全國(guó)通用高考數(shù)學(xué) 二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題6 三角變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)含解析

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1、 【走向高考】(全國(guó)通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題6 三角變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一、選擇題 1.(20xx·河南八市質(zhì)檢)已知sin-cos α=,則2sin αcos=(  ) A.- B. C.- D. [答案] B [解析] 2sin αcos=2sin α =sin 2α-=sin-, 又由于sin-cos α=sin α+cos α-cos α =sin α-cos α=sin=, 又sin=cos=cos =1-2sin2=1-=, 所以2sinαcos=-=. [方法點(diǎn)撥] 1.已知條件為

2、角α的終邊過某點(diǎn)時(shí),直接運(yùn)用三角函數(shù)定義求解;已知條件為角α的終邊在某條直線上,在直線取一點(diǎn)后用定義求解;已知sinα、cosα、tanα中的一個(gè)值求其他值時(shí),直接運(yùn)用同角關(guān)系公式求解,能用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn). 2.已知tanα求sinα與cosα的齊次式的值時(shí),將分子分母同除以cosnα化“切”代入,所求式為整式時(shí),視分母為1,用1=sin2α+cos2α代換. 3.sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ知一求其他值時(shí),利用關(guān)系(sinθ±cosθ)2=1±2cosθcosθ.要特別注意利用平方關(guān)系巧解題.已知某三角函數(shù)式的值,求另一三角函數(shù)式的值

3、時(shí),關(guān)鍵是分析找出兩三角函數(shù)式的聯(lián)系恰當(dāng)化簡(jiǎn)變形,再代入計(jì)算. 2.(文)(20xx·洛陽市期末)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)A(-,a),若點(diǎn)A在拋物線y=-x2的準(zhǔn)線上,則sin α=(  ) A.- B. C.- D. [答案] D [解析] 由已知得拋物線的準(zhǔn)線方程為y=1,故A(-,1),所以sinα=. (理)(20xx·山東理,3)要得到函數(shù)y=sin的圖象,只需將函數(shù)y=sin 4x的圖象(  ) A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位 C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位 [答案] B [解析] 因?yàn)閥=sin(4x-)=sin[4(

4、x-)]所以要得到y(tǒng)=sin[4(x-)]的圖象,只需將函數(shù)y=sin 4x的圖象向右平移個(gè)單位.故選B. 3.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的圖象如圖所示,為了得到g(x)=sin3x的圖象,則只要將f(x)的圖象(  ) A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 [答案] B [解析] 由題知,函數(shù)f(x)的周期 T=4(-)=, 所以=, 解得ω=3,易知A=1, 所以f(x)=sin(3x+φ). 又f(x)=sin(3x+φ)過點(diǎn)(,-1), 所以

5、sin(3×+φ)=-1, 所以3×+φ=2kπ+π,k∈Z, 所以φ=2kπ+,k∈Z,又|φ|<, 所以φ=, 所以f(x)=sin(3x+)=sin[3(x+)], 所以將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)g(x)=sin3x的圖象,故選B. [方法點(diǎn)撥] 1.已知正弦型(或余弦型)函數(shù)的圖象求其解析式時(shí),用待定系數(shù)法求解.由圖中的最大值或最小值確定A,再由周期確定ω,由圖象上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)來確定φ,只有限定φ的取值范圍,才能得出唯一解,否則φ的值不確定,解析式也就不唯一. 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式時(shí),要注意選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)法”中的哪一個(gè)

6、點(diǎn).“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx0+φ=0+2kπ(k∈Z),其他依次類推即可. 2.解答有關(guān)平移伸縮變換的題目時(shí),向左(或右)平移m個(gè)單位時(shí),用x+m(或x-m)代替x,向下(或上)平移n個(gè)單位時(shí),用y+n(或y-n)代替y,橫(或縱)坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來的k倍,用代替x(或代替y),即可獲解. 4.(文)已知α∈R,sinα+2cosα=,則tan2α=(  ) A. B. C.- D.- [答案] C [解析] 本題考查三角函數(shù)同角間的基本關(guān)系. 將sinα+2cosα=兩邊平方可得, sin2α+4sinαcosα+4cos2α=, ∴4sinαc

7、osα+3cos2α=. 將左邊分子分母同除以cos2α得, =,解得tanα=3或tanα=-, ∴tan2α==-. (理)(20xx·唐山市一模)已知2sin2α=1+cos2α,則tan2α=(  ) A.- B. C.-或0 D.或0 [答案] D [解析] ∵,∴或 ∴tan2α=0或tan2α=. 5.(20xx·安徽理,10)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均為正的常數(shù))的最小正周期為π,當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,則下列結(jié)論正確的是(  ) A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(

8、-2) C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2) [答案] A [解析] 考查三角函數(shù)的圖象與應(yīng)用及函數(shù)值的大小比較. 解法1:由題意, f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ>0),T===π,所以ω=2,則f(x)=Asin(2x+φ),而當(dāng)x=時(shí),2×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,所以f(x)=Asin(2x+)(A>0),則當(dāng)2x+=+2nπ,n∈Z,即x=+nπ,時(shí),n∈Z,f(x)取得最大值.要比較f(2),f(-2),f(0)的大小,只需判斷2,-2,0與最近的最高點(diǎn)處對(duì)稱軸

9、的距離大小,距離越大,值越小,易知0,2與比較近,-2與-比較近,所以,當(dāng)k=0時(shí),x=,此時(shí)|0-|=0.52,|2-|=1.47,當(dāng)k=-1時(shí),x=-,此時(shí)|-2-(-)|=0.6,所以f(2)<f(-2)<f(0),故選A. 解法2:∵f(x)的最小正周期為π,且在x=時(shí)f(x)取最小值,∴在x=-=時(shí)取到最大值f(-2)=f(-2+π),∵f(x)在[,]上單調(diào)遞減,∴f(π-2)>f(2),即f(-2)>f(2),又π-2->-0,f(x)圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=,∴f(π-2)<f(0),即f(-2)<f(0), ∴f(2)<f

10、(-2)<f(0). 6.(文)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,它的最小正周期為π,則函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(  ) A.(,1) B.(,0) C.(,0) D.(-,0) [答案] B [解析] 由題意知T=π,∴ω=2, 由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,得2×+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z). 又|φ|<,∴φ=-, ∴f(x)=Asin(2x-), 令2x-=kπ(k∈Z),則x=+π(k∈Z). ∴一個(gè)對(duì)稱中心為(,0),故選B. (理)已知函數(shù)f

11、(x)=cosxsin2x,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(  ) A.f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù) B.f(x)最大值是1 C.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱 D.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱 [答案] B [解析] f(-x)=cos(-x)sin2(-x)=cosxsin2x=f(x),∴f(x)為偶函數(shù).f(x+2π)=cos(x+2π)sin2(x+2π)=cosxsin2x,∴2π是f(x)一個(gè)周期,故A選項(xiàng)正確.f(x)=cosxsin2x=-cos3x+cosx,令t=cosx則t∈[-1,1],g(t)=-t3+t,g′(t)=-3t2+1 令g′(t)=0,則t=

12、±,易知f(x)在區(qū)間[-1,-)上單調(diào)遞減,在(-,)上單調(diào)遞增,在(,1]上單調(diào)遞減,g(-1)=0,g()=,∴g(t)max=≠1,故B項(xiàng)錯(cuò)誤. 7.(文)給出下列四個(gè)命題: ①f(x)=sin(2x-)的對(duì)稱軸為x=+,k∈Z; ②函數(shù)f(x)=sinx+cosx最大值為2; ③函數(shù)f(x)=sinxcosx-1的周期為2π; ④函數(shù)f(x)=sin(x+)在[-,]上是增函數(shù). 其中正確命題的個(gè)數(shù)是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] B [解析] ①由2x-=kπ+,k∈Z, 得x=+(k∈Z), 即f(x)=sin(2x-)的對(duì)稱

13、軸為x=+,k∈Z,正確; ②由f(x)=sinx+cosx=2sin(x+)知, 函數(shù)的最大值為2,正確; ③f(x)=sinxcosx-1=sin2x-1,函數(shù)的周期為π,故③錯(cuò)誤; ④函數(shù)f(x)=sin(x+)的圖象是由f(x)=sinx的圖象向左平移個(gè)單位得到的,故④錯(cuò)誤. (理)若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(+t)=f(-t),且f()=-3,則實(shí)數(shù)m的值等于(  ) A.-1 B.±5 C.-5或-1 D.5或1 [答案] C [解析] 依題意得,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,于是x=時(shí),函數(shù)f(x)取得最值,因此有&

14、#177;2+m=-3,∴m=-5或m=-1,選C. 8.(文)在△ABC中,若tanAtanB=tanA+tanB+1,則cosC的值是(  ) A.- B. C. D.- [答案] B [解析] 由tanA·tanB=tanA+tanB+1,可得=-1,即tan(A+B)=-1,所以A+B=,則C=,cosC=,故選B. (理)(20xx·新課標(biāo)Ⅰ理,8)設(shè)α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,則(  ) A.3α-β= B.3α+β= C.2α-β= D.2α+β= [答案] C [解析] 本題考查了誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換.運(yùn)用驗(yàn)證法.

15、 解法1:當(dāng)2α-β=時(shí),β=2α-, 所以===tanα. 解法2:∵tanα==, ∴sin(α-β)=cosα=sin(-α), ∵α、β∈(0,),∴α-β∈(-,),-α∈(0,),∴α-β=-α,∴2α-β=. 9.(20xx·石家莊市二模)在平面直角坐標(biāo)系中,角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊過點(diǎn)P,則sin=(  ) A. B.- C. D.- [答案] A [解析] 由于角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(sin,cos),即P(cos,sin), ∴α=2kπ+,k∈Z. ∴sin(2α-)=sin(4kπ+-) =sin=,故選A.

16、10.(文)(20xx·河南六市聯(lián)考) 函數(shù)y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù),該函數(shù)的部分圖象如圖所示,A、B分別為最高點(diǎn)與最低點(diǎn),并且兩點(diǎn)間的距離為2,則該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為(  ) A.x= B.x= C.x=1 D.x=2 [答案] C [解析] ∵y=cos(ωx+φ)為奇函數(shù), ∴其圖象過原點(diǎn),∴cosφ=0, ∵0<φ<π,∴φ=, ∴y=cos(ωx+)=-sinωx,設(shè)周期為T,則由條件知()2+[1-(-1)]2=(2)2, ∴T=4. ∴ω==, ∴函數(shù)為y=-sin(x). 令x=kπ+

17、(k∈Z)得x=2k+1,∴x=1為其一條對(duì)稱軸. (理)(20xx·陜西理,3)如圖,某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin+k.據(jù)此函數(shù)可知,這段時(shí)間水深(單位:m)的最大值為(  ) A.5 B.6 C.8 D.10 [答案] C [解析] 由圖象知,最小值為2,∴-3+k=2,∴k=5, ∴最大值為3+k=8.故選C. 二、填空題 11.(20xx·葫蘆島市一模)已知函數(shù)f(x)=cosx·sin-cos2x+,x∈R則f(x)在閉區(qū)間上的最大值和最小值分別為________. [答案] 、- [解析] f(x

18、)=sinxcosx+cos2x-cos2x+=sin2x-(cos2x+1)+=sin,當(dāng)x∈時(shí),2x-∈, ∴sin∈. ∴f(x)∈. 12.(文)(20xx·陜西文,13)設(shè)0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(1,-cosθ),若a·b=0,則tanθ=________. [答案]  [解析] 本題考查向量垂直、向量坐標(biāo)運(yùn)算等. ∵a·b=0,∴sin2θ-cos2θ=0,即cosθ(2sinθ-cosθ)=0. 又0<θ<,∴cosθ≠0, ∴2sinθ=cosθ,∴tanθ=. (理)如果兩個(gè)函數(shù)

19、的圖象平移后能夠重合,那么稱這兩個(gè)函數(shù)為“互為生成”函數(shù).給出下列四個(gè)函數(shù): ①f(x)=sinx+cosx; ②f(x)=(sinx+cosx); ③f(x)=sinx; ④f(x)=sinx+. 其中為“互為生成”函數(shù)的是________(填序號(hào)). [答案]?、佗? [解析] 首先化簡(jiǎn)題中的四個(gè)解析式可得:①f(x)=sin(x+),②f(x)=2sin(x+),③f(x)=sinx,④f(x)=sinx+,可知③f(x)=sinx的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合,單純經(jīng)過平移不能完成,必須經(jīng)過伸縮變換才能實(shí)現(xiàn),所以③f(x)=sinx不能與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù),同理①f

20、(x)=sin(x+)的圖象與②f(x)=2sin(x+)的圖象也必須經(jīng)過伸縮變換才能重合,而④f(x)=sinx+的圖象向左平移個(gè)單位,再向下平移個(gè)單位即可得到①f(x)=sin(x+)的圖象,所以①④為“互為生成”函數(shù). 三、解答題 13.(文)(20xx·甘肅三診)已知f(x)=sinωx-2sin2(ω>0)的最小正周期為3π. (1)當(dāng)x∈[,]時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值; (2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(A-C),求sinA的值. [解析] ∵f(x)=sin(ωx)-2· =sin(ωx)+cos(ωx)

21、-1=2sin(ωx+)-1, 由=3π得ω=,∴f(x)=2sin(x+)-1. (1)由≤x≤得≤x+≤, ∴當(dāng)sin(x+)=時(shí),f(x)min=2×-1=-1. (2)由f(C)=2sin(C+)-1及f(C)=1,得 sin(C+)=1, 而≤C+≤, 所以C+=,解得C=. 在Rt△ABC中,∵A+B=, 2sin2B=cosB+cos(A-C), ∴2cos2A-sinA-sinA=0, ∴sin2A+sinA-1=0,解得sinA=. ∵0<sinA<1,∴sinA=. (理)已知函數(shù)f(x)=(2cos2 x-1)sin2x+co

22、s 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值; (2)若α∈,且f(α)=,求α的值. [解析] (1)因?yàn)閒(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x =cos2xsin2x+cos4x =(sin4x+cos4x) =sin(4x+) 所以f(x)的最小正周期為,最大值為. (2)因?yàn)閒(α)=,所以sin(4α+)=1. 因?yàn)棣痢?,π), 所以4α+∈(,), 所以4α+=,故α=. 14.已知函數(shù)f(x)=2sin(x+)cos(x+)-2cos2(x+)+1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. [解析] 

23、(1)∵f(x)=2sin(x+)cos(x+)-2cos2(x+)+1 =sin(2x+)-cos(2x+) =[sin(2x+)·cos-cos(2x+)·sin] =sin[(2x+)-] =sin(2x+). ∴f(x)的最小正周期T==π. (2)由(1)可知f(x)=sin(2x+). 當(dāng)-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z), 即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)時(shí), 函數(shù)f(x)=sin(2x+)是增函數(shù), ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-,kπ+](k∈Z). [方法點(diǎn)撥] 1.解答三角函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、周期性、最值等)問題時(shí),通常是

24、利用三角函數(shù)的有關(guān)公式,通過將三角函數(shù)化為只含一個(gè)函數(shù)名稱且角度唯一,最高次數(shù)為一次(一角一函)的形式,再依正(余)弦型函數(shù)依次對(duì)所求問題作出解答. 2.求三角函數(shù)的最值的方法: (1)化為正弦(余弦)型函數(shù) y=asinωx+bcosωx型引入輔助角化為一角一函. (2)化為關(guān)于sinx(或cosx)的二次函數(shù). 15.設(shè)函數(shù)f(x)=2cos2x+2sinxcosx+m(x∈R). (1)化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的表達(dá)式,并求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)若x∈[0,],是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)f(x)的值域恰為[,]?若存在,請(qǐng)求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. [解析] (1

25、)∵f(x)=2cos2x+2sinxcosx+m=1+cos2x+sin2x+m=2sin(2x+)+m+1, ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=π. (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,符合題意. ∵x∈[0,],∴≤2x+≤, 則sin(2x+)∈[-,1], ∴f(x)=2sin(2x+)+m+1∈[m,3+m]. 又∵f(x)的值域?yàn)閇,],解得m=. ∴存在實(shí)數(shù)m=,使函數(shù)f(x)的值域恰為[,]. [方法點(diǎn)撥] 1.求值題一般先將三角函數(shù)式化簡(jiǎn),再求值. 2.討論三角函數(shù)的性質(zhì)(求單調(diào)區(qū)間、求最值、求周期等)的題目,一般先運(yùn)用三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式,再依據(jù)正弦型或余弦型函數(shù)的性質(zhì)

26、進(jìn)行討論. 3.三角變換的基本策略:(1)1的變換;(2)切化弦;(3)升降次;(4)引入輔助角;(5)角的變換與項(xiàng)的分拆. 16.(文)(20xx·廣東文,16)已知tan α=2. (1)求tan的值; (2)求的值. [分析] 考查:1.兩角和的正切公式;2.特殊角的三角函數(shù)值;3.二倍角的正、余弦公式;4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系. (1)由兩角和的正切公式展開,代入數(shù)值,即可得tan的值;(2)先利用二倍角的正、余弦公式變形,然后化切求解. [解析] (1) tan= ===-3, (2) = = = = =1. (理)(20xx·福

27、建文,21)已知函數(shù)f(x)=10sin cos +10cos2. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象,且函數(shù)g(x)的最大值為2. (ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式; (ⅱ)證明:存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)>0. [解析] (1)因?yàn)閒(x)=10sincos+10cos2 =5sin x+5cos x+5 =10sin+5. 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π. (2)(i)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=10sin x+5的

28、圖象,再向下平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g(x)=10sin x+5-a的圖象. 又已知函數(shù)g(x)的最大值為2,所以10+5-a=2,解得a=13. 所以g(x)=10sin x-8. (ii)要證明存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)>0,就是要證明存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得10sin x0-8>0,即sin x0>. 由<知,存在0<α0<,使得sin α0=. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x∈(α0,π-α0)時(shí),均有sin x>. 因?yàn)閥=sin x的周期為2π,所以當(dāng)x∈(2kπ+α0,2kπ+π-α0)(k∈Z)時(shí),均有sin x>. 因?yàn)閷?duì)任意的整數(shù)k,(2kπ+π-α0)-(2kπ+α0)=π-2α0>>1, 所以對(duì)任意的正整數(shù)k,都存在正整數(shù)xk∈(2kπ+α0,2kπ+π-α0),使得sin xk>. 即,存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)>0.

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