高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第二章 2.5

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1、 精品資料 §2.5　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 1． 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義． (2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) y＝ax a>1 0<a<1 圖象 定義域 (

2、1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性質(zhì) (3)過定點(diǎn)(0,1) (4)當(dāng)x>0時(shí)，y>1； x<0時(shí)，0<y<1 (5)當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1； x<0時(shí)，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù) (7)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù) 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)()4＝－4. (　×　) (2)＝＝. (　×　) (3)函數(shù)y＝a－x是R上的增函數(shù)． (　×　) (4

3、)函數(shù)y＝(a>1)的值域是(0，＋∞)． (　×　) (5)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)． (　×　) (6)函數(shù)y＝()1－x的值域是(0，＋∞)． (　√　) 2． 若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，則(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是 (　　) A．1 B． C． D． 答案　D 解析　a＝(2＋)－1＝2－，b＝(2－)－1＝2＋， ∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2 ＝＋＝. 3． 設(shè)函數(shù)f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，

4、f(2)＝4，則 (　　) A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2) 答案　A 解析　∵f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，∴a－2＝4，∴a＝，∴f(x)＝－|x|＝2|x|，∴f(－2)>f(－1)． 4． 若函數(shù)y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________． 答案　(－，－1)∪(1，) 解析　由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，得0<a2－1<1，∴1<

5、;a2<2，即1<a<或－<a<－1. 5． 已知0≤x≤2，則y＝－3·2x＋5的最大值為________． 答案　 解析　令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4， 又y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝t2－3t＋5 ＝(t－3)2＋， ∵1≤t≤4，∴t＝1時(shí)，ymax＝. 題型一　指數(shù)冪的運(yùn)算 例1　化簡：(1)(a>0，b>0)； (2). 思維啟迪　運(yùn)算中可先將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再按照指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算． 解　(1)原式＝ ＝＝ab－1. (2)原式＝ ＝－10(＋2)＋1 ＝＋

6、10－10－20＋1＝－. 思維升華　(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；②運(yùn)算的先后順序． (2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù)． (3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)． 　(1)化簡(x<0，y<0)得 (　　) A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y (2)·＝________. 答案　(1)D　(2) 解析　(1)＝ ＝[24(－x)8·(－y)4]＝2&#

7、183;(－x) ·(－y) ＝2(－x)2(－y)＝－2x2y. (2)原式＝＝. 題型二　指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì) 例2　(1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié) 論正確的是 (　　) A．a(chǎn)>1，b<0 B．a(chǎn)>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 (2)若函數(shù)f(x)＝e(e是自然對數(shù)的底數(shù))的最大值是m，且f(x)是偶函數(shù)，則m＋μ＝________. 思維啟迪　對于和指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)有關(guān)的問題，可以通過探求已知函數(shù)和指數(shù)

8、函數(shù)的關(guān)系入手． 答案　(1)D　(2)1 解析　(1)由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b<0. (2)由于f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)， 即，∴(x＋μ)2＝(x－μ)2，∴μ＝0， ∴f(x)＝e.又y＝ex是R上的增函數(shù)，而－x2≤0， ∴f(x)的最大值為e0＝1＝m，∴m＋μ＝1. 思維升華　(1)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象． (2)對復(fù)合

9、函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行討論時(shí)，要搞清復(fù)合而成的兩個(gè)函數(shù)，然后對兩層函數(shù)分別進(jìn)行研究． 　(1)函數(shù)y＝的圖象大致為 (　　) (2)若函數(shù)f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實(shí)數(shù)a＝________. 答案　(1)A　(2) 解析　(1)y＝＝1＋，當(dāng)x>0時(shí)，e2x－1>0，且隨著x的增大而增大，故y＝1＋>1隨著x的增大而減小，即函數(shù)y在(0，＋∞)上恒大于1且單調(diào)遞減．又函數(shù)y是奇函數(shù)，故只有A正確． (2)當(dāng)a>1時(shí)，x∈[0,2]，y∈[0，a2－1]， ∴a2－1＝2，即a＝. 當(dāng)0<a

10、<1時(shí)，x∈[0,2]，y∈[a2－1,0]，此時(shí)定義域與值域不一致，無解． 綜上，a＝. 題型三　指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用 例3　(1)k為何值時(shí)，方程|3x－1|＝k無解？有一解？有兩解？ (2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2x－. ①若f(x)＝，求x的值； ②若2tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 思維啟迪　方程的解的問題可轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；恒成立可以通過分離參數(shù)求最值或值域來解決． 解　(1)函數(shù)y＝|3x－1|的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一 個(gè)單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到 的，函數(shù)圖象

11、如圖所示． 當(dāng)k<0時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象無交點(diǎn)，即方程無 解；當(dāng)k＝0或k≥1時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象有唯一的交點(diǎn)，所以方程有一解； 當(dāng)0<k<1時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以方程有兩解． (2)①當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝0，無解； 當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x－， 由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0， 看成關(guān)于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－， ∵2x>0，∴x＝1. ②當(dāng)t∈[1,2]時(shí)，2t＋m≥0， 即m(22t－1)≥－(24t－1)

12、，∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)， ∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故m的取值范圍是[－5，＋∞)． 思維升華　對指數(shù)函數(shù)的圖象進(jìn)行變換是利用圖象的前提，方程f(x)＝g(x)解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；有關(guān)復(fù)合函數(shù)問題的關(guān)鍵是通過換元得到兩個(gè)新的函數(shù)，搞清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)． 　定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求a，b的值； (2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍． 解　(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝0， 即＝0，解得b＝1.

13、 從而有f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. 所以a＝2，b＝1. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋， 由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)． 又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 等價(jià)于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因f(x)是減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k， 即對一切t∈R有3t2－2t－k>0， 從而判別式Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 換元法解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域問題 典例：(9分)(1)函數(shù)y＝()的值域

14、是 (　　) A．(－∞，4) B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞) (2)函數(shù)y＝()x－()x＋1在x∈[－3,2]上的值域是________． 解析　(1)設(shè)t＝x2＋2x－1，則y＝()t. 因?yàn)閠＝(x＋1)2－2≥－2，y＝()t為關(guān)于t的減函數(shù)， 所以0<y＝()t≤()－2＝4， 故所求函數(shù)的值域?yàn)?0,4]． (2)因?yàn)閤∈[－3,2]，若令t＝()x，則t∈[，8]． 則y＝t2－t＋1＝(t－)2＋. 當(dāng)t＝時(shí)，ymin＝；當(dāng)t＝8時(shí)，ymax＝57. ∴所求函數(shù)值域?yàn)閇，57]． 答案　(

15、1)C　(2)[，57] 溫馨提醒　和指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域或最值問題，通常利用換元法，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本初等函數(shù)的單調(diào)性或值域問題，注意換元過程中“元”的取值范圍的變化. 方法與技巧 1．判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較． 2．指數(shù)函數(shù)y＝ax (a>0，a≠1)的性質(zhì)和a的取值有關(guān)，一定要分清a>1與0<a<1. 3．對和復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成． 失誤與防范 1．恒成立問題一般與函數(shù)最值有關(guān)，要與方程有解區(qū)別開來． 2．復(fù)合函數(shù)的問題，一定要注意函數(shù)的定義域． 3．對可

16、化為a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助換元法解決，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1．函數(shù)y＝ax－a(a>0，且a≠1)的圖象可能是 (　　) 答案　C 解析　當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，故函數(shù)y＝ax－a(a>0，且a≠1)的圖象必過點(diǎn)(1,0)，顯然只有C符合． 2． 已知a＝，函數(shù)f(x)＝ax，若實(shí)數(shù)m、n滿足f(m)>f(n)，則m、n的關(guān)系為(　　) A．m＋n<0 B．m＋n>0

17、 C．m>n D．m<n 答案　D 解析　∵0<<1，∴f(x)＝ax＝()x， 且f(x)在R上單調(diào)遞減， 又∵f(m)>f(n)，∴m<n，故選D. 3． 若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 答案　B 解析　由f(1)＝得a2＝， ∴a＝(a＝－舍去)，即f(x)＝()|2x－4|. 由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，

18、所以f(x)在(－∞，2]上遞增，在[2，＋∞)上遞減．故選B. 4．若存在負(fù)實(shí)數(shù)使得方程2x－a＝成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．(2，＋∞) B．(0，＋∞) C．(0,2) D．(0,1) 答案　C 解析　在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)y＝和y＝2x－a的圖象 知，當(dāng)a∈(0,2)時(shí)符合要求． 5．已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2 014a＝2 015b，下列五個(gè)關(guān)系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的關(guān)系式有 (　　) A．1個(gè)

19、 B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 答案　B 解析　設(shè)2 014a＝2 015b＝t，如圖所示，由函數(shù)圖象，可得 (1)若t>1，則有a>b>0； (2)若t＝1，則有a＝b＝0； (3)若0<t<1，則有a<b<0. 故①②⑤可能成立，而③④不可能成立． 二、填空題 6．(0.002)－10(－2)－1＋(－)0＝________. 答案?。?9 解析　原式＝()－＋1＝500－10(＋2)＋1 ＝10－10－20＋1＝－19. 7． 若指數(shù)函數(shù)y＝ax在[－1,1]上的最大值與最小值的差是1，則底數(shù)a＝_______

20、_. 答案　 解析　若0<a<1，則a－1－a＝1， 即a2＋a－1＝0，解得a＝或a＝(舍去)． 若a>1，則a－a－1＝1，即a2－a－1＝0， 解得a＝或a＝(舍去)． 綜上所述a＝. 8．若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(1，＋∞) 解析　令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若0<a<1，顯然y＝ax與y＝x＋a 的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)；若a>1，y＝ax與y＝x＋a的圖象如圖所示有 兩個(gè)公共點(diǎn)． 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝b·ax

21、(其中a，b為常量且a>0，a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,6)，B(3,24)． (1)試確定f(x)； (2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　(1)∵f(x)＝b·ax的圖象過點(diǎn)A(1,6)，B(3,24)， ∴ ②÷①得a2＝4，又a>0且a≠1，∴a＝2，b＝3， ∴f(x)＝3·2x. (2)由(1)知()x＋()x－m≥0在(－∞，1]上恒成立化為m≤()x＋()x在(－∞，1]上恒成立． 令g(x)＝()x＋()x， 則g(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減， ∴m≤g(x)m

22、in＝g(1)＝＋＝， 故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，]． 10．設(shè)a>0且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 解　令t＝ax (a>0且a≠1)， 則原函數(shù)化為y＝(t＋1)2－2 (t>0)． ①當(dāng)0<a<1時(shí)，x∈[－1,1]，t＝ax∈， 此時(shí)f(t)在上為增函數(shù)． 所以f(t)max＝f＝2－2＝14. 所以2＝16，所以a＝－或a＝. 又因?yàn)閍>0，所以a＝. ②當(dāng)a>1時(shí)，x∈[－1,1]，t＝ax∈， 此時(shí)f(t)在上為增函數(shù)． 所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)

23、2－2＝14， 解得a＝3(a＝－5舍去)．綜上得a＝或3. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：30分鐘) 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝若F(x)＝f(x)＋x，x∈R，則F(x)的值域?yàn)? (　　) A．(－∞，1] B．[2，＋∞) C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) 答案　C 解析　當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)＝＋x≥2； 當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)＝ex＋x，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性，F(xiàn)(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，F(xiàn)(x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域?yàn)?－∞，1]∪[2，＋∞)． 2．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a (a>0

24、且a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根，則a的取值范圍是 (　　) A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1) C．(1，＋∞) D． 答案　D 解析　方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與y＝2a有兩個(gè)交點(diǎn)． ①當(dāng)0<a<1時(shí)，如圖(1)，∴0<2a<1，即0<a<. ②當(dāng)a>1時(shí)，如圖(2)，而y＝2a>1不符合要求． 　　 圖(1)　　　　　　　　　　　圖(2) 綜上，0<a<. 3．關(guān)于x的方程x＝有負(fù)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________

25、． 答案　 解析　由題意，得x<0，所以0<x<1， 從而0<<1，解得－<a<. 4．已知f(x)＝(＋)x3(a>0且a≠1)． (1)討論f(x)的奇偶性； (2)求a的取值范圍，使f(x)>0在定義域上恒成立． 解　(1)由于ax－1≠0，則ax≠1，得x≠0， 所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}． 對于定義域內(nèi)的任意x，有 f(－x)＝(＋)(－x)3 ＝(＋)(－x)3 ＝(－1－＋)(－x)3 ＝(＋)x3＝f(x)． ∴f(x)是偶函數(shù)． (2)方法一　當(dāng)a>1時(shí)， 對x

26、>0，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知ax>1， ∴ax－1>0，＋>0. 又x>0時(shí)，x3>0， ∴x3(＋)>0，即當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0. 又由(1)知，f(x)為偶函數(shù)，故f(－x)＝f(x)， 當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，有f(x)＝f(－x)>0. 綜上知當(dāng)a>1時(shí)，f(x)>0在定義域內(nèi)恒成立． 當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)＝. 當(dāng)x>0時(shí)，1>ax>0，ax＋1>0， ax－1<0，x3>0，此時(shí)f(x)<0，不滿足題意； 又f(x)為偶函數(shù)，

27、所以當(dāng)x<0時(shí)， －x>0，f(x)＝f(－x)<0，也不滿足題意． 綜上可知，a的取值范圍是a>1. 方法二　由(1)知f(x)為偶函數(shù)， ∴只需討論x>0時(shí)的情況． 當(dāng)x>0時(shí)，要使f(x)>0，即(＋)x3>0， 即＋>0，即>0， 即ax－1>0，ax>1，ax>a0. 又∵x>0，∴a>1.∴當(dāng)a>1時(shí)，f(x)>0. 故a的取值范圍是a>1. 5．已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＝. (1)求函數(shù)f(x)

28、在(－1,1)上的解析式； (2)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性； (3)當(dāng)λ取何值時(shí)，方程f(x)＝λ在(－1,1)上有實(shí)數(shù)解？ 解　(1)∵f(x)是x∈R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0. 設(shè)x∈(－1,0)，則－x∈(0,1)， f(－x)＝＝＝－f(x)， ∴f(x)＝－， ∴f(x)＝ (2)設(shè)0<x1<x2<1， f(x1)－f(x2)＝ ＝， ∵0<x1<x2<1，∴2x1<2x2, 2x1＋x2>20＝1， ∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù)． (3)∵f(x)在(0,1)上為減函數(shù)， ∴<f(x)<，即f(x)∈(，)． 同理，f(x)在(－1,0)上時(shí)，f(x)∈(－，－)． 又f(0)＝0，當(dāng)λ∈(－，－)∪(，)， 或λ＝0時(shí)，方程f(x)＝λ在x∈(－1,1)上有實(shí)數(shù)解．