高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第二章 2.3
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1、 精品資料 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性 1.函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點(diǎn) 偶函數(shù) 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關(guān)于y軸對(duì)稱 奇函數(shù) 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 2.周期性 (1)周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.
2、(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期. 1. 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)函數(shù)f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). ( ) (2)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱. ( √ ) (3)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱. ( √ ) (4)若函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則a=2. ( √ ) (5)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x+a)=-f(x),則f(
3、x)是周期為2a(a>0)的周期函數(shù).( √ ) (6)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),且f(x+2)=f(x),則f(2 014)=0. ( √ ) 2.(2013山東)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+,則f(-1)等于 ( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 答案 A 解析 f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2. 3. 已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是 ( ) A.- B. C. D.- 答案 B 解析 依題意b=0,且2a=-(a-1), ∴
4、a=,則a+b=. 4.已知f(x)在R上是奇函數(shù),且滿足f(x+4)=f(x),當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)=2x2,則f(2 015)等于 ( ) A.-2 B.2 C.-98 D.98 答案 A 解析 ∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù), ∴f(2 015)=f(5034+3)=f(3)=f(-1). 又f(x)為奇函數(shù), ∴f(-1)=-f(1)=-212=-2,即f(2 015)=-2. 5.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=lg x,則滿足f(x)>0
5、的x的取值范圍是________. 答案 (-1,0)∪(1,+∞) 解析 畫草圖,由f(x)為奇函數(shù)知:f(x)>0的x的取值范圍為 (-1,0)∪(1,+∞). 題型一 判斷函數(shù)的奇偶性 例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=+; (2)f(x)=(x+1) ; (3)f(x)=. 思維啟迪 確定函數(shù)的奇偶性時(shí),必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若對(duì)稱,再驗(yàn)證f(-x)=f(x)或其等價(jià)形式f(-x)f(x)=0是否成立. 解 (1)由,得x=3. ∴f(x)的定義域?yàn)閧-3,3},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 又f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)
6、=0.
即f(x)=f(-x).
∴f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù).
(2)由,得-1 7、
(1)f(x)=;
(2)f(x)=.
解 (1)由,得定義域?yàn)?-1,0)∪(0,1),
f(x)==-.
∵f(-x)=-=-=-f(x).
∴f(x)為奇函數(shù).
(2)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
當(dāng)x>0時(shí),f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);
當(dāng)x<0時(shí),f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);
當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,也滿足f(-x)=-f(x).
故該函數(shù)為奇函數(shù).
題型二 函數(shù)周期性的應(yīng)用
例2 (1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當(dāng)-3≤x<-1時(shí),f(x)=-(x+2)2;當(dāng) 8、-1≤x<3時(shí),f(x)=x.則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015)等于 ( )
A.335 B.336 C.1 678 D.2 012
(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且f(x+2)=-,當(dāng)2≤x≤3時(shí),f(x)=x,則f(105.5)=________.
思維啟迪 (1)f(x)的周期性已知,可以通過(guò)一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)值的變化情況求和.(2)通過(guò)題意先確定函數(shù)的周期性.
答案 (1)B (2)2.5
解析 (1)利用函數(shù)的周期性和函數(shù)值的求法求解.
∵f(x+6)=f(x),∴T=6.
∵當(dāng)-3≤x<-1時(shí),f(x)=-(x+2 9、)2;
當(dāng)-1≤x<3時(shí),f(x)=x,
∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,
∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,
∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)=1,
∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1=335.
而f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)
=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1+2-1+0-1=1 10、.
∴f(1)+f(2)+…+f(2 015)=335+1=336.
(2)由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]
=-=-=f(x).
故函數(shù)的周期為4.
∴f(105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).
∵2≤2.5≤3,由題意,得f(2.5)=2.5.
∴f(105.5)=2.5.
思維升華 (1)函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì).對(duì)函數(shù)周期性的考查,主要涉及函數(shù)周期性的判斷,利用函數(shù)周期性求值.
(2)求函數(shù)周期的方法
(1)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù),且滿足f(1)=1,f(2)=2,則f(3)-f(4)等于 11、 ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
(2)設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=2x(1-x),則f等于 ( )
A.- B.- C. D.
答案 (1)A (2)A
解析 (1)由f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)知
f(3)=f(-2)=-f(2)=-2,
f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,
∴f(3)-f(4)=-1,故選A.
(2)∵f(x)是周期為2的奇函數(shù),
∴f=f=f=-f
=-2=-.
題型三 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例3 設(shè)f(x)是(-∞,+∞)上的奇函 12、數(shù),f(x+2)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)當(dāng)-4≤x≤4時(shí),求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積;
(3)寫出(-∞,+∞)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
思維啟迪 可以先確定函數(shù)的周期性,求f(π);然后根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性、周期性畫出函數(shù)圖象,求圖形面積、寫單調(diào)區(qū)間.
解 (1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),
∴f(π)=f(-14+π)=f(π-4)=-f(4-π)
=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函數(shù)與f 13、(x+2)=-f(x),
得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x).
故知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.
又當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,則f(x)的圖象如圖所示.
當(dāng)-4≤x≤4時(shí),f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,
則S=4S△OAB=4=4.
(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k-1,4k+1] (k∈Z),
單調(diào)遞減區(qū)間為[4k+1,4k+3] (k∈Z).
思維升華 關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問(wèn)題,關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 14、已知區(qū)間上的問(wèn)題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.
(1)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿足f(2x-1) 15、有f(2x-1) 16、已知函數(shù)f(x)=則滿足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范圍是_____.
易錯(cuò)分析 (1)解題中忽視函數(shù)f(x)的定義域,直接通過(guò)計(jì)算f(0)=0得k=1.
(2)本題易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤
由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,忽視了1-x2>0導(dǎo)致解答失誤.
規(guī)范解答
解析 (1)∵f(-x)==,
∴f(-x)+f(x)=
=.
由f(-x)+f(x)=0可得k2=1,∴k=1.
(2)畫出f(x)=的圖象,
由圖象可知,若f(1-x2)>f(2x),
則
即
得x∈(-1,-1).
答案 (1)1 (2)(-1,-1)
溫馨提醒 (1)已知函數(shù) 17、的奇偶性,利用特殊值確定參數(shù),要注意函數(shù)的定義域.
(2)解決分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí),應(yīng)高度關(guān)注:
①抓住對(duì)變量所在區(qū)間的討論.
②保證各段上同增(減)時(shí),要注意左、右段端點(diǎn)值間的大小關(guān)系.
③弄清最終結(jié)果取并還是交.
方法與技巧
1.正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,必須把握好兩個(gè)問(wèn)題:
(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件;
(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.
2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,反之也成立.利用這一性質(zhì)可簡(jiǎn)化一些函數(shù)圖象的畫法,也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性 18、.
3.若對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一個(gè)自變量的值x都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=或f(x+a)=-(a是常數(shù)且a≠0),則f(x)是一個(gè)周期為2a的周期函數(shù).
失誤與防范
1.判斷函數(shù)的奇偶性,首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件.
2.判斷函數(shù)f(x)是奇函數(shù),必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x,均有f(-x)=-f(x),而不能說(shuō)存在x0使f(-x0)=-f(x0).對(duì)于偶函數(shù)的判斷以此類推.
3.分段函數(shù)奇偶性判定時(shí),要以整體的觀點(diǎn)進(jìn)行判斷,不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性. 19、
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間:40分鐘)
一、選擇題
1.(2013廣東)定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 C
解析 由奇函數(shù)的定義可知y=x3,y=2sin x為奇函數(shù).
2. 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=2x2-x,則f(1)等于 ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
答案 A
解析 ∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=2x2-x,
∴f(1)=-f(- 20、1)=-[2(-1)2-(-1)]=-3.
3.定義在R上的偶函數(shù)f(x),對(duì)任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,則( )
A.f(3) 21、 B.偶函數(shù)
C.既奇又偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)
答案 A
解析 因?yàn)?x=,x?2=,
所以f(x)===,
該函數(shù)的定義域是[-2,0)∪(0,2],
且滿足f(-x)=-f(x).
故函數(shù)f(x)是奇函數(shù).
5. 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,則f(2)等于 ( )
A.2 B. C. D.a(chǎn)2
答案 B
解析 ∵f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),
∴f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a 22、,
∵f(2)+g(2)=a2-a-2+2, ①
∴f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a-2-a2+2, ②
由①、②聯(lián)立,g(2)=a=2,f(2)=a2-a-2=.
二、填空題
6.函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù),且x>0時(shí),f(x)=+1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=________.
答案?。?
解析 ∵f(x)為奇函數(shù),x>0時(shí),f(x)=+1,
∴當(dāng)x<0時(shí),-x>0,
f(x)=-f(-x)=-(+1),
即x<0時(shí),f(x)=-(+1)=--1.
7.若函數(shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=_____ 23、___.
答案 0
解析 ∵函數(shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,∴|-x+a|=|x+a|,∴a=0.
8. 已知函數(shù)f(x)滿足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),則f(2 015)=________.
答案
解析 方法一 令x=1,y=0時(shí),4f(1)f(0)=f(1)+f(1),
解得f(0)=,
令x=1,y=1時(shí),4f(1)f(1)=f(2)+f(0),
解得f(2)=-,
令x=2,y=1時(shí),4f(2)f(1)=f(3)+f(1),
解得f(3)= 24、-,
依次求得f(4)=-,f(5)=,f(6)=,f(7)=,
f(8)=-,f(9)=-,…
可知f(x)是以6為周期的函數(shù),
∴f(2 015)=f(3356+5)=f(5)=.
方法二 ∵f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),
∴構(gòu)造符合題意的函數(shù)f(x)=cos x,
∴f(2 015)=cos=.
三、解答題
9.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.
(1)求證:f(x)是周期為4的周期函數(shù);
(2)若f(x)= (0 25、圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,
有f(x+1)=f(1-x),即有f(-x)=f(x+2).
又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
故有f(-x)=-f(x).故f(x+2)=-f(x).
從而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即f(x)是周期為4的周期函數(shù).
(2)解 由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),有f(0)=0.
x∈[-1,0)時(shí),-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=-.
故x∈[-1,0]時(shí),f(x)=-.
x∈[-5,-4]時(shí),x+4∈[-1,0],
f(x)=f(x+4)=-.
從而,x∈[-5,-4]時(shí),函數(shù)f(x)=-.
10.已知函數(shù)f( 26、x)=是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 (1)設(shè)x<0,則-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),
于是x<0時(shí),f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以m=2.
(2)由(1)知f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),
要使f(x)在[-1,a-2]上單調(diào)遞增.
結(jié)合f(x)的圖象知
所以1
27、(x)是定義在R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),則f(2 013)+f(2 015)的值為 ( )
A.-1 B.1 C.0 D.無(wú)法計(jì)算
答案 C
解析 由題意,得g(-x)=f(-x-1),
又∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),
∴f(x-1)=-f(x+1),
∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4),
∴f(x)的周期為4,
∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1),
又∵f(1)=f(-1)=g(0) 28、=0,
∴f(2 013)+f(2 015)=0.
2. 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2.若對(duì)任意的x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )
A.a(chǎn)≤0 B.a(chǎn)≥
C.a(chǎn)≤ D.a(chǎn)≥0
答案 B
解析 f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2,
則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x2.
即f(x)=
即函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)(可通過(guò)圖象直觀呈現(xiàn)).
由此f(x+a)≥f(x)在x∈[a,a+2]上恒成立?x+a≥x在x∈[a,a+2]上恒成立.
則 29、x≤(+1)a,從而a+2≤(+1)a,解得a≥.
3. 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對(duì)任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x,則有
①2是函數(shù)f(x)的周期;
②函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù),在(2,3)上是增函數(shù);
③函數(shù)f(x)的最大值是1,最小值是0.
其中所有正確命題的序號(hào)是________.
答案?、佗?
解析 在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,則有f(t+2)=f(t),
因此2是函數(shù)f(x)的周期,故①正確;
當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x是增函數(shù),
則f(x)在[-1,0]上是減函數(shù) 30、,
根據(jù)函數(shù)的周期性知,函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù),
在(2,3)上是增函數(shù),故②正確;
在區(qū)間[-1,1]上,f(x)的最大值為f(1)=f(-1)=2,
f(x)的最小值為f(0)=1,故③錯(cuò)誤.
4. 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈={x|x≠0},且滿足對(duì)于任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍.
解 (1)∵對(duì)于任意x1,x2∈D,
有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),
31、∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),
∴f(-1)=f(1)=0.
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),
∴f(-x)=f(x),∴f(x)為偶函數(shù).
(3)依題設(shè)有f(44)=f(4)+f(4)=2,
由(2)知,f(x)是偶函數(shù),
∴f(x-1)<2?f(|x-1|) 32、+∞)上滿足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0.
(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性;
(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2 005,2 005]上的根的個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.
解 (1)∵f(1)=0,且f(x)在[0,7]上只有f(1)=f(3)=0,
又∵f(2-x)=f(2+x),令x=-3,f(-1)=f(5)≠0,
∴f(-1)≠f(1),且f(-1)≠-f(1).
∴f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).
(2)f(10+x)=f[2+8+x]=f[2-(8+x)]
=f(-6-x)=f[7-(13+x)]=f[7+13+x]
=f(20+x),
∴f(x)以10為周期.
又f(x)的圖象關(guān)于x=7對(duì)稱知,f(x)=0在(0,10)上有兩個(gè)根,
則f(x)=0在(0,2 005]上有2012=402個(gè)根;
在[-2 005,0]上有2002=400個(gè)根;
因此f(x)=0在閉區(qū)間上共有802個(gè)根.
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