高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第三章 3.2

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1、 精品資料 3.2　同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式 1． 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α. 2． 下列各角的終邊與角α的終邊的關(guān)系 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α 圖示 與角α終邊的關(guān)系 相同 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于x軸對(duì)稱 角 π－α －α ＋α 圖示 與角α終邊的關(guān)系 關(guān)于y軸對(duì)稱 關(guān)于直線y＝x對(duì)稱 3． 六組誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(

2、k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α 口訣 函數(shù)名不變 符號(hào)看象限 函數(shù)名改變 符號(hào)看象限  1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角． (　　) (2)六組誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角． (

3、　　) (3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，則cos θ＝. (　　) (4)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈[，π]，則m<－5或m≥3. (　　) (5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，則tan θ的值為－或－. (　　) (6)已知tan α＝－，則的值是－. (　√　) 2． 已知sin(π－α)＝log8，且α∈(－，0)，則tan(2π－α)的值為 (　　) A．－ B． C． D． 答案　B 解析　sin(π－α)＝sin α＝log8＝－， 又α∈(－，0)， 得cos α

4、＝＝， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α ＝－＝. 3． 若tan α＝2，則的值為________． 答案　 解析　原式＝＝. 4． 已知cos＝，則sin＝________. 答案　－ 解析　sin＝sin ＝－sin ＝－cos＝－. 5． 已知函數(shù)f(x)＝則f[f(2 015)]＝________. 答案?。? 解析　∵f[f(2 015)]＝f(2 015－15)＝f(2 000)， ∴f(2 000)＝2cos＝2cos π＝－1. 題型一　同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用 例1　(1)已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，則tan

5、 x＝________. (2)已知tan θ＝2，則sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于 (　　) A．－ B． C．－ D． 思維啟迪　(1)應(yīng)用平方關(guān)系求出sin x，可得tan x； (2)把所求的代數(shù)式中的弦轉(zhuǎn)化為正切，代入可求． 答案　(1)　(2)D 解析　(1)∵cos(π＋x)＝－cos x＝，∴cos x＝－. 又x∈(π，2π)， ∴sin x＝－＝－＝－， ∴tan x＝＝. (2)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝ ＝＝＝＝. 思維升華　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的

6、正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化． (2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個(gè)式子，利用(sin αcos α)2＝12sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 　(1)已知＝－，那么的值是 (　　) A． B．－ C．2 D．－2 (2)已知tan θ＝2，則sin θcos θ＝________. 答案　(1)A　(2) 解析　(1)由于＝

7、＝－1， 故＝. (2)sin θcos θ＝ ＝＝＝. 題型二　誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 例2　(1)已知cos＝，求cos的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)tan的值． 思維啟迪　(1)將＋α看作一個(gè)整體，觀察＋α與－α的關(guān)系． (2)先化簡已知，求出cos α的值，然后化簡結(jié)論并代入求值． 解　(1)∵＋＝π， ∴－α＝π－. ∴cos＝cos ＝－cos＝－， 即cos＝－. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝. ∴sin(3π＋α)tan ＝sin(

8、π＋α) ＝sin αtan ＝sin α ＝sin α＝cos α＝. 思維升華　熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．另外，切化弦是常用的規(guī)律技巧． 　(1)已知sin＝，則cos的值為________． (2)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，則tan2(π－α)＝________. 答案　(1)－　(2)－ 解析　(1)cos＝cos ＝－sin＝－. (2)∵方程5x2－7x－6＝0的根為－或2， 又α是第三象限角，∴sin α＝－， ∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝＝， ∴原式＝tan2

9、α＝－tan2α＝－. 題型三　三角函數(shù)式的求值與化簡 例3　(1)已知tan α＝，求的值； (2)化簡：. 思維啟迪　三角函數(shù)式的化簡與求值，都是按照從繁到簡的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要認(rèn)真觀察式子的規(guī)律，使用恰當(dāng)?shù)墓剑? 解　(1)因?yàn)閠an α＝， 所以＝ ＝＝. (2)原式＝ ＝＝＝－1. 思維升華　在三角函數(shù)式的求值與化簡中，要注意尋找式子中的角，函數(shù)式子的特點(diǎn)和聯(lián)系，可以切化弦，約分或抵消，減少函數(shù)種類，對(duì)式子進(jìn)行化簡． 　(1)若α為三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sin α＋cos α＝，則這個(gè)三角形是(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形

10、 D．鈍角三角形 (2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0， 則＝________. 答案　(1)D　(2)－ 解析　(1)∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝， ∴sin αcos α＝－<0，∴α為鈍角．故選D. (2)原式＝＝sin α， ∵tan α＝2>0，∴α為第一象限角或第三象限角． 又sin α＋cos α<0，∴α為第三象限角， 由tan α＝＝2， 得sin α＝2cos α代入sin2α＋cos2α＝1， 解得sin α＝－. 方程思想在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用 典例：(4分)已知sin θ＋cos

11、 θ＝，θ∈(0，π)，則tan θ＝________. 思維啟迪　利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，尋求sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ和sin θcos θ的關(guān)系． 規(guī)范解答 解析　方法一　因?yàn)閟in θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)， 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 所以sin θcos θ＝－. 由根與系數(shù)的關(guān)系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的兩根， 所以x1＝，x2＝－. 因?yàn)棣取?0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝，cos θ＝－. 所以tan θ＝＝－. 方法二　同法一，得

12、sin θcos θ＝－， 所以＝－. 弦化切，得＝－， 即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－或tan θ＝－. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0. 所以θ∈(，)，所以tan θ＝－. 方法三　解方程組得， 或(舍)．故tan θ＝－. 答案　－ 溫馨提醒　三種解法均體現(xiàn)了方程思想在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用．利用已知條件sin θ＋cos θ＝和公式sin2θ＋cos2θ＝1可列方程組解得sin θcos θ，sin θ－cos θ，也可以利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求sin θ、cos θ.各解法中

13、均要注意條件θ∈(0，π)的運(yùn)用，謹(jǐn)防產(chǎn)生增解. 方法與技巧 同角三角恒等變形是三角恒等變形的基礎(chǔ)，主要是變名、變式． 1． 同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響，尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時(shí)，進(jìn)行開方時(shí)要根據(jù)角的象限或范圍，判斷符號(hào)后，正確取舍． 2． 三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡時(shí)，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝化成正弦、余弦函數(shù)；(2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sin θcos θ)2＝12 sin θcos θ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化；(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin

14、2θ＝tan＝…. 失誤與防范 1． 利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳． 特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定． 2． 在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào)． 3． 注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化．  A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1． α是第四象限角，tan α＝－，則sin α等于 (　　) A． B．－ C． D．－ 答案　D 解析　∵tan α＝＝－，∴cos α＝－sin α， 又sin2α＋cos2

15、α＝1， ∴sin2α＋sin2α＝sin2α＝1. 又sin α<0，∴sin α＝－. 2． 已知α和β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且β＝－，則sin α等于 (　　) A．－ B． C．－ D． 答案　D 解析　因?yàn)棣梁挺碌慕K邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sin α＝. 3． 已知sin(π－α)＝－2sin(＋α)，則sin αcos α等于 (　　) A． B．－ C．或－ D．－ 答案　B 解析　由sin(π－α)＝－2sin(＋α)得si

16、n α＝－2cos α， 所以tan α＝－2， ∴sin αcos α＝＝＝－，故選B. 4． 已知f(α)＝，則f的值為 (　　) A． B．－ C. D．－ 答案　A 解析　∵f(α)＝＝cos α， ∴f＝cos ＝cos＝cos ＝. 5． 已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是 (　　) A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2} 答案　C 解析　當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)， A＝＋＝2； 當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)， A＝＋＝－2. 故A

17、的值構(gòu)成的集合為{－2,2}． 二、填空題 6． 化簡：＝________. 答案?。? 解析　原式＝－＝－＝－1. 7． 如果cos α＝，且α是第一象限的角，那么cos(α＋)＝________. 答案　 解析　∵cos α＝，α為第一象限角， ∴sin α＝＝ ＝， ∴cos(α＋)＝sin α＝. 8． 化簡：＝________. 答案　1 解析　原式＝＝＝1. 三、解答題 9． 已知sin θ＝，<θ<π. (1)求tan θ的值； (2)求的值． 解　(1)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝. 又<θ<π，∴cos θ＝－. ∴tan

18、 θ＝＝－. (2)由(1)知，＝＝－. 10．已知sin θ，cos θ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個(gè)根，求cos3(－θ)＋sin3(－θ)的值． 解　由已知原方程的判別式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0， ∴a≥4或a≤0. 又，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 則a2－2a－1＝0，從而a＝1－或a＝1＋(舍去)， 因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－. ∴cos3(－θ)＋sin3(－θ)＝sin3θ＋cos3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ) ＝(1－)[1

19、－(1－)]＝－2. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：30分鐘) 1． 已知sin θ＝－，θ∈(－，)，則sin(θ－5π)sin(π－θ)的值是 (　　) A． B．－ C．－ D． 答案　B 解析　∵sin θ＝－，θ∈(－，)， ∴cos θ＝＝. ∴原式＝－sin(π－θ)(－cos θ)＝sin θcos θ ＝－＝－. 2． 當(dāng)0

20、1， y＝＝≥＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)t＝1－t，即t＝時(shí)等號(hào)成立． 3． 已知cos＝a (|a|≤1)，則cos＋sin的值是________． 答案　0 解析　cos＝cos ＝－cos＝－a. sin＝sin＝cos＝a， ∴cos＋sin＝0. 4． 已知f(x)＝(n∈Z)． (1)化簡f(x)的表達(dá)式； (2)求f()＋f()的值． 解　(1)當(dāng)n為偶數(shù)，即n＝2k(k∈Z)時(shí)， f(x)＝ ＝ ＝ ＝sin2x； 當(dāng)n為奇數(shù)，即n＝2k＋1(k∈Z)時(shí)， f(x)＝ ＝ ＝ ＝ ＝sin2x， 綜上得f(x)＝sin2x. (2)由(1)

21、得f()＋f() ＝sin2＋sin2 ＝sin2＋sin2(－) ＝sin2＋cos2＝1. 5． 已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. (1)求sin Acos A的值； (2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形； (3)求tan A的值． 解　(1)∵sin A＋cos A＝， ① ∴兩邊平方得1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－. (2)由sin Acos A＝－<0，且00，cos A<0，∴sin A－cos A>0， ∴sin A－cos A＝. ② ∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－， ∴tan A＝＝＝－.