝f ，c＝f(2)，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. a>c>b
【答案】D
【解析】
函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,所以為偶函數(shù)，
當時，，函數(shù)單增，
;，,
因為,且函數(shù)單增，故,即，故選D.
11. 若關(guān)于x的方程|x4－x3|＝ax在R上存在4個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)方程和函數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．
【詳解】當x=0時，0=0，∴0為方程的一個根．
當x＞0時，方程|x4﹣x3|=ax等價為a=|x3﹣x2|，
令f（x）=x3﹣x2，f′（x）=3x2﹣2x，
由f′（x）＜0得0＜x＜，由f′（x）＞0得x＜0或x＞，
∴f（x）在(0, )上遞減，在上遞增，又f（1）=0，
∴當x=時，函數(shù)f（x）取得極小值f（）=﹣，則|f（x）|取得極大值|f（）|=，
∴設(shè)的圖象如下圖所示，
則由題可知當直線y=a與g（x）的圖象有3個交點時0＜a＜，
此時方程|x4﹣x3|=ax在R上存在4個不同的實根，
故．
故答案為：A
【點睛】（1）本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點，其一是分離參數(shù)得到a=|x3﹣x2|，其二是利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的圖像
12. 對于函數(shù)f(x)和g(x)，設(shè)α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，則稱f(x)與g(x)互為“零點相鄰函數(shù)”．若函數(shù)f(x)＝ex－1＋x－2與g(x)＝x2－ax－a＋3互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. [2，4] B. C. D. [2，3]
【答案】D
【解析】
試題分析：易知函數(shù)的零點為，設(shè)函數(shù)的一個零點為，若函數(shù)和互為“零點關(guān)聯(lián)函數(shù)”，根據(jù)定義，得，即，作出函數(shù)的圖象，因為，要使函數(shù)的一個零點在區(qū)間上，則，即，解得；故選D．
考點：1.新定義函數(shù)；2.函數(shù)的零點．
【難點點睛】本題以新定義函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點的分布范圍，屬于中檔題；解決此類問題的關(guān)鍵在于：正確理解新定義“零點關(guān)聯(lián)函數(shù)”，抓住實質(zhì)，合理與所學(xué)知識點建立聯(lián)系，如本題中新定義的實質(zhì)是兩個函數(shù)的零點的差不超過1，進而利用零點存在定理進行求解，這也是學(xué)生解決此類問題的難點所在.
二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分。)
13. 已知命題p：?x∈R，x2－a≥0，命題q：?x0∈R，＋2ax0＋2－a＝0.若命題“p且q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為________．
【答案】.
【解析】
【分析】
先化簡每一個命題得到a的取值范圍，再把兩個范圍求交集得解.
【詳解】因為命題p：?x∈R，x2－a≥0，所以a≤0，
因為命題q：?x0∈R，＋2ax0＋2－a＝0，
所以
因為命題“p且q”是真命題，
所以兩個命題都是真命題，所以.
【點睛】(1)本題主要考查全稱命題和特稱命題，考查復(fù)合命題的真假，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 復(fù)合命題真假判定的口訣：真“非”假，假“非”真，一真“或”為真，兩真“且”才真.
14. ＝________.
【答案】-1.
【解析】
，故答案為.
15. 已知正項數(shù)列{an}滿足，若a1＝2，則數(shù)列{an}的前n項和為________．
【答案】.
【解析】
【分析】
先化簡得到數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列和其公比，再求數(shù)列{an}的前n項和.
【詳解】因為，
所以，
因為數(shù)列各項是正項，所以，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，且其公比為3，
所以數(shù)列{an}的前n項和為.
故答案為：
【點睛】（1）本題主要考查等比數(shù)列性質(zhì)的判定，考查等比數(shù)列的前n項和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)解答本題的關(guān)鍵是得到.
16. 已知函數(shù)f(x)＝mx2＋(2－m)x＋n(m>0)，當－1≤x≤1時，|f(x)|≤1恒成立，則＝________.
【答案】.
【解析】
試題分析：由題意得，，因此，從而，
考點：二次函數(shù)性質(zhì)
三、解答題(本大題共6個小題，共70分。)
17. 設(shè)命題冪函數(shù)在上單調(diào)遞減。命題 在上有解；若為假， 為真，求的取值范圍.
【答案】.
【解析】
試題分析：由真可得，由真可得 ，為假，為真等價于一真一假，討論兩種情況，分別列不等式組，求解后再求并集即可.
試題解析：若正確，則，
若正確，
為假，為真，∴一真一假
即的取值范圍為.
18. 已知集合A＝{x|12m,即集合B非空，然后由數(shù)軸表示關(guān)系，注意等號是否可取。（3）空集有兩種情況，一種是集合B為空集，一種是集合B非空，此時用數(shù)燦表示，寫出代數(shù)關(guān)系，注意等號是否可取。
試題解析：（1）當m＝－1時， B＝{x|－20，等比數(shù)列{bn}的公比為q，
則an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依題意有
解得或 (舍去)．
故an＝n，bn＝2n－1.
(2)由(1)知Sn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)，
即＝＝2，
故＋＋…＋＝2
＝2＝.
20. 已知等差數(shù)列{an}，等比數(shù)列{bn}滿足：a1＝b1＝1，a2＝b2，2a3－b3＝1.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)記cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
【答案】(1) an＝bn＝1或an＝2n－1，bn＝3n－1.
(2) Sn＝n或Sn＝(n－1)3n＋1.
【解析】
【分析】
(1)先解方程組得到，即得數(shù)列{an}，{bn}的通項公式.(2)利用錯位相減求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
【詳解】(1)設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，
由已知可得,
解得.
從而an＝bn＝1或an＝2n－1，bn＝3n－1.
(2)①當an＝bn＝1時，cn＝1，所以Sn＝n；
②當an＝2n－1，bn＝3n－1時，cn＝(2n－1)3n－1，
Sn＝1＋33＋532＋733＋…＋(2n－1)3n－1，
3Sn＝3＋332＋533＋734＋…＋(2n－1)3n，
從而有(1－3)Sn＝1＋23＋232＋233＋…＋23n－1－(2n－1)3n
＝1＋2(3＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)3n
＝1＋2－(2n－1)3n
＝－2(n－1)3n－2，
故Sn＝(n－1)3n＋1.
綜合①②，得Sn＝n或Sn＝(n－1)3n＋1.
【點睛】(1)本題主要考查等比等差數(shù)列通項的求法，考查錯位相減求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2) 數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則采用錯位相減法.
21. 已知函數(shù)，，，其中為常數(shù)且，令函數(shù)．
（1）求函數(shù)的表達式，并求其定義域；
（2）當時，求函數(shù)的值域．
【答案】（1），，.
（2）.
【解析】
解：(1)f(x)＝，x∈[0，a]，(a>0)．
(2)函數(shù)f(x)的定義域為[0，]，
令＋1＝t，則x＝(t－1)2，t∈[1，]，
f(x)＝F(t)＝＝，
∵t＝時，t＝2?[1，]，又t∈[1，]時，t＋單調(diào)遞減，F(xiàn)(t)單調(diào)遞增，F(xiàn)(t)∈[，]．
即函數(shù)f(x)的值域為[，]．
22. 已知時，函數(shù)，對任意實數(shù)都有，且，當時，
（1）判斷的奇偶性；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）若且，求的取值范圍.
【答案】(1) 偶函數(shù).
(2)見解析.
(3) .
【解析】
【分析】
(1)利用賦值法得到，即得函數(shù)的奇偶性.(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義嚴格證明.(3)先求出，再解不等式.
【詳解】（1）令，則，
， 為偶函數(shù).
（2）設(shè)， ，
∵時， ，∴，∴，故在上是增函數(shù).
（3）∵,又
∴
∵，∴，即，又故.
【點睛】(1)本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的證明，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)的運用，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：①取值，設(shè)，且；②作差，求；③變形（合并同類項、通分、分解因式、配方等）；④判斷的正負符號；⑤根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結(jié)論.
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