全國通用高考數(shù)學(xué) 二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題29 坐標(biāo)系與參數(shù)方程含解析
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1、 【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題29 坐標(biāo)系與參數(shù)方程(含解析) 一、填空題 1.(20xx北京理,11)在極坐標(biāo)系中,點到直線ρ(cos θ+sin θ)=6的距離為________. [答案] 1 [解析] 考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化;點到直線距離. 先把點極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)(1,),再把直線的極坐標(biāo)方程ρ=6化為直角坐標(biāo)方程x+y-6=0,利用點到直線距離公式d==1. 2.(20xx湖南理,11)在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線l與曲線C:(α為參數(shù))交于A,B兩點,且|AB|=2.以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸
2、為極軸建立極坐標(biāo)系,則直線l的極坐標(biāo)方程是________. [答案] ρsin(θ-)=- [解析] 曲線C的普通方程為(x-2)2+(y-1)2=1,設(shè)直線l的方程為y=x+b,因為弦長|AB|=2,所以直線l過圓心(2,1),所以直線l的方程為y=x-1,化為極坐標(biāo)方程為ρsinθ=ρcosθ-1,即ρsin(θ-)=-. 3.在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù),a>b>0),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,直線l 與圓O的極坐標(biāo)方程分別為ρsin(θ+)=m(m為非零常數(shù))與ρ=b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點
3、,且與圓O相切,則橢圓C的離心率為________. [答案] [解析] 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),直線l的普通方程為x+y-m=0,圓O的普通方程為=b,即x2+y2=b2. 若l過右焦點(c,0),則c-m=0且=b,∴c=b,c2=2b2,c2=2(a2-c2) ∴=,同理l過左焦點(-c,0)時,也求得e=. 4.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點M的極坐標(biāo)為(4,),曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),則點M到曲線C上的點的距離的最小值為________. [答案] 5- [解析] 依題意,點M的直角坐標(biāo)是(4,4),
4、曲線C:(x-1)2+y2=2,圓心C(1,0),|CM|==5>,因此所求的距離的最小值是5-. 5.(20xx湖北理,16)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),l與C相交于A,B兩點,則|AB|=________. [答案] 2 [解析] 考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程,參數(shù)方程與普通方程的互化及兩點間的距離公式. 由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系可得直線l的直角坐標(biāo)方程為y=3x;① 由曲線C的參數(shù)方程可得其直角坐標(biāo)方程為y2-x2=4;② 聯(lián)立①②可解得直線l與曲
5、線C的交點坐標(biāo)A(,), B(-,-)或A(-,-),B(,), 因此可解得|AB|=2. 故本題正確答案為2. 二、解答題 6.(文)(20xx福建理,21)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負(fù)半軸為極軸)中,直線l的方程為ρsin =m(m∈R). (1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2,求m的值. [解析] 考查1.參數(shù)方程和普通方程的互化;2.極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化;3.點到直線距離公式. (1)將圓的參數(shù)方程通過移項
6、平方消去參數(shù)得(x-1)2+(y+2)2=9,利用x=ρcos θ,y=ρsin θ, 將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)利用點到直線距離公式求解. (1)消去參數(shù)t,得到圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=9, 由ρsin(θ-)=m,得ρsin θ-ρcos θ-m=0, 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+m=0. (2)依題意,圓心C到直線l的距離等于2, 即=2, 解得m=-32. (理)(20xx太原市模擬)已知平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點P(-1,-2)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極
7、坐標(biāo)方程為ρsinθtanθ=2a(a>0),直線l與曲線C相交于不同的兩點M,N. (1)求曲線C和直線l的普通方程; (2)若|PM|=|MN|,求實數(shù)a的值. [解析] (1)∵(t為參數(shù)). ∴直線l的普通方程為x-y-1=0, ∵ρsinθtanθ=2a,∴ρ2sin2θ=2aρcosθ, 由得曲線C的普通方程為y2=2ax; (2)∵y2=2ax,∴x≥0,設(shè)直線l上點M,N對應(yīng)的參數(shù)分別是t1,t2(t1>0,t2>0),則|PM|=t1,|PN|=t2, ∵|PM|=|MN|,∴|PM|=|PN|,∴t2=2t1, 將代入y2=2ax得t2-2(a+2)t+4
8、(a+2)=0, ∴ 又∵t2=2t1,∴a=. 7.(文)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C方程為(φ為參數(shù)). (1)求過橢圓的右焦點,且與直線m:(t為參數(shù))平行的直線l的普通方程. (2)求橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積的最大值. [分析] (1)由直線l與直線m平行可得l的斜率,將橢圓C的方程消參可得普通方程求出焦點坐標(biāo)(也可直接由參數(shù)方程求)可得l方程. (2)用參數(shù)方程表示面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值求解. [解析] (1)由C的參數(shù)方程可知,a=5,b=3,∴c=4, ∴右焦點F2(4,0),將直線m的參數(shù)方程化為普通方程:x-2y+2=0,所以k=,于是所求直線方程為
9、x-2y-4=0. (2)由橢圓的對稱性,取橢圓在第一象限部分(令0≤φ≤),則S=4|xy|=60sinφcosφ=30sin2φ,∴當(dāng)2φ=時,Smax=30, 即矩形面積的最大值為30. (理)在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),直線l與拋物線y2=4x相交于A、B兩點,求線段AB的長. [解析] 解法1:將l的方程化為普通方程得l:x+y=3, ∴y=-x+3,代入拋物線方程y2=4x并整理得x2-10x+9=0,∴x1=1,x2=9. ∴交點A(1,2),B(9,-6), 故|AB|==8. 解法2:將l的參數(shù)方程代入y2=4x中得, (2+t
10、)2=4(1-t), 解之得t1=0,t2=-8, ∴|AB|=|t1-t2|=8. 8.(20xx商丘市二模)已知極坐標(biāo)系的極點在直角坐標(biāo)系的原點處,極軸與x軸的正半軸重合,直線l的極坐標(biāo)方程為:ρsin=,曲線C的參數(shù)方程為: (1)寫出直線l的直角坐標(biāo)方程; (2)求曲線C上的點到直線l的距離的最大值. [解析] (1)∵ρsin=, ∴ρ=, ∴y-x=,即l:x-y+1=0. (2)解法一:由已知可得,曲線上的點的坐標(biāo)為(2+2cosα,2sinα), 所以,曲線C上的點到直線l的距離 d==≤. 所以最大距離為. 解法二:曲線C為以(2,0)為圓心,2為半
11、徑的圓.圓心到直線的距離為, 所以,最大距離為+2=. 9.(文)(20xx唐山市二模)在極坐標(biāo)系中,曲線C:ρ=2acosθ(a>0),l:ρcos=,C與l有且僅有一個公共點. (1)求a; (2)O為極點,A,B為C上的兩點,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值. [解析] (1)曲線C是以(a,0)為圓心,以a為半徑的圓; l的直角坐標(biāo)方程為x+y-3=0. 由直線l與圓C相切可得=a,解得a=1. (2)不妨設(shè)A的極角為θ,B的極角為θ+, 則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos =3cosθ-sinθ=2cos, 當(dāng)θ=-時,|OA|+|OB|取得最
12、大值2. (理)(20xx石家莊市一模)已知曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2. (1)分別寫出C1的普通方程,C2的直角坐標(biāo)方程. (2)已知M,N分別為曲線C1的上、下頂點,點P為曲線C2上任意一點,求|PM|+|PN|的最大值. [解析] (1)曲線C1的普通方程為+=1, 曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4. (2)法一:由曲線C2:x2+y2=4,可得其參數(shù)方程為,所以P點坐標(biāo)為(2cosα,2sinα),由題意可知M(0,),N(0,-). 因此|PM|+|PN|=+ =+ (|P
13、M|+|PN|)2=14+2. 所以當(dāng)sinα=0時,(|PM|+|PN|)2有最大值28, 因此|PM|+|PN|的最大值為2. 法二:設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y),則x2+y2=4, 由題意可知M(0,),N(0,-). 因此|PM|+|PN|=+ =+ (|PM|+|PN|)2=14+2. 所以當(dāng)y=0時,(|PM|+|PN|)2有最大值28, 因此|PM|+|PN|的最大值為2. 10.(文)(20xx新課標(biāo)Ⅰ理,23)已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù)). (1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程; (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線,交l于點
14、A,求|PA|的最大值與最小值. [解析] (1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)) 直線l的普通方程為:2x+y-6=0. (2)曲線C上任意一點P(2cosθ,3sinθ)到l的距離為 d=|4cosθ+3sinθ-6|. 則|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角,且tanα=. 當(dāng)sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為. 當(dāng)sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為. (理)(20xx太原市一模)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(其中θ為參數(shù)),點M是曲線C1上的動點,點P在曲線C2上,且滿足=2. (1)求曲線C2的普通方
15、程; (2)以原點O為原點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線θ=與曲線C1、C2分別交于A、B兩點,求|AB|. [解析] (1)設(shè)P(x,y),M(x′,y′), ∵=2,∴ ∵點M在曲線C1上,∴ ∴(x′-1)2+y′2=3, 將x′=,y′=代入得, 曲線C2的普通方程為(x-2)2+y2=12; (2)∵曲線C1的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=3, ∴曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ-2=0, 將θ=代入得ρ=2,∴A的極坐標(biāo)為, 曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ-8=0, 將θ=代入得ρ=4,∴B的極坐標(biāo)為, ∴|AB|=4-2=2
16、. 11.(文)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C1的參數(shù)方程為(a>b>0,φ為參數(shù)),以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓,已知曲線C1上的點M(2,)對應(yīng)的參數(shù)φ=,θ=與曲線C2交于點D(,) (1)求曲線C1、C2的方程; (2)A(ρ1,θ),Β(ρ2,θ+)是曲線C1上的兩點,求+的值. [解析] (1)將M(2,)及對應(yīng)的參數(shù)φ=,代入得 所以所以C1的方程為+=1. 設(shè)圓C2的半徑R,則圓C2的方程為:ρ=2Rcosθ,將點D(,)代入得R=1, ∴圓C2的方程為:ρ=2cosθ(或(x-1)2+y2=1). (2)曲線C1
17、的極坐標(biāo)方程為:+=1,將A(ρ1,θ),Β(ρ2,θ+)代入得:+=1,+=1 所以+=(+)+(+)=+= 即+的值為. (理)在直角坐標(biāo)系xOy中,過點P(,)作傾斜角為α的直線l與曲線C:x2+y2=1相交于不同的兩點M、N. (1)寫出直線l的參數(shù)方程; (2)求+的取值范圍. [解析] (1)(t為參數(shù)). (2)將(t為參數(shù))代入x2+y2=1中,消去x,y得,t2+(cosα+3sinα)t+2=0, 由Δ=(cosα+3sinα)2-8=12sin2(α+)-8>0 ?sin(α+)>, +=+=- = =sin(α+)∈(,]. [方法點撥] 1.
18、在將參數(shù)方程化為普通方程時,為消去參數(shù),常用的方法是加、減消元、代入消元、平方相加等,要注意觀察參數(shù)方程特點,選擇恰當(dāng)?shù)南ǎ? 2.在橢圓的參數(shù)方程(φ為參數(shù))中,可直接求得c=;在圓的參數(shù)方程(α為參數(shù))中可直接由參數(shù)方程得圓心(x0,y0),半徑r;在直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))中,也可以直接得到直線的斜率k=. 3.給出曲線的極坐標(biāo)方程,討論曲線的位置關(guān)系或求相交弦等,一般先化為直角坐標(biāo)方程再求解. 4.一般地給出極坐標(biāo)方程,求兩曲線交點的極坐標(biāo),可先化為直角坐標(biāo)方程,求出交點的直角坐標(biāo),再化為極坐標(biāo). 5.在參數(shù)方程(t為參數(shù))中,設(shè)M(x0,y0),N(x,y),則MN=t,|MN|=|t|.(其中MN表示有向線段的數(shù)量)
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