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1、 精品資料
第4講 基本不等式
一、選擇題
1.若x>0,則x+的最小值為( ).
A.2 B.3 C.2 D.4
解析 ∵x>0,∴x+≥4.
答案 D
2.已知a>0,b>0,a+b=2,則y=+的最小值是( ).
A. B.4 C. D.5
解析 依題意得+=(a+b)=≥=,當(dāng)且僅當(dāng),即a=,
b=時取等號,即+的最小值是.
答案 C
3.小王從甲地到乙地的時速分別為a和b(a
2、 ( ).
A.a(chǎn)=0,∴v>a.
答案 A
4.若正實數(shù)a,b滿足a+b=1,則( ).
A.+有最大值4 B.a(chǎn)b有最小值
C.+有最大值 D.a(chǎn)2+b2有最小值
解析 由基本不等式,得ab≤=,所以ab≤,故B錯;+==≥4,故A錯;由基本不等式得≤ = ,即+≤ ,故C正確;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2=,故D錯.
答案
3、C
5.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是 ( ).
A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.(-2,4) D.(-4,2)
解析 ∵x>0,y>0且+=1,
∴x+2y=(x+2y)=4++
≥4+2 =8,當(dāng)且僅當(dāng)=,
即x=4,y=2時取等號,
∴(x+2y)min=8,要使x+2y>m2+2m恒成立,
只需(x+2y)min>m2+2m恒成立,
即8>m2+2m,解得-4
4、y=(m>0),l1與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)A,B,l2與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)C,D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a,b.當(dāng)m變化時,的最小值為 ( ).
A.16 B.8 C.8 D.4
解析 如圖,作出y=|log2x|的圖象,由圖可知A,C點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(0,1)內(nèi),B,D點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi),而且xC-xA與xB-xD同號,所以=,根據(jù)已知|log2xA|=m,即-log2xA=m,所以xA=2-m.同理可得xC=2-,xB=2m,xD=2,所以====
5、2+m,由于+m=+-≥4-=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即2m+1=4,即m=時等號成立,故的最小值為2=8.
答案 B
二、填空題
7.設(shè)x,y為實數(shù).若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是________.
解析 依題意有(2x+y)2=1+3xy=1+2xy≤1+2,得(2x+y)2≤1,即|2x+y|≤.當(dāng)且僅當(dāng)2x=y(tǒng)=時,2x+y取最大值.
答案
8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)=的圖象交于P,Q兩點(diǎn),則線段PQ長的最小值是________.
解析 假設(shè)直線與函數(shù)f(x)=的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P,在第三象限內(nèi)的交點(diǎn)為Q,由題意知線段
6、PQ的長為OP長的2倍.
假設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為,則|PQ|=2|OP|=2≥4.當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x0=時,取“=”號.
答案 4
9.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是________.
解析 由a,b∈R+,由基本不等式得a+b≥2,
則ab=a+b+3≥2+3,
即ab-2-3≥0?(-3)(+1)≥0? ≥3,
∴ab≥9.
答案 [9,+∞)
10.已知兩正數(shù)x,y滿足x+y=1,則z=的最小值為________。
解析 z==xy+++=xy++=+xy-2,令t=xy,則0
7、小值,所以當(dāng)x=y(tǒng)=時,z有最小值.
答案
三、解答題
11.設(shè)a,b,c都是正數(shù),求證:++≥a+b+c.
證明 ∵a,b,c都是正數(shù),∴,,都是正數(shù).
∴+≥2c,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立,
+≥2a,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立,
+≥2b,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立.
三式相加,得2(++)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.
12.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.
(1)求u=lg x+lg y的最大值;
(2)求+的最小值.
解 (1)∵x>0,y>0,
∴由基本不等式,得2x+5y≥2.
∵2x+5y=20
8、,∴2≤20,xy≤10,當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y時,等號成立.
因此有解得
此時xy有最大值10.
∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.
∴當(dāng)x=5,y=2時,u=lg x+lg y有最大值1.
(2)∵x>0,y>0,∴+==
≥=,當(dāng)且僅當(dāng)=時,等號成立.
由解得
∴+的最小值為.
13.設(shè)f(x)=(x>0).
(1)求f(x)的最大值;
(2)證明:對任意實數(shù)a,b,恒有f(a)
9、,b2-3b+有最小值3,
由(1)知,f(a)有最大值2,
∴對任意實數(shù)a,b,恒有f(a)