高考數(shù)學(xué)人教A版理科配套題庫(kù)【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4講 定積分的概念與微積分基本定理

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1、 精品資料 第4講 定積分的概念與微積分基本定理 一、選擇題 1.以初速度40 m/s豎直向上拋一物體,t秒時(shí)刻的速度v=40-10t2,則此物體達(dá)到最高時(shí)的高度為(  ). A. m B. m C. m D. m 解析 v=40-10t2=0,t=2,(40-10t2)dt==402-8=(m). 答案 A 2.已知f(x)=2-|x|,則-1f(x)dx等于 (  ). A.3 B.4 C. D. 解析 f(x)=2-|x|= ∴-1f(x)dx=-1(2+x)dx+(2

2、-x)dx=+=+2=. 答案 C 3.函數(shù)f(x)滿足f(0)=0,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示, 則f(x)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為 (  ). A. B. C.2 D. 解析 由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可知函數(shù)f(x)為二次函數(shù),且對(duì)稱軸為x=-1,開口方向向上.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),由f(0)=0,得c=0.f′(x)=2ax+b,因過點(diǎn)(-1,0)與(0,2),則有∴∴f(x)=x2+2x,則f(x)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為S=-2(-x2-2x)dx==

3、(-2)3+(-2)2=. 答案 B 4.已知a=2,n∈N*,b=x2dx,則a,b的大小關(guān)系是(  ). A.a(chǎn)>b B.a(chǎn)=b C.a(chǎn)

4、內(nèi),曲線y=x2和曲線y=圍成一個(gè)葉形圖(陰影部分),向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的),則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是 (  ). A. B. C. D. 解析 依題意知,題中的正方形區(qū)域的面積為12=1,陰影區(qū)域的面積等于(-x2)dx==,因此所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率等于,選D. 答案 D 二、填空題 7.如果10 N的力能使彈簧壓縮10 cm,為在彈性限度內(nèi)將彈簧拉長(zhǎng)6 cm,則力所做的功為______. 解析 由F(x)=kx,得k=100,F(xiàn)(x)=100x,100x

5、dx=0.18(J). 答案 0.18 J 8.曲線y=與直線y=x,x=2所圍成的圖形的面積為____________. 答案 -ln 2 9.已知f(x)=若f(x)dx=(k<2).則k=________. 解析 f(x)dx=(2x+1)dx+(1+x2)dx=,所以得到k2+k=0,即k=0或k=-1. 答案 0或-1 10.設(shè)f(x)=xn+ax的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=2x+1且f(-x)dx=m,則12展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為________. 解析 因?yàn)閒(x)=xn+ax的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=2x+1.故n=2,a=1.所以f(-x)dx=(x2-x)dx===

6、m所以12展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為12=1. 答案 1 三、解答題 11.已知f(x)是一次函數(shù),且f(x)dx=5,xf(x)dx=,求dx的值. 解 ∵f(x)是一次函數(shù),∴可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0). ∴f(x)dx=(ax+b)dx==a+b. ∴a+b=5.① 又xf(x)dx=x(ax+b)dx ==a+b. ∴a+b=.② 解①②得a=4,b=3,∴f(x)=4x+3, ∴dx=dx=dx =(4x+3ln x)=4+3ln 2. 12.如圖所示,直線y=kx分拋物線y=x-x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分,求k的值. 解 拋物線y=x-x2與

7、x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=0,x2=1, 所以,拋物線與x軸所圍圖形的面積 S=(x-x2)dx==. 又拋物線y=x-x2與y=kx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x3=0,x4=1-k,所以, =∫(x-x2-kx)dx= =(1-k)3. 又知S=,所以(1-k)3=, 于是k=1- =1-. 13.在區(qū)間[0,1]上給定曲線y=x2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)t的值,使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小,并求最小值. 解 面積S1等于邊長(zhǎng)為t與t2的矩形面積去掉曲線y=x2與x軸、直線x=t所圍成的面積, 即S1=tt2-x2dx=t3. S2的面積等于曲線y=x2與x軸,x=t

8、,x=1圍成的面積去掉矩形面積,矩形邊長(zhǎng)分別為t2,1-t, 即S2=x2dx-t2(1-t)=t3-t2+. 所以陰影部分面積S=S1+S2=t3-t2+(0≤t≤1). 令S′(t)=4t2-2t=4t=0時(shí),得t=0或t=. t=0時(shí),S=;t=時(shí),S=;t=1時(shí),S=. 所以當(dāng)t=時(shí),S最小,且最小值為. 14. 已知二次函數(shù)f(x)=3x2-3x,直線l1:x=2和l2:y=3tx(其中t為常數(shù),且0

9、解析式; (2)定義函數(shù)h(x)=S(x),x∈R.若過點(diǎn)A(1,m)(m≠4)可作曲線y=h(x)(x∈R)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解析 (1)由得x2-(t+1)x=0, 所以x1=0,x2=t+1. 所以直線l2與f(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0,t+1. 因?yàn)?

10、y=h(x)上. 過點(diǎn)A作曲線y=h(x)的切線,設(shè)切點(diǎn)為M(x0,y0), 則3(x0+1)2-6=, 化簡(jiǎn)整理得2x-6x0+m=0,其有三個(gè)不等實(shí)根. 設(shè)g(x0)=2x-6x0+m,則g′(x0)=6x-6. 由g′(x0)>0,得x0>1或x0<-1; 由g′(x0)<0,得-1

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