《高考數(shù)學(xué)理科總復(fù)習(xí)【第二章】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十五節(jié)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)理科總復(fù)習(xí)【第二章】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十五節(jié)(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料
第十五節(jié) 用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題
會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題
[來源:]
知識梳理
優(yōu)化問題:社會經(jīng)濟(jì)生活、生產(chǎn)實踐與科學(xué)研究等實際問題中有關(guān)求利潤________、用料________、效率________等問題通常稱為________問題.
利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟:
(1)分析實際問題中各個量之間的關(guān)系,建立實際問題的________,寫出實際問題中______,根據(jù)實際問題確定定義域;[來源:]
(2)求函數(shù)y=f(x)的______,解方程________
2、,得出定義域內(nèi)的實根,確定________;
(3)比較函數(shù)在________和________的函數(shù)值的大小,獲得所求函數(shù)的最大(小)值;
(4)還原到實際問題中作答.
基礎(chǔ)自測
1.以長為10的線段AB為直徑作半圓,則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為( )
A.10 B.15 C.25 D.50
答案:C
2.某產(chǎn)品的銷售收入y1 (萬元)是產(chǎn)品x(千臺)的函數(shù),y1=17x2,生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是x的函數(shù),y2=2x3-x2(x>0),為使利潤最大,應(yīng)生產(chǎn)( )
A.9千臺 B.8千臺
C.6千臺
3、 D.3千臺
解析:f(x)=y(tǒng)1-y2=-2x3+18x2,f′(x)=-6x2+36x=0,x=6,故選C.
答案:C
3.一個物體的運動方程為s=1-t+t2,其中s的單位是米,t的單位是秒,那么物體在3秒末的瞬時速度是( )
A.7米/秒 B.6米/秒
C.5米/秒 D.8米/秒
解析:由導(dǎo)數(shù)的物理意義知,位移的導(dǎo)數(shù)是瞬時速度,由s=1-t+t2求導(dǎo)得v=s′=-1+2t,當(dāng)t=3時,v=5.故選C.[來源:]
答案:C
4.當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時,它的底面半徑_________時,才能使飲料罐
4、的體積最大.
解析:設(shè)圓柱形金屬飲料罐的底面半徑為R,高為h.
S=2πRh+2πR2? h=[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
?V(R)=πR2=(S-2πR2)R=SR-πR3
?V′(R)=S-3πR2,
令V′(R)=0,∴R= .
因V(R)只有一個極值點,故它就是最大值點.
答案:
1.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,這種現(xiàn)象稱為衰變.假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中,其含量M(單位:太貝克)與時間t(單位:年)滿足函數(shù)關(guān)系M(t)=M02-,其中M0為t=0時銫137的含量.已知t=30時,銫137的含量的變化率是
5、-10ln 2(單位:太貝克/年),則M(60)=( )
A.5太貝克 B.75ln 2太貝克
C.150ln 2太貝克 D.150太貝克
解析:因為M′(t)=-ln 2×M02-,則M′(30)=-ln 2×M02-=-10ln 2,解得M0=600,所以M(t)=600×2-,那么M(60)=600×2-=600×=150(太貝克).故選D.
答案:D
2.某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+10(x-6)2,其中3<x
6、<6,a為常數(shù),已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克.
(1)求a的值;
(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.[來源:]
解析:(1)因為x=5時,y=11,所以+10=11?a=2.
(2)由(1)知該商品每日的銷售量y=+10(x-6)2,所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)=(x-3)+10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.
f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),3<x<6,令f′(x)=0,得x=4.
于是當(dāng)
7、x變化時,f′(x),f(x)的變化情況見下表:
x[來源:]
(3,4)[來源:]
4
(4,6)
f′(x)
+
0
-
f(x)
↗
極大值42
由上表可得,x=4是f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點,也是最大值點.
所以當(dāng)x=4時,函數(shù)f(x)取得最大值f(4)=42.
答案:見解析
1.某工廠從2005年開始,近8年以來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是:前4年年產(chǎn)量的增長速度越來越慢,后4年年產(chǎn)量的增長速度保持不變,則該廠這種產(chǎn)品的產(chǎn)量與時間的函數(shù)圖象可能是( )
解析:觀察知,選項B中,0<t
8、<4時,圖中曲線的切線斜率越來越小,表明增長速度越來越慢;4<t<8時,是一條線段,斜率為定值,表明增長速度不變.故選B.
答案:B[來源:]
2.一艘輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比,已知當(dāng)速度為10 km/h時燃料費是6元/h,而其他與速度無關(guān)的費用是96元/h,問輪船以何種速度航行時,能使行使路程的費用總和最???
解析:設(shè)船的行使速度為x km/h(x>0)時,燃料費用為Q元/h,則Q=kx3,
則6=k·103,∴k=,從而Q=x3,設(shè)總費用為y元,行駛路程為a,
則y=·=a,
∴y′=a,令y′==0得x=20,
且x∈(0,20)時,y′<0;當(dāng)x∈(20,+∞)時,y′>0,[來源:]
所以當(dāng)x=20時,y最小.
答案:見解析
[來源:]