高考數(shù)學人教A版理科配套題庫【第四章】三角函數(shù)、解三角形 第5講 兩角和與差的正弦、余弦和正切

上傳人:仙*** 文檔編號:43051471 上傳時間:2021-11-29 格式:DOC 頁數(shù):8 大?。?1KB
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1、 精品資料 第5講 兩角和與差的正弦、余弦和正切 一、選擇題 1. 已知銳角α滿足cos 2α=cos ,則sin 2α等于(  ) A.            B.- C. D.- 解析 由cos 2α=cos 得(cos α-sin α)(cos α+sin α)=(cos α+sin α) 由α為銳角知cos α+sin α≠0. ∴cos α-sin α=,平方得1-sin 2α=. ∴sin 2α=.

2、答案 A 2.若=,則tan 2α等于 (  ). A. B.- C. D.- 解析 ===, ∴tan α=2,∴tan 2α===-,故選D. 答案 D 3.已知α,β都是銳角,若sin α=,sin β=,則α+β= (  ). A. B. C.和 D.-和- 解析 由α,β都為銳角,所以cos α==,cos β==.所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,所以α+β=. 答案 A 4.已知sin θ+c

3、os θ=,則sin θ-cos θ的值為 (  ). A. B.- C. D.- 解析 ∵sin θ+cos θ=,∴(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=,∴sin 2θ=,又0<θ<,∴sin θ

4、 答案 C 6.已知cos+sin α=,則sin的值是(  ). A.- B. C.- D. 解析 cos+sin α=?sin α+cos α =?sin=, 所以sin=-sin=-. 答案 C 二、填空題 7.已知cos =,α∈,則cos α=________. 解析 ∵α∈,∴α+∈, ∴sin =. 故cos α=cos [-] =cos cos+sin sin =+=. 答案 8.設α為銳角,若cos=,則 sin的值為________. 解析 ∵α為銳角且cos=, ∴α+∈

5、,∴sin=. ∴sin=sin =sin 2cos -cos 2sin =sincos- =-=-=. 答案  9.函數(shù)f(x)=2cos2x+sin 2x的最小值是________. 解析 ∵f(x)=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=1+sin,∴f(x)min=1-. 答案 1- 10.方程x2+3ax+3a+1=0(a>2)的兩根為tan A,tan B,且A,B∈,則A+B=________. 解析 由題意知tan A+tan B=-3a<-6,tan Atan B=3a+1>7,∴tan A<0,tan B<0, tan(A+B)

6、===1. ∵A,B∈,∴A,B∈, ∴A+B∈(-π,0),∴A+B=-. 答案?。? 三、解答題 11.已知函數(shù)f(x)=sin+sin+2cos2x-1,x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 解 (1)f(x)=sin 2xcos+cos 2xsin+sin 2xcos-cos 2xsin+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin. 所以,f(x)的最小正周期T==π. (2)因為f(x)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù).又f=-1,f=,f=1,故函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為,最小值為-1. 12.

7、已知sin α+cos α=,α∈,sin=,β∈. (1)求sin 2α和tan 2α的值; (2)求cos(α+2β)的值. 解 (1)由題意得(sin α+cos α)2=, 即1+sin 2α=,∴sin 2α=. 又2α∈,∴cos 2α==, ∴tan 2α==. (2)∵β∈,β-∈,sin=, ∴cos=, 于是sin 2=2sincos=. 又sin 2=-cos 2β,∴cos 2β=-, 又2β∈,∴sin 2β=, 又cos2α==,α∈, ∴cos α=,sin α=. ∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β

8、 =-=-. 13.函數(shù)f(x)=6cos2+ sin ωx-3(ω>0)在一個周期內的圖象如圖所示,A為圖象的最高點,B、C為圖象與x軸的交點,且△ABC為正三角形. (1)求ω的值及函數(shù)f(x)的值域; (2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值. 解 (1)由已知可得,f(x)=3cos ωx+ sin ωx =2sin, 又正三角形ABC的高為2,從而BC=4, 所以函數(shù)f(x)的周期T=42=8,即=8,ω=. 函數(shù)f(x)的值域為[-2,2]. (2)因為f(x0)=, 由(1)有f(x0)=2sin=, 即sin=. 由x0∈,知+∈, 所以c

9、os= =. 故f(x0+1)=2sin =2sin =2 =2=. 14.(1)①證明兩角和的余弦公式 C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; ②由C(α+β)推導兩角和的正弦公式 S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. (2)已知cos α=-,α∈,tan β=-,β∈, 求cos(α+β). 解 (1)證明?、偃鐖D,在直角坐標系xOy內作單位圓O,并作出角α,β與-β,使角α的始邊為Ox軸非負半軸,交⊙O于點P1,終邊交⊙O于點P2;角β的始邊為OP2,終邊交⊙O于點P3,角-β的始邊為O

10、P1,終邊交⊙O于點P4. 則P1(1,0),P2(cos α,sin α),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)). 由P1P3=P2P4及兩點間的距離公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2,展開并整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cos αcos β-sin αsin β). ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. ②由①易得,cos=sin α, sin=cos α. sin(α+β)=cos =cos =coscos(-β)-sinsin(-β) =sin αcos β+cos αsin β. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. (2)∵α∈,cos α=-,∴sin α=-. ∵β∈,tan β=-, ∴cos β=-,sin β=. cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =-=.

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