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課時作業(yè)(二十四) 直線與圓的位置關系
A組 基礎鞏固
1.圓心為(3,0)且與直線x＋y＝0相切的圓的方程為( )
A．(x－)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3
C．(x－)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9
解析：本題考查直線與圓相切的性質(zhì)．由題意知所求圓的半徑r＝＝，故所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝3，故選B.
答案：B
2.若直線y＝x＋a與圓x2＋y2＝1相切，則a的值為( )
A. B．
C．1 D．1
解析：本題考查利用直線與圓相切求參數(shù)的值．由題意得＝1，所以a＝，故選B.
答案：B
2、
3.若點P(2，－1)為圓C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程為( )
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0
解析：本題考查垂徑定理和直線的方程．圓心是點C(1,0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直線AB過點P，所以直線AB的方程為x－y－3＝0，故選D.
答案：D
4.已知點A是圓C：x2＋y2＋ax＋4y＋10＝0上任意一點，點A關于直線x＋2y－1＝0的對稱點也在圓C上，則實數(shù)a的值為( )
A．10 B．－10
C．－4 D．4
解析：本題考查圓的方程及對稱性質(zhì)．通過配方可得圓C
3、的標準方程為(x＋)2＋(y＋2)2＝，由題意，可知直線x＋2y－1＝0過圓心C(－，－2)，∴－－4－1＝0，∴a＝－10.又a＝－10時，＞0，∴a的值為－10，故選B.
答案：B
5.已知a，b∈R，a2＋b2≠0，則直線l：ax＋by＝0與圓x2＋y2＋ax＋by＝0的位置關系是( )
A．相交 B．相切
C．相離 D．不能確定
解析：本題考查直線與圓的位置關系．聯(lián)立，化簡得x2＋y2＝0，則，即直線l與圓只有一個公共點(0,0)，因此它們相切，故選B.
答案：B
6.已知圓P：x2＋y2－4x＋2y＋c＝0與y軸交于A，B兩點，若∠APB＝90，則c的值為( )
4、
A．－3 B．3
C．8 D．－2
解析：本題考查直線和圓的位置關系．配方得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，所以圓心是點P(2，－1)，半徑r＝，點P到y(tǒng)軸的距離為2.當∠APB＝90時，△APB是等腰直角三角形，所以＝，得c＝－3，故選A.
答案：A
7.若直線l：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦長最短，則k＝__________.
解析：本題考查圓的性質(zhì)應用．因為直線l：y＝kx＋1過定點(0,1)，且此點在圓C的內(nèi)部，所以當點(0,1)與圓心C的連線與直線l垂直時，截得的弦長最短．又圓C的方程可化為(x－1)2＋y2＝4，所以C(1,0)，所以＝
5、－1，所以k＝1.
答案：1
8.自圓外一點P作圓x2＋y2＝1的兩條切線PM，PN(M，N為切點)，若∠MPN＝90，則動點P的軌跡方程是__________．
解析：本題考查軌跡方程的求法．由題意知四邊形OMPN是正方形，所以|OP|＝，于是點P的軌跡是圓心在原點，半徑為的圓，其方程是x2＋y2＝2.
答案：x2＋y2＝2
9.若圓x2＋y2＝4上有且只有四個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是__________．
解析：本題考查直線與圓的位置關系．因為圓的半徑為2，且圓上有且僅有四個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，即圓心到直線的距離小于1，所
6、以＜1，解得－13＜c＜13.
答案：(－13,13)
10.已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．
(2)點P在直線l：2x－4y＋3＝0上，過點P作圓C的切線，切點記為M，求使|PM|最小的點P的坐標．
解析：(1)將圓C的方程整理，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
①當切線在兩坐標軸上的截距為零時，設切線方程為y＝kx，
則＝，解得k＝2，
從而切線方程為y＝(2)x.
②當切線在兩坐標軸上的截距不為零時，設切線方程為x＋y－a＝0，則＝，解得a＝－1或3，
從而切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝
7、0.
綜上，切線方程為(2＋)x－y＝0或(2－)x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
(2)因為圓心C(－1,2)到直線l的距離d＝＝＞＝r，所以直線l與圓C相離．
當|PM|取最小值時，|CP|取得最小值，此時CP⊥直線l.
所以直線CP的方程為2x＋y＝0.
解方程組，得點P的坐標為(－，)．
B組 能力提升
11.若直線l1：＋＝1與圓C：x2＋y2－2ax－2by＝0的兩交點關于直線l2：2x－y＝6對稱，則圓心坐標為( )
A．(4,2) B．(－4，－2)
C．(2,4) D．(－2，－4)
解析：本題考查圓的對稱性及兩直線垂直的條件．如圖，
8、由題意知圓心C(a，b)在直線l2上，所以2a－b＝6?、?，又知l1⊥l2，所以(－)2＝－1?、冢?lián)立①②，解得a＝4，b＝2，故選A.
答案：A
12．曲線y＝1＋與直線y＝k(x－2)＋4有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：由y＝1＋得x2＋(y－1)2＝4(y≥1)．如圖所示為半圓．
而直線y＝k(x－2)＋4恒過點(2,4)．設A(－2,1)，B(2,1)，P(2,4)．
所以，當斜率k滿足kPM
9、線3x－y＝0上，且被直線x－y＝0所截弦長為2的圓的方程．
解析：因為圓心C在直線3x－y＝0上，設圓心坐標為C(a,3a)，所以圓心到直線x－y＝0的距離為.
又圓與x軸相切，則圓半徑r＝3|a|.
故設圓的方程為(x－a)2＋(y－3a)2＝9a2 ，直線x－y＝0與圓的交點為A1、A2，且線段A1A2中點為A，則|A1A|＝.
在Rt△CA1A中，由勾股定理得
()2＋()2＝(3|a|)2，解得a＝1，r2＝9.
∴所求圓的方程為
(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.
14．已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB是圓C：x2＋y
10、2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點．
(1)求四邊形PACB面積的最小值；
(2)直線上是否存在點P，使∠BPA＝60，若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．
解析：(1)如圖，連接PC，由P點在直線3x＋4y＋8＝0上，可設P點坐標為(x，－2－x)．
所以S四邊形PACB＝2S△PAC＝2|AP||AC|＝|AP|.
因為|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以當|PC|2最小時，|AP|最?。驗閨PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋x)2＝(x＋1)2＋9.所以當x＝－時，|PC|＝9.所以|AP|min＝＝2.即四邊形PACB面積的最小值為2.
(2)由(1)知圓心C到P點距離3為C到直線上點的最小值，若∠APB＝60易得需PC＝2，這是不可能的，所以這樣的點P是不存在的．
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