《高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第十一章】統(tǒng)計(jì)與概率 第8講二項(xiàng)分布與正態(tài)分布》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第十一章】統(tǒng)計(jì)與概率 第8講二項(xiàng)分布與正態(tài)分布(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料
第8講 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布
一、選擇題
1.甲、乙兩地都位于長(zhǎng)江下游,根據(jù)天氣預(yù)報(bào)的紀(jì)錄知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,兩市同時(shí)下雨占12%.則甲市為雨天,乙市也為雨天的概率為( )
A.0.6 B.0.7
C.0.8 D.0.66
解析 甲市為雨天記為事件A,乙市為雨天記為事件B,則P(A)=0.2,P(B)=0.18,
P(AB)=0.12,
∴P(B|A)===0.6.
答案 A
2、2. 投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次,記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B,則事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是( )
A. B. C. D.
解析 本題涉及古典概型概率的計(jì)算.本知識(shí)點(diǎn)在考綱中為B級(jí)要求.由題意得P(A)=,P(B)=,則事件A,B至少有一件發(fā)生的概率是1-P()·P()=1-×=.
答案 C
3.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率,則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是 ( ).
3、
A.[0.4,1] B.(0,0.4]
C.(0,0.6] D.[0.6,1]
解析 設(shè)事件A發(fā)生的概率為p,則Cp(1-p)3≤Cp2(1-p)2,解得p≥0.4,故選A.
答案 A
4.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1),則c等于( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ∵μ=2,由正態(tài)分布的定義,知其函數(shù)圖象關(guān)于x=2對(duì)稱,于是=2,∴c=2.
答案 B
5.在正態(tài)分布N中,數(shù)值前在(-∞,-1)∪(1,+∞)內(nèi)的概率為( ).
A.0.097
4、B.0.046 C.0.03 D.0.0026
解析 ∵μ=0,σ=
∴P(X<1或x>1)=1-P(-1≤x≤1)=1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=1-0.997 4=0.002 6.
答案 D
6.已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)=·e-(x∈R,i=1,2,3)的圖象如圖所示,則 ( ).
A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3
B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3
D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
解析 正態(tài)分布密度函數(shù)φ2(x)和φ3(x)的圖象都是關(guān)于同一條直線對(duì)稱
5、,所以其平均數(shù)相同,故μ2=μ3,又φ2(x)的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值比φ1(x)的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值大,故有μ1<μ2=μ3.又σ越大,曲線越“矮胖”,σ越小,曲線越“瘦高”,由圖象可知,正態(tài)分布密度函數(shù)φ1(x)和φ2(x)的圖象一樣“瘦高”,φ3(x)明顯“矮胖”,從而可知σ1=σ2<σ3.
答案 D
二、填空題
7.三支球隊(duì)中,甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.4,乙隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為0.5,丙隊(duì)勝甲隊(duì)的概率為0.6,比賽順序是:第一局是甲隊(duì)對(duì)乙隊(duì),第二局是第一局的勝者對(duì)丙隊(duì),第三局是第二局勝者對(duì)第一局的敗者,第四局是第三局勝者對(duì)第二局?jǐn)≌?,則乙隊(duì)連勝四局的概率為________.
解析 設(shè)乙隊(duì)連勝
6、四局為事件A,有下列情況:第一局中乙勝甲(A1),其概率為1-0.4=0.6;第二局中乙勝丙(A2),其概率為0.5;第三局中乙勝甲(A3),其概率為0.6;第四局中乙勝丙(A4),其概率為0.50,因各局比賽中的事件相互獨(dú)立,故乙隊(duì)連勝四局的概率為:P(A)=P(A1A2A3A4)=0.62×0.52=0.09.
答案 0.09
8.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),如果P(X≤1)=0.8413,則P(-1<X<0)=________.
解析 ∵P(X≤1)=0.841 3,
∴P(X>1)=1-P(X≤1)=1-0.841 3=0.158 7.
7、
∵X~N(0,1),∴μ=0.
∴P(X<-1)=P(X>1)=0.158 7,
∴P(-1<X<1)=1-P(X<-1)-P(X>1)=0.682 6.
∴P(-1<X<0)=P(-1<X<1)=0.341 3.
答案 0.341 3
9.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),記Ф(x)=P(ξ<x),給出下列結(jié)論:
①Φ(0)=0.5;
②Φ(x)=1-Φ(-x);
③P(|ξ|<2)=2Φ(2)-1.
則正確結(jié)論的序號(hào)是________.
答案 ①②③
10.商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)的某種包裝大米的質(zhì)量(單位:kg)服從
8、正態(tài)分布X~N(10,0.12),任選一袋這種大米,質(zhì)量在9.8~10.2 kg的概率是________.
解析 P(9.8<X<10.2)=P(10-0.2<X<10+0.2)=0.954 4.
答案 0.954 4
三、解答題
11.設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X~N(110,202),且知試卷滿分150分,這個(gè)班的學(xué)生共54人,求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù).
解 由題意得μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),
∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)
9、+P(X-μ>σ)
=2P(X-μ<-σ)+0.682 6=1,
∴P(X-μ<-σ)=0.158 7,
∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158 7=0.841 3.
∴54×0.841 3≈45(人),即及格人數(shù)約為45人.
∵P(X≥130)=P(X-110≥20)=P(X-μ≥σ),
∴P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)
=0.682 6+2P(X-μ≥σ)=1,
∴P(X-μ≥σ)=0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人),
即130分以上的人數(shù)約為9人.
12.在
10、某市組織的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中全體參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(60,100),已知成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有13人.
(1)求此次參加競(jìng)賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人?
(2)若計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前228名的學(xué)生,問受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是多少?
解 設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量X,X~N(60,100).
則μ=60,σ=10.
(1)P(30<X≤90)=P(60-3×10<X≤60+3×10)=0.997 4.
∴P(X>90)=[1-P(30<X≤90)]=0.001 3
∴學(xué)生總數(shù)為:=10 000(人).
(2)成績(jī)排在前228名的學(xué)生數(shù)占總數(shù)的0.022 8.
11、
設(shè)分?jǐn)?shù)線為x.
則P(X≥x0)=0.022 8.
∴P(120-x0<x<x0)=1-2×0.022 8=0.954 4.
又知P(60-2×10<x<60+2×10)=0.954 4.
∴x0=60+2×10=80(分).
13.某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.
一次購(gòu)物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顧客數(shù)(人)
x
30
25
y
10
結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)
1
1.5
2
2.5
3
12、
已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55 %.
(1)確定x,y的值,并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(2)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率.(注:將頻率視為概率)
解 (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體,所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,將頻率視為概率得
P(X=1)==,P(X=1.5)==,P(X=2)==,P(X=2.5)==,P(X
13、=3)==.
X的分布列為
X
1
1.5
2
2.5
3
P
X的數(shù)學(xué)期望為
E(X)=1×+1.5×+2×+2.5×+3×=1.9.
(2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘”,Xi(i=1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間,則
P(A)=P(X1=1且X2=1)+P(X1=1且X2=1.5)+P(X1=1.5且X2=1).
由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,且X1,X2的分布列都與X的分布列相同,所以
P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+P(X1=1)×
14、P(X2=1.5)+P(X1=1.5)×P(X2=1)
=×+×+×=.
故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率為.
14.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶,某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.
(1)求該射手恰好命中一次的概率;
(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
解 (1)記:“該射手恰好命中一次”為事件A,“該射手射擊甲靶命中”為事件B,“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C,
15、“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D.
由題意,知P(B)=,P(C)=P(D)=,
由于A=B +C+ D,
根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性,得
P(A)=P(B +C+ D)
=P(B )+P(C)+P( D)
=P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D)
=××+××+××
=.
(2)根據(jù)題意,知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性,得
P(X=0)=P( )
=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)]
=××=;
P(X=1
16、)=P(B )=P(B)P()P()
=××=;
P(X=2)=P( C+ D)=P( C)+P( D)
=××+××=;
P(X=3)=P(BC+BD)=P(BC)+P(BD)
=××+××=;
P(X=4)=P(CD)=××=,
P(X=5)=P(BCD)=××=.
故X的分布列為
X
0
1
2
3
4
5
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.