高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第三章 3.1

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1、 精品資料 §3.1　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 1． 角的概念 (1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角． (2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． (3)象限角：使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限． 2

2、． 弧度制 (1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad,1 rad＝°. (3)扇形的弧長(zhǎng)公式：l＝|α|·r，扇形的面積公式：S＝lr＝|α|·r2. 3． 任意角的三角函數(shù) 任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)，sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表： 三角函數(shù) 定義域 第一象限符號(hào) 第二象限符號(hào) 第三象限符號(hào) 第四象限符號(hào)

3、sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 4． 三角函數(shù)線 如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T. 三角函數(shù)線 　 (Ⅰ)　　　　　(Ⅱ) 　 (Ⅲ)　　　　　(Ⅳ) 有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是銳角． (　

4、×　) (2)銳角是第一象限角，反之亦然． (　×　) (3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等． (　√　) (4)點(diǎn)P(tan α，cos α)在第三象限，則角α終邊在第二象限． (　√　) (5)α∈(0，)，則tan α>α>sin α. (　√　) (6)α為第一象限角，則sin α＋cos α>1. (　√　) 2． 下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是 (　　) A．2kπ＋45° (k∈Z) B．k·360&#

5、176;＋π (k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋ (k∈Z) 答案　C 解析　與的終邊相同的角可以寫(xiě)成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確． 3． 已知扇形的周長(zhǎng)是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 (　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 答案　C 解析　設(shè)此扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l， 則解得或 從而α＝＝＝4或α＝＝＝1. 4． 已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sin θ＝－，

6、則y＝________. 答案　－8 解析　因?yàn)閟in θ＝＝－， 所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8. 5． 函數(shù)y＝的定義域?yàn)開(kāi)_______． 答案　(k∈Z) 解析　∵2cos x－1≥0， ∴cos x≥. 由三角函數(shù)線畫(huà)出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)． ∴x∈(k∈Z)． 題型一　角及其表示 例1　(1)終邊在直線y＝x上的角的集合是________． (2)如果α是第三象限角，那么角2α的終邊落在________． 思維啟迪　(1)利用終邊相同的角的集合進(jìn)行表示，注意對(duì)結(jié)果進(jìn)行合并； (2)根據(jù)α的范圍求2α的范圍，再確定終邊位置

7、． 答案　(1){α|α＝kπ＋，k∈Z} (2)第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上． 解析　(1)∵在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝x上的角是， ∴終邊在直線y＝x上的角的集合為{α|α＝＋kπ，k∈Z}． (2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z， ∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z. ∴角2α的終邊落在第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上． 思維升華　(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需角． (2)利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z

8、}判斷一個(gè)角β所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫(xiě)成[0,2π)范圍內(nèi)的一個(gè)角α與2π的整數(shù)倍的和，然后判斷角α的象限． 　(1)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，對(duì)于始邊為x軸非負(fù)半軸的角，下列命題中正確的是 (　　) A．第一象限中的角一定是銳角 B．終邊相同的角必相等 C．相等的角終邊一定相同 D．不相等的角終邊一定不同 (2)已知角α＝45°，在區(qū)間[－720°，0°]內(nèi)與角α有相同終邊的角β＝________. 答案　(1)C　(2)－675°或－315° 解析　(1)第一象限角是滿足2kπ<α<2

9、kπ＋，k∈Z的角，當(dāng)k≠0時(shí)，它都不是銳角，與角α終邊相同的角是2kπ＋α，k∈Z；當(dāng)k≠0時(shí)，它們都與α不相等，亦即終邊相同的角可以不相等，但不相等的角終邊可以相同． (2)由終邊相同的角關(guān)系知β＝k·360°＋45°，k∈Z， ∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°. 題型二　三角函數(shù)的概念 例2　(1)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ等于 (　　) A．－ B．－ C. D. (2)若sin αtan α<

10、0，且<0，則角α是 (　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 思維啟迪　(1)由于三角函數(shù)值與選擇終邊上的哪個(gè)點(diǎn)沒(méi)有關(guān)系，因此知道了終邊所在的 直線，可在這個(gè)直線上任取一點(diǎn)，然后按照三角函數(shù)的定義來(lái)計(jì)算，最后用倍角公式求 值． (2)可以根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號(hào)判斷． 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)取終邊上一點(diǎn)(a,2a)，a≠0，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos θ＝±，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－. (2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α異號(hào)

11、，從而α為第二或第三象限角． 由<0可知cos α，tan α異號(hào)，從而α為第三或第四象限角，故α為第三象限角． 思維升華　(1)利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r. (2)根據(jù)三角函數(shù)定義中x、y的符號(hào)來(lái)確定各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號(hào)，理解并記憶：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”． 　(1)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為 (　　) A．－ B． C．－ D． (2)若θ是第二象限角，則_______

12、_0.(判斷大小) 答案　(1)B　(2)< 解析　(1)∵r＝，∴cos α＝＝－， ∴m>0，∴＝，即m＝. (2)∵θ是第二象限角，∴－1<cos θ<0,0<sin θ<1， ∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0，∴<0. 題型三　扇形的弧長(zhǎng)、面積公式的應(yīng)用 例3　已知一扇形的圓心角為α (α>0)，所在圓的半徑為R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積； (2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C (C>0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？ 思維

13、啟迪　(1)弓形面積可用扇形面積與三角形面積相減得到；(2)建立關(guān)于α的函數(shù)． 解　(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，則 α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝ (cm)， S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin ＝π－＝50 (cm2)． (2)扇形周長(zhǎng)C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝， ∴S扇＝α·R2＝α·2 ＝α·＝·≤. 當(dāng)且僅當(dāng)α2＝4，即α＝2時(shí)，扇形面積有最大值. 思維升華　涉及弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算時(shí)，可用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式

14、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易記好用，在使用前，應(yīng)將圓心角用弧度表示．弧長(zhǎng)和扇形面積公式：l＝|α|R，S＝|α|R2. 　已知扇形的周長(zhǎng)為4 cm，當(dāng)它的半徑為_(kāi)_______和圓心角為_(kāi)_______弧度時(shí)，扇形面積最大，這個(gè)最大面積是________． 答案　1 cm　2　1 cm2 解析　設(shè)扇形圓心角為α，半徑為r，則 2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2. ∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1， ∴當(dāng)r＝1時(shí)(S扇形)max＝1，此時(shí)|α|＝2. 數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用 典例：(14分)(1)求函數(shù)y＝lg(3－4sin2x)的定義域；

15、(2)設(shè)θ是第二象限角，試比較sin ，cos ，tan 的大?。? 思維啟迪　(1)求定義域，就是求使3－4sin2x>0的x的范圍．用三角函數(shù)線求解． (2)比較大小，可以從以下幾個(gè)角度觀察： ①θ是第二象限角，是第幾象限角？首先應(yīng)予以確定．②sin ，cos ，tan 不能求出確定值，但可以畫(huà)出三角函數(shù)線．③借助三角函數(shù)線比較大小． 規(guī)范解答 解　(1)∵3－4sin2x>0， ∴sin2x<， ∴－<sin x<. [3分] 利用三角函數(shù)線畫(huà)出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)， ∴x∈(k∈Z)．

16、 [6分] (2)∵θ是第二象限角， ∴＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z， ∴是第一或第三象限的角． [8分] (如圖陰影部分)，結(jié)合單位圓上的三角函數(shù)線可得： ①當(dāng)是第一象限角時(shí)， sin ＝AB，cos ＝OA，tan ＝CT， 從而得，cos <sin <tan ； [10分] ②當(dāng)是第三象限角時(shí)， sin ＝EF，cos ＝OE，tan ＝CT， 得sin <cos <tan . [12分] 綜上可得，當(dāng)在第一象限時(shí)，cos &

17、lt;sin <tan ； 當(dāng)在第三象限時(shí)，sin <cos <tan . [14分] 溫馨提醒　(1)第(1)小題的實(shí)質(zhì)是解一個(gè)簡(jiǎn)單的三角不等式，可以用三角函數(shù)圖象，也可以用三角函數(shù)線．但用三角函數(shù)線更方便．(2)第(2)小題比較大小，由于沒(méi)有給出具體的角度，所以用圖形可以更直觀的表示．(3)本題易錯(cuò)點(diǎn)：①不能確定所在的象限；②想不到應(yīng)用三角函數(shù)線．原因在于概念理解不透，方法不夠靈活.  方法與技巧 1． 在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)．|OP|＝r一定是正值． 2． 三角函數(shù)符號(hào)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在

18、理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3． 在解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧． 失誤與防范 1． 注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角． 2． 角度制與弧度制可利用180°＝π rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用． 3． 已知三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1． α＝k·180°＋45°(k∈Z)，

19、則α在 (　　) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 答案　A 解析　45°角在第一象限，角α和45°角終邊相同或互為反向延長(zhǎng)線，∴角α在第一或第三象限． 2． 若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角α∈(0，π)的弧度數(shù)為(　　) A． B． C． D．2 答案　C 解析　設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為r， 所以r＝α·r，∴α＝. 3． 角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－1,2)，則sin α等于 (　　) A．

20、 B． C．－ D．－ 答案　B 解析　由三角函數(shù)的定義， 得sin α＝＝. 4． 若α是第三象限角，則下列各式中不成立的是 (　　) A．sin α＋cos α<0 B．tan α－sin α<0 C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0 答案　B 解析　在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，則可排除A、C、D，故選B. 5． 給出下列命題： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角； ③不論是用角度制還

21、是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無(wú)關(guān)； ④若sin α＝sin β，則α與β的終邊相同； ⑤若cos θ<0，則θ是第二或第三象限的角． 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90°時(shí)，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯(cuò)；③正確；由于sin ＝sin ，但與的終邊不相同，故④錯(cuò)；當(dāng)cos θ＝－1，θ＝π時(shí)既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤錯(cuò)．綜上可知只有③正確．

22、二、填空題 6． 設(shè)α為第二象限角，其終邊上一點(diǎn)為P(m，)，且cos α＝m，則sin α的值為_(kāi)_______． 答案　 解析　設(shè)P(m，)到原點(diǎn)O的距離為r， 則＝cos α＝m， ∴r＝2，sin α＝＝＝. 7． 已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin ，cos )，則角α的最小正值為_(kāi)_______． 答案　π 解析　∵tan α＝＝＝－， 且sin >0，cos <0， ∴α在第四象限，由tan α＝－，得α的最小正值為π. 8． y＝ 的定義域?yàn)開(kāi)_______． 答案　{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z} 解析　∵sin x≥，作直線y＝

23、交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連接OA、 OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α的終邊的范圍， 故滿足條件的角α的集合為 {x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 三、解答題 9． 已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－，m) (m≠0)且sin θ＝m，試判斷角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解　由題意，得r＝， 所以sin θ＝＝m. 因?yàn)閙≠0，所以m＝±，故角θ是第二或第三象限角． 當(dāng)m＝時(shí)，r＝2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝－； 當(dāng)m＝－時(shí)，r＝2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，－)，角θ是第三

24、象限角， 所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝. 10．一個(gè)扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長(zhǎng)是4 cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長(zhǎng)AB. 解　設(shè)圓的半徑為r cm，弧長(zhǎng)為l cm， 則解得 ∴圓心角α＝＝2弧度． 如圖，過(guò)O作OH⊥AB于H，則∠AOH＝1弧度． ∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB＝2sin 1(cm)． B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：30分鐘) 1． 設(shè)集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(　　) A．

25、M＝N B．M?N C．N?M D．M∩N＝? 答案　B 解析　方法一　由于M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}， N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}， 顯然有M?N. 方法二　由于集合M中，x＝×180°＋45°＝k×

26、90°＋45° ＝45°×(2k＋1)，2k＋1是奇數(shù)； 而集合N中，x＝×180°＋45°＝k×45°＋45°＝(k＋1)×45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N. 2． 已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝＋＋的值為 (　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案　B 解析　由α＝2kπ－(k∈Z)及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限， 又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角， 所以sin θ<

27、0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y＝－1＋1－1＝－1. 3． 函數(shù)y＝＋ 的定義域是__________________． 答案　(k∈Z) 解析　由題意知即 ∴x的取值范圍為＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z. 4． 已知扇形AOB的周長(zhǎng)為8. (1)若這個(gè)扇形的面積為3，求圓心角的大??； (2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長(zhǎng)AB. 解　設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，圓心角為α， (1)由題意可得 解得或 ∴α＝＝或α＝＝6. (2)∵2r＋l＝8， ∴S扇＝lr＝l·2r ≤()2＝×()2＝4，

28、 當(dāng)且僅當(dāng)2r＝l，即α＝＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4. ∴r＝2，∴弦長(zhǎng)AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 5． 已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求終邊所在的象限； (3)試判斷tan sin cos 的符號(hào)． 解　(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上； 由tan α>0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合為 {α|(2k＋1)π<α<2kπ＋，k∈Z}． (2)由(2k＋1)π<α<2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋<<kπ＋，k∈Z， 故終邊在第二、四象限． (3)當(dāng)在第二象限時(shí)，tan <0，sin >0，cos <0， 所以tan sin cos 取正號(hào)； 當(dāng)在第四象限時(shí)，tan <0，sin <0，cos >0， 所以tan sin cos 也取正號(hào)． 因此，tan sin cos 取正號(hào)．