高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第七章】不等式【下】 第七章 7.6
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1、 精品資料 §7.6 立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直 1. 直線的方向向量與平面的法向量的確定 (1)直線的方向向量:在直線上任取一非零向量作為它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程組求出:設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩不共線向量,n為平面α的法向量,則求法向量的方程組為. 2. 用向量證明空間中的平行關(guān)系 (1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2. (2)設(shè)直線l的方向向量為v,與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2,則l∥α或l?α?存在兩個(gè)
2、實(shí)數(shù)x,y,使v=xv1+yv2. (3)設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l∥α或l?α?v⊥u. (4)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1,u2,則α∥β?u1 ∥u2. 3. 用向量證明空間中的垂直關(guān)系 (1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2=0. (2)設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l⊥α?v∥u. (3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2,則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2=0. 1. 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)直線的方向向量是唯一
3、確定的. ( × ) (2)平面的單位法向量是唯一確定的. ( × ) (3)若兩平面的法向量平行,則兩平面平行. ( × ) (4)若兩直線的方向向量不平行,則兩直線不平行. ( √ ) (5)若a∥b,則a所在直線與b所在直線平行. ( × ) (6)若空間向量a平行于平面α,則a所在直線與平面α平行. ( × ) 2. 若直線l1,l2的方向向量分別為a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),則 ( ) A.l1∥l2 B.l
4、1⊥l2 C.l1與l2相交但不垂直 D.以上均不正確 答案 B 解析 a·b=-12+36-24=0,故a⊥b,即l1⊥l2選B. 3. 已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)M(1,-1,2),平面α的一個(gè)法向量為n=(6,-3,6),則下列點(diǎn)P中,在平面α內(nèi)的是 ( ) A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4) 答案 A 解析 逐一驗(yàn)證法,對(duì)于選項(xiàng)A,=(1,4,1), ∴·n=6-12+6=0,∴⊥n, ∴點(diǎn)P在平面α內(nèi),同理可驗(yàn)證其他三個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi).
5、 4. 已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實(shí)數(shù)x,y,z分別為______________. 答案 ,-,4 解析 由題意知,⊥,⊥. 所以 即 解得,x=,y=-,z=4. 5. 若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α內(nèi)的三點(diǎn),設(shè)平面α的法向量n=(x,y,z),則x∶y∶z=________. 答案 2∶3∶(-4) 題型一 證明平行問題 例1 (2013·浙江改編)如圖,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD, BC⊥CD,AD=2,BD=2,M是AD的中點(diǎn),P是BM的中
6、點(diǎn), 點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC. 證明:PQ∥平面BCD. 思維啟迪 證明線面平行,可以利用判定定理先證線線平行,也可利用平面的法向量. 證明 方法一 如圖,取BD的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OD、OP所在射線為y、z 軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意知, A(0,,2),B(0,-,0),D(0,,0). 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0,0). 因?yàn)椋?, 所以Q. 因?yàn)镸為AD的中點(diǎn),故M(0,,1). 又P為BM的中點(diǎn),故P, 所以=. 又平面BCD的一個(gè)法向量為a=(0,0,1),故·a=0. 又PQ?平面BCD,所以PQ∥平面BC
7、D. 方法二 在線段CD上取點(diǎn)F,使得DF=3FC,連接OF,同證法一建立空間直角坐標(biāo)系,寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x0,y0,0). ∵=,設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)系(x,y,0)則 (x-x0,y-y0,0)=(-x0,-y0,0) ∴∴=(x0,+y0,0) 又由證法一知=(x0,+y0,0), ∴=, ∴PQ∥OF. 又PQ?平面BCD,OF?平面BCD, ∴PQ∥平面BCD. 思維升華 用向量證明線面平行的方法有 (1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直; (2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行; (3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)
8、的兩個(gè)不共線的向量線性表示. 如圖所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形, △PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E、F、G分別是線段PA、PD、 CD的中點(diǎn).求證:PB∥平面EFG. 證明 ∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD為正方形, ∴AB、AP、AD兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空 間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0). ∴=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1), 設(shè)=s+t, 即(2,0,-
9、2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1), ∴解得s=t=2.∴=2+2, 又∵與不共線, ∴、與共面. ∵PB?平面EFG,∴PB∥平面EFG. 題型二 證明垂直問題 例2 如圖所示,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1 的中點(diǎn).求證:AB1⊥平面A1BD. 思維啟迪 證明線面垂直可以利用線面垂直的定義,即證線與平 面內(nèi)的任意一條直線垂直;也可以證線與面的法向量平行. 證明 方法一 設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理,則存在實(shí)數(shù)λ,μ,使m=λ+μ. 令=a,=b,=c,顯然它們不共面,并且|a|=|b|=|c|=2,
10、a·b=a·c=0,b·c=2,以它們?yōu)榭臻g的一個(gè)基底, 則=a+c,=a+b,=a-c, m=λ+μ=a+μb+λc, ·m=(a-c)· =4-2μ-4λ=0.故⊥m,結(jié)論得證. 方法二 如圖所示,取BC的中點(diǎn)O,連接AO. 因?yàn)椤鰽BC為正三角形, 所以AO⊥BC. 因?yàn)樵谡庵鵄BC—A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1, 所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中點(diǎn)O1,以O(shè)為原點(diǎn),以,,為x軸,y軸, z軸建立空間直角坐標(biāo)系, 則B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,), A(0,
11、0,),B1(1,2,0). 設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),=(-1,2,),=(-2,1,0). 因?yàn)閚⊥,n⊥, 故? 令x=1,則y=2,z=-, 故n=(1,2,-)為平面A1BD的一個(gè)法向量, 而=(1,2,-),所以=n,所以∥n, 故AB1⊥平面A1BD. 思維升華 用向量證明垂直的方法 (1)線線垂直:證明兩直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零. (2)線面垂直:證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示. (3)面面垂直:證明兩個(gè)平面的法向量垂直,或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆? 如圖所示,在四
12、棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD, PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點(diǎn)M 在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°角. (1)求證:CM∥平面PAD; (2)求證:平面PAB⊥平面PAD. 證明 以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CD所在直線為y 軸,CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz, ∵PC⊥平面ABCD, ∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角, ∴∠PBC=30°. ∵PC=2,∴BC=2,PB=4. ∴D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P
13、(0,0,2), M(,0,),∴=(0,-1,2),=(2,3,0), =(,0,), (1)令n=(x,y,z)為平面PAD的一個(gè)法向量, 則即∴ 令y=2,得n=(-,2,1). ∵n·=-×+2×0+1×=0, ∴n⊥,又CM?平面PAD, ∴CM∥平面PAD. (2)取AP的中點(diǎn)E,則E(,2,1),=(-,2,1). ∵PB=AB,∴BE⊥PA. 又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0, ∴⊥,∴BE⊥DA, 又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD, 又∵BE?平面PAB,∴平面PAB⊥平面P
14、AD. 題型三 解決探索性問題 例3 (2012·福建)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1, E為CD的中點(diǎn). (1)求證:B1E⊥AD1; (2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求 AP的長(zhǎng);若不存在,說明理由. 思維啟迪 利用向量法建立空間直角坐標(biāo)系,將幾何問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化;對(duì)于存在性問題可通過計(jì)算下結(jié)論. (1)證明 以A為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖). 設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1), E,B1(a,0,1), 故=(0
15、,1,1),=,=(a,0,1),=. ∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0, ∴B1E⊥AD1. (2)解 假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0,z0). 使得DP∥平面B1AE,此時(shí)=(0,-1,z0). 又設(shè)平面B1AE的法向量n=(x,y,z). ∵n⊥平面B1AE,∴n⊥,n⊥,得 取x=1,得平面B1AE的一個(gè)法向量n=. 要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,有-az0=0, 解得z0=. 又DP?平面B1AE, ∴存在點(diǎn)P,滿足DP∥平面B1AE,此時(shí)AP=. 思維升華 對(duì)于“是否存在”型問題的探索方式有兩種:一種是根
16、據(jù)條件作出判斷,再進(jìn)一步論證.另一種是利用空間向量,先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo),即找到“存在點(diǎn)”,若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出,或有矛盾,則判定“不存在”. 如圖所示,四棱錐S—ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱 的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn). (1)求證:AC⊥SD. (2)若SD⊥平面PAC,則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC. 若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由. (1)證明 連接BD,設(shè)AC交BD于O,則AC⊥BD. 由題意知SO⊥平面ABCD. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為x軸、y軸、z軸正方向,建 立空間直角坐標(biāo)系如圖
17、. 設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則高SO=a, 于是S,D, B,C,=, =,則·=0. 故OC⊥SD.從而AC⊥SD. (2)解 棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC. 理由如下: 由已知條件知是平面PAC的一個(gè)法向量, 且=,=, =. 設(shè)=t,則=+=+t =, 而·=0?t=. 即當(dāng)SE∶EC=2∶1時(shí),⊥. 而BE不在平面PAC內(nèi),故BE∥平面PAC. 利用向量法解決立體幾何問題 典例:(15分)(2012·湖南)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC
18、=90°,E是CD 的中點(diǎn). (1)證明:CD⊥平面PAE; (2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐P-ABCD的體積. 思維啟迪 本題中的(1)有兩種證明思路: (1)利用常規(guī)方法,將證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明線線垂直,利用線面垂直的判定定理證之; (2)將證明線面垂直問題轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系問題,證明向量垂直;然后計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積. 規(guī)范解答 方法一 (1)證明 如圖, 連接AC.由AB=4,BC=3,∠ABC=90°得AC=5. [1分] 又AD=5,E是CD的中點(diǎn),所以CD⊥AE. [2分] 因?yàn)镻A⊥
19、平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.[4分] 而PA,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線, 所以CD⊥平面PAE. [6分] (2)解 過點(diǎn)B作BG∥CD,分別與AE,AD相交于點(diǎn)F,G,連接PF. 由(1)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE. 于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角, [8分] 且BG⊥AE. 由PA⊥平面ABCD知,∠PBA為直線PB與平面ABCD所成的角. [10分] 由題意得∠PBA=∠BPF, 因?yàn)閟in∠PBA=,sin∠BPF=, 所以PA=BF. 由∠DAB=∠ABC=90°
20、;知,AD∥BC. 又BG∥CD,所以四邊形BCDG是平行四邊形. 故GD=BC=3.于是AG=2. 在Rt△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以 BG==2,BF===. 于是PA=BF=. [12分] 又梯形ABCD的面積為S=×(5+3)×4=16, 所以四棱錐P-ABCD的體積為 V=×S×PA=×16×=. [15分] 方法二 如圖, 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸, z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)PA=h,則A(0,0,0)
21、,B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0), P(0,0,h). [2分] (1)證明 易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h). 因?yàn)?#183;=-8+8+0=0,·=0, [4分] 所以CD⊥AE,CD⊥AP. 而AP,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線, 所以CD⊥平面PAE. [6分] (2)解 由題設(shè)和(1)知,,分別是平面PAE,平面ABCD的法向量. [8分] 而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等, 所以|cos〈,〉|=|cos〈,〉|,
22、 即=. [10分] 由(1)知,=(-4,2,0),=(0,0,-h(huán)), 又=(4,0,-h(huán)), 故=. 解得h=. [12分] 又梯形ABCD的面積為S=×(5+3)×4=16, 所以四棱錐P-ABCD的體積為 V=×S×PA=×16×=. [15分] 溫馨提醒 (1)利用向量法證明立體幾何問題,可以建坐標(biāo)系或利用基底表示向量; (2)建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)要根據(jù)題中條件找出三條互相垂直的直線; (3)對(duì)于和平面有關(guān)的垂直問題,也可利用平面的法
23、向量. 方法與技巧 用向量知識(shí)證明立體幾何問題有兩種基本思路:一種是用向量表示幾何量,利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷;另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量,共分三步:(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量(或坐標(biāo))表示問題中所涉及的點(diǎn)、線、面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系;(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來(lái)解釋相關(guān)問題. 失誤與防范 用向量知識(shí)證明立體幾何問題,仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行,只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,即化歸為證明線線平行,用向量方法證明直線a∥b,只需證明向量a=λb(λ∈R)即可.若用
24、直線的方向向量與平面的法向量垂直來(lái)證明線面平行,仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外. A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間:40分鐘) 一、選擇題 1. 若直線l的一個(gè)方向向量為a=(2,5,7),平面α的一個(gè)法向量為u=(1,1,-1),則( ) A.l∥α或l?α B.l⊥α C.l?α D.l與α斜交 答案 A 2. 若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,能使l∥α的是 ( ) A.a(chǎn)=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a(chǎn)=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a(chǎn)=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a(chǎn)=(1,-1,3),n
25、=(0,3,1) 答案 D 解析 若l∥α,則a·n=0, D中,a·n=1×0+(-1)×3+3×1=0,∴a⊥n. 3. 設(shè)平面α的法向量為a=(1,2,-2),平面β的法向量b=(-2,h,k),若α∥β,則h+k的值為 ( ) A.-2 B.-8 C.0 D.-6 答案 C 解析 由α∥β得a∥b,∴==, ∴h=-4,k=4,∴h+k=0. 4. 已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,則實(shí)數(shù)λ等于
26、 ( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 由題意得c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ), ∴,∴. 5. 如圖,在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2, P為C1D1的中點(diǎn),M為BC的中點(diǎn).則AM與PM所成的角為( ) A.60° B.45° C.90° D.以上都不正確 答案 C 解析 以D點(diǎn)為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz, 依題意,可得,D(0,0,0),P(0,1,
27、),C(0,2,0),A(2,0,0), M(,2,0). ∴=(,1,-), =(-,2,0), ∴·=(,1,-)·(-,2,0)=0, 即⊥,∴AM⊥PM. 二、填空題 6. 已知平面α和平面β的法向量分別為a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,則x=________. 答案?。? 解析 ∵a·b=x-2+6=0,∴x=-4. 7. 設(shè)點(diǎn)C(2a+1,a+1,2)在點(diǎn)P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,4)確定的平面上,則a=_______. 答案 16 解析?。?-1,-3,2),=(6,-1,4).
28、 根據(jù)共面向量定理,設(shè)=x+y (x、y∈R), 則(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4) =(-x+6y,-3x-y,2x+4y), ∴ 解得x=-7,y=4,a=16. 8. 如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M、N分別為A1B 和AC上的點(diǎn),A1M=AN=,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系 是________. 答案 平行 解析 ∵正方體棱長(zhǎng)為a,A1M=AN=, ∴=,=, ∴=++=++ =(+)++(+) =+. 又∵是平面B1BCC1的法向量, ∴·=·=0, ∴⊥.又∵M(jìn)N?平面
29、B1BCC1, ∴MN∥平面B1BCC1. 三、解答題 9. 如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.證明:平面PQC⊥平面DCQ. 證明 如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng),射 線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.依題意有 Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),則=(1,1,0),=(0,0,1), =(1,-1,0). ∴·=0,·=0.即PQ⊥DQ,PQ⊥DC, 又DQ∩DC=D,故PQ⊥平面DCQ, 又PQ?平面PQC,∴平面PQC⊥平面DCQ. 10.如圖,在底
30、面是矩形的四棱錐P-ACBD中,PA⊥底面ABCD,E,F(xiàn) 分別是PC,PD的中點(diǎn),PA=AB=1,BC=2. (1)求證:EF∥平面PAB; (2)求證:平面PAD⊥平面PDC. 證明 (1)以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸, AP所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0), B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1), ∴E(,1,),F(xiàn)(0,1,),=(-,0,0),=(1,0,-1), =(0,2,-1),=(0,0,1),=(0,2,0),=(1,0,0),=(1,0,0). ∵=-,∴∥,即EF∥
31、AB, 又AB?平面PAB,EF?平面PAB, ∴EF∥平面PAB. (2)∵·=(0,0,1)·(1,0,0)=0, ·=(0,2,0)·(1,0,0)=0, ∴⊥,⊥,即AP⊥DC,AD⊥DC. 又AP∩AD=A,∴DC⊥平面PAD. ∵DC?平面PDC,∴平面PAD⊥平面PDC. B組 專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間:30分鐘) 1. 已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c與a及b都垂直,則m,n的值分別為 ( ) A.-1,2 B.1,-2 C.1
32、,2 D.-1,-2 答案 A 解析 由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1), 故a·c=3m+n+1=0,b·c=m+5n-9=0. 解得 2. 已知平面ABC,點(diǎn)M是空間任意一點(diǎn),點(diǎn)M滿足條件=++,則直線AM ( ) A.與平面ABC平行 B.是平面ABC的斜線 C.是平面ABC的垂線 D.在平面ABC內(nèi) 答案 D 解析 由已知得M、A、B、C四點(diǎn)共面.所以AM在平面ABC內(nèi),選D. 3. 如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,P為正方形A1B1C1D1四邊上 的動(dòng)點(diǎn),O為
33、底面正方形ABCD的中心,M,N分別為AB,BC的中 點(diǎn),點(diǎn)Q為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn),線段D1Q與OP互相平分,則滿足 =λ的實(shí)數(shù)λ的有________個(gè). 答案 2 解析 建立如圖的坐標(biāo)系,設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,則P(x,y,2), O(1,1,0),∴OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為 , 又知D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,∴xQ+yQ=3, ∴x+y=1,即點(diǎn)P坐標(biāo)滿足x+y=1. ∴有2個(gè)符合題意的點(diǎn)P,即對(duì)應(yīng)有2個(gè)λ. 4. 如圖所示,已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角 形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D、E、F
34、分別為B1A、C1C、BC的 中點(diǎn).求證: (1)DE∥平面ABC; (2)B1F⊥平面AEF. 證明 (1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz, 令A(yù)B=AA1=4, 則A(0,0,0),E(0,4,2),F(xiàn)(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4). 取AB中點(diǎn)為N,連接CN, 則N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2), ∴=(-2,4,0),=(-2,4,0), ∴=,∴DE∥NC, 又∵NC?平面ABC,DE?平面ABC. 故DE∥平面ABC. (2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0). ·=(-2)&
35、#215;2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, ·=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. ∴⊥,⊥,即B1F⊥EF,B1F⊥AF, 又∵AF∩FE=F,∴B1F⊥平面AEF. 5. 在四棱錐P—ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E、F分別是AB、PB的中點(diǎn). (1)求證:EF⊥CD; (2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G,使GF⊥平面PCB,并證明你的結(jié)論. (1)證明 如圖,以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸 建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)AD=a,則D(0,0,0)、 A(a,0,0)、B(a,a,0)、 C(0,a,0)、E、 P(0,0,a)、F. =,=(0,a,0). ∵·=0,∴⊥,即EF⊥CD. (2)解 設(shè)G(x,0,z), 則=, 若使GF⊥平面PCB,則 由·=·(a,0,0) =a=0,得x=; 由·=·(0,-a,a) =+a=0,得z=0. ∴G點(diǎn)坐標(biāo)為,即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn).
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