高考數(shù)學浙江理科一輪【第一章】集合與常用邏輯用語 第一章 1.1

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1、 精品資料 1.1 集合的概念與運算 1. 集合與元素 (1)集合元素的三個特征:確定性、互異性、無序性. (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系,用符號∈或?表示. (3)集合的表示法:列舉法、描述法、圖示法. (4)常見數(shù)集的記法 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 N N*(或N+) Z Q R 2. 集合間的關(guān)系 (1)子集:對任意的x∈A,都有x∈B,則A?B(或B?A). (2)真子集:若A?B,且A≠B,則AB(或BA). (3)空集:空集是任

2、意一個集合的子集,是任何非空集合的真子集.即??A,?B(B≠?). (4)若A含有n個元素,則A的子集有2n個,A的非空子集有2n-1個. (5)集合相等:若A?B,且B?A,則A=B. 3. 集合的運算 集合的并集 集合的交集 集合的補集 圖形 符號 A∪B={x|x∈A或x∈B} A∩B={x|x∈A且x∈B} ?UA={x|x∈U,且x?A} 4. 集合的運算性質(zhì) 并集的性質(zhì): A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性質(zhì): A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 補集的性質(zhì): A∪

3、(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A. 1. 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)A={x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}. (  ) (2){1,2,3}={3,2,1}. ( √ ) (3)?={0}. (  ) (4)若A∩B=A∩C,則B=C. (  ) (5)已知集合M={1,2,3,4},N={2,3},則M∩N=N. ( √ ) (6)若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<4},則?U

4、P={2}. ( √ ) 2. 設(shè)集合A={x|x-x2>0},B={y|y=2x,x∈R},則A∩B等于 (  ) A.{x|01} C.{x|x<0或x>0} D.{x|x∈R} 答案 A 解析 集合A={x|00},從而A∩B={x|0

5、已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},則M∩N等于 (  ) A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 答案 A 解析 化簡集合M得M={x|-10},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一個整數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是________. 答案  解析 A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3}, 因為函數(shù)y=f(x)=x2-2ax-1的

6、對稱軸為x=a>0,f(0)=-1<0, 根據(jù)對稱性可知要使A∩B中恰含有一個整數(shù), 則這個整數(shù)為2, 所以有f(2)≤0且f(3)>0, 即所以 即≤a<. 題型一 集合的基本概念 例1 (1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},則B中所含元素的個數(shù)為 (  ) A.3 B.6 C.8 D.10 (2)設(shè)a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,則b-a=________. 思維啟迪 解決集合問題首先要理解集合的含義,明確元素的特征,抓住集合的“三性”. 答案 (1)D (2

7、)2 解析 (1)由x-y∈A,及A={1,2,3,4,5}得x>y, 當y=1時,x可取2,3,4,5,有4個; 當y=2時,x可取3,4,5,有3個; 當y=3時,x可取4,5,有2個; 當y=4時,x可取5,有1個. 故共有1+2+3+4=10(個),選D. (2)因為{1,a+b,a}=,a≠0, 所以a+b=0,得=-1, 所以a=-1,b=1.所以b-a=2. 思維升華 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含義,再看元素的限制條件,明白集合的類型,是數(shù)集、點集還是其他類型集合;(2)集合中元素的互異性常常容易忽略,求解問題時要特別注意.分類討論的

8、思想方法常用于解決集合問題.  (1)已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},則A∩B的元素個數(shù)為 (  ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)若集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有兩個,則實數(shù)a=________. 答案 (1)C (2)0或 解析 (1)集合A表示的是圓心在原點的單位圓,集合B表示的是直線y=x,據(jù)此畫出圖象,可得圖象有兩個交點,即A∩B的元素個數(shù)為2. (2)∵集合A的子集只有兩個,∴A中只有一個元素. 當a=0時,x=符合要求. 當a≠0時,Δ

9、=(-3)2-4a2=0,∴a=. 故a=0或. 題型二 集合間的基本關(guān)系 例2 (1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0

10、,B,根據(jù)集合關(guān)系求出集合C的個數(shù). 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}. 由題意知B={1,2,3,4},∴滿足條件的C可為{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)當B=?時,有m+1≥2m-1,則m≤2. 當B≠?時,若B?A,如圖. 則,解得2

11、決這類問題.  (1)設(shè)M為非空的數(shù)集,M?{1,2,3},且M中至少含有一個奇數(shù)元素,則這樣的集合M共有 (  ) A.6個 B.5個 C.4個 D.3個 (2)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A?B,則實數(shù)a的取值范圍是(c,+∞),其中c=________. 答案 (1)A (2)4 解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23=8(個),集合{2}的所有子集共有2個,故滿足要求的集合M共有8-2=6(個). (2)由log2x≤2,得0

12、由于A?B,如圖所示,則a>4,即c=4. 題型三 集合的基本運算 例3 (1)(2013湖北)已知全集為R,集合A=,B=,則A∩(?RB)等于 (  ) A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2或x>4} D.{x|0

13、 解析 (1)A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4} ∴A∩(?RB)={x|x≥0}∩{x|x>4或x<2} ={x|0≤x<2或x>4}. (2)先求出集合A,再根據(jù)集合的交集的特點求解. A={x|-50},

14、則A∩B=(  ) A.{x|22}, ∴A∩B={x∈Z|2

15、}或B={-1,-2}. ①若B={-1},則m=1; ②若B={-2},則應有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)(-2)=4,這兩式不能同時成立,∴B≠{-2}; ③若B={-1,-2},則應有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)(-2)=2,由這兩式得m=2. 經(jīng)檢驗知m=1和m=2符合條件. ∴m=1或2. 題型四 集合中的新定義問題 例4 在整數(shù)集Z中,被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”,記為[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.給出如下四個結(jié)論: ①2 014∈[4];②-3∈[3];③Z=[0]

16、∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整數(shù)a,b屬于同一‘類’”的充要條件是“a-b∈[0]”. 其中,正確結(jié)論的個數(shù)是 (  ) A.1 B.2 C.3 D.4 思維啟迪 解答本題要充分理解[k]的意義,然后對選項逐一驗證. 答案 C 解析 因為2 014=4025+4, 又因為[4]={5n+4|n∈Z}, 所以2 014∈[4],故①正確; 因為-3=5(-1)+2,所以-3∈[2],故②不正確; 因為所有的整數(shù)Z除以5可得的余數(shù)為0,1,2,3,4,所以③正確; 若a,b屬于同一“類”,則有a=5n1+k,b=5n2+k,

17、所以a-b=5(n1-n2)∈[0], 反過來,如果a-b∈[0], 也可以得到a,b屬于同一“類”,故④正確. 故有3個結(jié)論正確. 思維升華 解決以集合為背景的新定義問題,要抓住兩點:(1)緊扣新定義.首先分析新定義的特點,把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚,并能夠應用到具體的解題過程之中,這是破解新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在;(2)用好集合的性質(zhì).解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素,在關(guān)鍵之處用好集合的運算與性質(zhì).  設(shè)U為全集,對集合X,Y,定義運算“”,滿足XY=(?UX)∪Y,則對于任意集合X,Y,Z,X(YZ)= (  ) A.(

18、X∪Y)∪(?UZ) B.(X∩Y)∪(?UZ) C.[(?UX)∪(?UY)]∩Z D.(?UX)∪(?UY)∪Z 答案 D 解析 因為XY=(?UX)∪Y,所以YZ=(?UY)∪Z, 所以X(YZ)=(?UX)∪(YZ)=(?UX)∪(?UY)∪Z,故選D. 遺忘空集致誤 典例:(4分)若集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S?P,則由a的可取值組成的集合為__________. 易錯分析 從集合的關(guān)系看,S?P,則S=?或S≠?,易遺忘S=?的情況. 解析 P={-3,2}.當a=0時,S=?,滿足S?P; 當a≠0時

19、,方程ax+1=0的解集為x=-, 為滿足S?P可使-=-3或-=2, 即a=或a=-.故所求集合為. 答案  溫馨提醒 (1)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)是高考的一個重點內(nèi)容.解答此類問題的關(guān)鍵是抓住集合間的關(guān)系以及集合元素的特征.(2)在解答本題時,存在兩個典型錯誤.一是忽略對空集的討論,如a=0時,S=?;二是易忽略對字母的討論.如-可以為-3或2.因此,在解答此類問題時,一定要注意分類討論,避免漏解. 方法與技巧 1.集合中的元素的三個特征,特別是無序性和互異性在解題時經(jīng)常用到.解題后要進行檢驗,要重視符號語言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化. 2.對連續(xù)數(shù)集間的運算,借助數(shù)軸的直

20、觀性,進行合理轉(zhuǎn)化;對已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系,求其中參數(shù)的取值范圍時,要注意單獨考察等號. 3.對離散的數(shù)集間的運算,或抽象集合間的運算,可借助Venn圖.這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn). 失誤與防范 1.集合問題解題中要認清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點集還是其他類型集合),要對集合進行化簡. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,時刻關(guān)注對空集的討論,防止漏解. 3.解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系:一是元素與集合的從屬關(guān)系;二是集合與集合的包含關(guān)系. 4.Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法,其中運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心. 5.要注意A

21、?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩(?UB)=?這五個關(guān)系式的等價性. A組 專項基礎(chǔ)訓練 (時間:30分鐘) 一、選擇題 1. (2013重慶)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},則?U(A∪B)等于(  ) A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 答案 D 解析 因為A∪B={1,2,3},全集U={1,2,3,4},所以?U(A∪B)={4},故選D. 2. 下列集合中表示同一集合的是 (  ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2

22、,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 答案 B 解析 選項A中的集合M表示由點(3,2)所組成的單點集,集合N表示由點(2,3)所組成的單點集,故集合M與N不是同一個集合.選項C中的集合M表示由直線x+y=1上的所有點組成的集合,集合N表示由直線x+y=1上的所有點的縱坐標組成的集合,即N={y|x+y=1}=R,故集合M與N不是同一個集合.選項D中的集合M有兩個元素,而集合N只含有一個元素,故集合M與N不是同一個集合.對選項B,由集合元素的無序性,可知M,N表示同一個集合. 3. 已知全集S={1

23、,2,a2-2a+3},A={1,a},?SA={3},則實數(shù)a等于 (  ) A.0或2 B.0 C.1或2 D.2 答案 D 解析 由題意,知則a=2. 4. 設(shè)集合M={m∈Z|m≤-3或m≥2},N={n∈Z|-1≤n≤3},則(?ZM)∩N等于(  ) A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} 答案 B 解析 由已知,得?ZM={-2,-1,0,1}, N={-1,0,1,2,3},所以(?ZM)∩N={-1,0,1}. 5. 已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5

24、},P=M∩N,則P的子集共有 (  ) A.2個 B.4個 C.6個 D.8個 答案 B 解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}. ∴M∩N的子集共有22=4個. 6. 已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1

25、g4x<1},B={x|x≤2},則A∩B等于 (  ) A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2] 答案 D 解析 A={x|1<x<4},B={x|x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2}. 8.設(shè)全集U為整數(shù)集,集合A={x∈N|y=},B={x∈Z|- 1

26、所以其真子集有:?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7個. 二、填空題 9. 已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B?A,則a=__________. 答案 -1或2 解析 由a2-a+1=3,得a=-1或a=2,經(jīng)檢驗符合.由a2-a+1=a,得a=1,由于集合中不能有相同元素,所以舍去.故a=-1或2. 10.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},則A∩B=__________. 答案 {(0,1),(-1,2)} 解析 A、B都表示點集,A∩B即是由A中在直線x

27、+y-1=0上的所有點組成的集合,代入驗證即可. 11.(2013天津改編)已知集合A={x||x|≤2},B={x|x≤1},則A∩B=________. 答案 {x|-2≤x≤1} 解析 易知A={x|-2≤x≤2},∴A∩B={x|-2≤x≤1}. 12.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a

28、 1. 設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},則滿足S?A且S∩B≠?的集合S的個數(shù)是(  ) A.57 B.56 C.49 D.8 答案 B 解析 集合S的個數(shù)為26-23=64-8=56. 2. 已知集合M={x|≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},則M∩N等于(  ) A.? B.{x|x≥1} C.{x|x>1} D.{x|x≥1或x<0} 答案 C 解析 由≥0,得 ∴x>1或x≤0, ∴M={x|x>1或x≤0},N={y|y≥1}, M∩N={x|x>1}. 3.

29、已知U={x∈Z|y=ln},M={x∈Z||x-4|≤1},N={x∈N|∈Z},則集合{4,5}等于 (  ) A.M∩N B.M∩(?UN) C.N∩(?UM) D.(?UM)∪(?UN) 答案 B 解析 集合U為函數(shù)y=ln的定義域內(nèi)的整數(shù)集, 由-1>0,即>0,解得0

30、集合N是使為整數(shù)的自然數(shù)集合, 顯然當x=1時,=6; 當x=2時,=3; 當x=3時,=2; 當x=6時,=1. 所以N={1,2,3,6}. 顯然M?U,N?U. 而4∈M,4∈U,4?N,5∈M,5∈U,5?N, 所以4∈M,4∈?UN,5∈M,5∈?UN, 即{4,5}=M∩(?UN). 4. 已知U={y|y=log2x,x>1},P={y|y=,x>2},則?UP=________. 答案  解析 ∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0}, P={y|y=,x>2}={y|0

31、=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A?B,則實數(shù)c的取值范圍是________. 答案 [1,+∞) 解析  A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0, c), 因為A?B,畫出數(shù)軸,如右圖所示,得c≥1. 6. 已知集合A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1},若集合A∩B只有一個真子集,則實數(shù)a的取值范圍是________. 答案 (1,+∞) 解析 由于集合B中的元素是指數(shù)函數(shù)y=bx的圖象向上平移一個單位長度后得到的函數(shù)圖象上的所有點,要使集合A∩B只有一個真子集,那么y=bx+1(b>0,b≠1)與y=a的圖象只能有一個交點,所以實數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).

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