高考數(shù)學浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第二章 2.6

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1、 精品資料 2.6 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 1.對數(shù)的概念 如果ax=N(a>0且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,其中__a__叫做對數(shù)的底數(shù),__N__叫做真數(shù). 2.對數(shù)的性質(zhì)與運算法則 (1)對數(shù)的運算法則 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM (n∈R);④logamMn=logaM. (2)對數(shù)的性質(zhì) ①alogaN=__N__;②logaaN=__N__(a>0且a≠

2、1). (3)對數(shù)的重要公式 ①換底公式:logbN= (a,b均大于零且不等于1); ②logab=,推廣logablogbclogcd=logad. 3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>1 01時,y>0 當01時,y<0 當00 (6)在(0,+∞)上是增函數(shù) (7)在(0,+∞)上是減函數(shù) 4.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線__

3、y=x__對稱. 1.判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)若log2(log3x)=log3(log2y)=0,則x+y=5. ( √ ) (2)2log510+log50.25=5. (  ) (3)已知函數(shù)f(x)=lg x,若f(ab)=1,則f(a2)+f(b2)=2. ( √ ) (4)log2x2=2log2x. (  ) (5)當x>1時,logax>0. (  ) (6)當x>1時,若logax>logbx,則a

4、) 2.(2013課標全國Ⅱ)設(shè)a=log36,b=log510,c=log714,則 (  ) A.c>b>a B.b>c>a C.a(chǎn)>c>b D.a(chǎn)>b>c 答案 D 解析 a=log36=1+log32=1+, b=log510=1+log52=1+, c=log714=1+log72=1+,顯然a>b>c. 3.(2013浙江)已知x,y為正實數(shù),則 (  ) A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y B.2lg(x+y)=2lg x2lg y C.2lg xlg y=2lg x+2lg y D

5、.2lg(xy)=2lg x2lg y 答案 D 解析 2lg x2lg y=2lg x+lg y =2lg(xy).故選D. 4.函數(shù)f(x)=log5(2x+1)的單調(diào)增區(qū)間是________. 答案 (-,+∞) 解析 函數(shù)f(x)的定義域為(-,+∞), 令t=2x+1(t>0). 因為y=log5t在t∈(0,+∞)上為增函數(shù), t=2x+1在(-,+∞)上為增函數(shù), 所以函數(shù)y=log5(2x+1)的單調(diào)增區(qū)間是(-,+∞). 5.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上為增函數(shù),f=0,則不等式f(logx)>0的解集為_____________

6、___. 答案 ∪(2,+∞) 解析 ∵f(x)是R上的偶函數(shù), ∴它的圖象關(guān)于y軸對稱. ∵f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù), ∴f(x)在(-∞,0]上為減函數(shù), 由f=0,得f=0. ∴f(logx)>0?logx<-或logx> ?x>2或0

7、啟迪 (1)利用對數(shù)的定義將x=log43化成4x=3; (2)利用分段函數(shù)的意義先求f(1),再求f(f(1)); f(log3)可利用對數(shù)恒等式進行計算. 答案 (1)D (2)A 解析 (1)由x=log43,得4x=3,即2x=, 2-x=,所以(2x-2-x)2=()2=. (2)因為f(1)=log21=0,所以f(f(1))=f(0)=2. 因為log3<0,所以f(log3)=3+1 =3+1=2+1=3. 所以f(f(1))+f(log3)=2+3=5. 思維升華 在對數(shù)運算中,要熟練掌握對數(shù)式的定義,靈活使用對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式和對數(shù)恒等式對式子進行

8、恒等變形,多個對數(shù)式要盡量化成同底的形式.  已知函數(shù)f(x)=則f(2+log23)的值為________. 答案  解析 因為2+log23<4, 所以f(2+log23)=f(3+log23), 而3+log23>4, 所以f(3+log23)=()=() ==. 題型二 對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例2 (1)函數(shù)y=2log4(1-x)的圖象大致是 (  ) (2)已知f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù),且在(-∞,0]上是增函數(shù),設(shè)a=f(log47),b=f(log3),c=f(0.2-0.6),則a,b,c的大小關(guān)系是 ( 

9、 ) A.c=2>log49,

10、 又f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù), 且在(-∞,0]上是增函數(shù), 故f(x)在[0,+∞)上是單調(diào)遞減的, ∴f(0.2-0.6)

11、a(x+b) (a>0且a≠1)的圖象過兩點(-1,0)和(0,1),則a=________,b=________. 答案 (1)A (2)2 2 解析 (1)b=-0.8=20.8<21.2=a, c=2log52=log522

12、樣的實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),并且最大值為1?如果存在,試求出a的值;如果不存在,請說明理由. 思維啟迪 f(x)恒有意義轉(zhuǎn)化為“恒成立”問題,分離參數(shù)a來解決;探究a是否存在,可從單調(diào)性入手. 解 (1)∵a>0且a≠1,設(shè)t(x)=3-ax, 則t(x)=3-ax為減函數(shù), x∈[0,2]時,t(x)最小值為3-2a, 當x∈[0,2]時,f(x)恒有意義, 即x∈[0,2]時,3-ax>0恒成立. ∴3-2a>0.∴a<. 又a>0且a≠1,∴a∈(0,1)∪. (2)t(x)=3-ax,∵a>0,∴函數(shù)t(x)為減函數(shù), ∵f(x)在區(qū)間[

13、1,2]上為減函數(shù), ∴y=logat為增函數(shù), ∴a>1,x∈[1,2]時,t(x)最小值為3-2a,f(x)最大值為f(1)=loga(3-a), ∴,即, 故不存在這樣的實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),并且最大值為1. 思維升華 解決對數(shù)函數(shù)綜合問題時,無論是討論函數(shù)的性質(zhì),還是利用函數(shù)的性質(zhì) (1)要分清函數(shù)的底數(shù)是a∈(0,1),還是a∈(1,+∞); (2)確定函數(shù)的定義域,無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì),都要在其定義域上進行; (3)如果需將函數(shù)解析式變形,一定要保證其等價性,否則結(jié)論錯誤.  已知f(x)=log4(4x-1).

14、 (1)求f(x)的定義域; (2)討論f(x)的單調(diào)性; (3)求f(x)在區(qū)間[,2]上的值域. 解 (1)由4x-1>0,解得x>0, 因此f(x)的定義域為(0,+∞). (2)設(shè)0

15、=log0.30.2,則a,b,c的大小關(guān)系是 (  ) A.a(chǎn)>b>c B.a(chǎn)b>c B.b>a>c C.a(chǎn)>c>b D.c>a>b 思維啟迪 (1)利用冪函數(shù)y=x0.5和對數(shù)函數(shù)y=log0.3x的單調(diào)性,結(jié)合中間值比較a,b,c的大?。? (2)化成同底的指數(shù)式,只需比較log23.4、log43.6、-log30.3=log3的大小即可,可以利用中間值或數(shù)形結(jié)合進行比較. 解析 (1)根據(jù)冪函數(shù)y=x0.5的單調(diào)性,可得0.

16、30.5<0.50.5<10.5=1,即blog0.30.3=1,即c>1. 所以blog3>log43.6. 方法二 ∵log3>log33=1,且<3.4, ∴l(xiāng)og31, ∴l(xiāng)og43.6log3>log43.6.

17、 由于y=5x為增函數(shù),∴5>5>5. 即5>() >5,故a>c>b. 答案 (1)C (2)C 溫馨提醒 (1)比較冪、對數(shù)的大小可以利用數(shù)形結(jié)合和引入中間量利用函數(shù)單調(diào)性兩種方法. (2)解題時要根據(jù)實際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性進行比較,如果指數(shù)相同,而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù),若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù),若引入中間量,多選0或1. 方法與技巧 1.對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性 在對數(shù)式中,真數(shù)必須是大于0的,所以對數(shù)函數(shù)y=logax的定義域應(yīng)為{x|x>0}.對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和a的值有關(guān),因而,在研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時,要按01進行分類討

18、論. 2.比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法:(1)數(shù)形結(jié)合;(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性. 3.多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題,可通過圖象與直線y=1交點的橫坐標進行判定. 失誤與防范 1.在運算性質(zhì)logaMα=αlogaM中,要特別注意條件,在無M>0的條件下應(yīng)為logaMα=αloga|M|(α∈N+,且α為偶數(shù)). 2.指數(shù)函數(shù)y=ax (a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別. 3.解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點:(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域;(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.

19、 A組 專項基礎(chǔ)訓練 (時間:40分鐘) 一、選擇題 1.函數(shù)y=的定義域是 (  ) A.{x|00,a≠1)在R上既是奇函數(shù)又是減函數(shù),則g(x)=loga(x+k)的圖象是 (  ) 答案 A 解析 ∵函數(shù)f(x)為奇

20、函數(shù),∴f(x)+f(-x)=0, 即(k-1)ax-a-x+(k-1)a-x-ax=0, ∴(k-2)(ax+a-x)=0關(guān)于x恒成立, ∴k=2,∴f(x)=ax-, 又函數(shù)在R上是減函數(shù),∴0ln e,∴x>1. ∵y=log52

21、>=,∴f(-a),則實數(shù)a的取值范圍是 (  ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 答案 C 解析 f(a)>f(-a)?或 ?或 ?a>1或-10,且a≠1,∴u=ax-3為增函

22、數(shù), ∴若函數(shù)f(x)為增函數(shù),則f(x)=logau必為增函數(shù), 因此a>1.又y=ax-3在[1,3]上恒為正, ∴a-3>0,即a>3,故選D. 二、填空題 6.計算(lg -lg 25)100=________. 答案?。?0 解析 (lg -lg 25)100=(lg )10-1 =-210=-20. 7.已知函數(shù)f(x)=則使函數(shù)f(x)的圖象位于直線y=1上方的x的取值范圍是________________. 答案 {x|-12} 解析 當x≤0時,3x+1>1?x+1>0,∴-10時,log2x>1?x>2,∴x>2.

23、綜上所述,x的取值范圍為-12. 8.若log2a<0,則a的取值范圍是____________. 答案  解析 當2a>1時,∵log2a<0=log2a1, ∴<1.∵1+a>0,∴1+a2<1+a, ∴a2-a<0,∴01.∵1+a>0,∴1+a2>1+a, ∴a2-a>0,∴a<0或a>1,此時不合題意. 綜上所述,a∈. 三、解答題 9.已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1. (1)求f(x)的定義域; (2)判斷f(x)的奇偶性

24、并予以證明; (3)當a>1時,求使f(x)>0的x的解集. 解 (1)要使函數(shù)f(x)有意義. 則解得-11時,f(x)在定義域{x|-10?>1,解得00的x的解集是{x|0

25、loga(ax)loga(a2x)(a>0,且a≠1)的最大值是1,最小值是-,求a的值. 解 由題意知f(x)=(logax+1)(logax+2) =(logx+3logax+2)=(logax+)2-. 當f(x)取最小值-時,logax=-. 又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1). ∵f(x)是關(guān)于logax的二次函數(shù), ∴函數(shù)f(x)的最大值必在x=2或x=8時取得. 若(loga2+)2-=1,則a=2, 此時f(x)取得最小值時,x=(2-)=?[2,8],舍去. 若(loga8+)2-=1,則a=, 此時f(x)取得最小值時,x=()=2∈[2,8],符合題

26、意, ∴a=. B組 專項能力提升 (時間:30分鐘) 1.設(shè)f(x)=lg是奇函數(shù),則使f(x)<0的x的取值范圍是 (  ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 答案 A 解析 由f(x)是奇函數(shù)可得a=-1, ∴f(x)=lg,定義域為(-1,1). 由f(x)<0,可得0<<1,∴-1

27、 解析 根據(jù)同一坐標系中三個不同底的對數(shù)函數(shù)圖象位置對比,可得 ①若a,b,c均大于1或均小于1,則有a>b>c; ②若有一個大于1,則c>1,且0c>1,且00,且a≠1),若f(x1x2…x2 015)=8,則f(x)+f(x)+…+f(x)=________. 答案 16 解析 f(x1x2…x2 015)=loga(x1x2…x2 015)=8, f(x)+f(x)+…+f(x) =logax+logax+…+logax =loga(x1x2…x2 015)2=2loga(x1x

28、2…x2 015)=16. 4.設(shè)f(x)=|lg x|,a,b為實數(shù),且01. (3)在(2)的條件下,求證:由關(guān)系式f(b)=2f()所得到的關(guān)于b的方程g(b)=0,存在b0∈(3,4),使g(b0)=0. (1)解 由f(x)=1得,lg x=1, 所以x=10或. (2)證明 結(jié)合函數(shù)圖象,由f(a)=f(b)可判斷a∈(0,1),b∈(1,+∞), 從而-lg a=lg b,從而ab=1. 又=>=1(因≠b). (3)證明 由已知可得b=()2, 得4b=

29、a2+b2+2ab,得+b2+2-4b=0, g(b)=+b2+2-4b, 因為g(3)<0,g(4)>0,根據(jù)零點存在性定理可知,函數(shù)g(b)在(3,4)內(nèi)一定存在零點,即存在b0∈(3,4),使g(b0)=0. 5.已知函數(shù)y=log(x2-ax+a)在區(qū)間(-∞,)上是增函數(shù),求a的取值范圍. 解 函數(shù)y=log (x2-ax+a)是由函數(shù)y=logt和t=x2-ax+a復合而成. 因為函數(shù)y=logt在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減, 而函數(shù)t=x2-ax+a在區(qū)間(-∞,)上單調(diào)遞減, 故函數(shù)y=log(x2-ax+a)在區(qū)間(-∞,]上單調(diào)遞增. 又因為函數(shù)y=log(x2-ax+a)在區(qū)間(-∞,)上是增函數(shù), 所以 解得即2≤a≤2(+1).

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