2020版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義:第七章 第一節(jié) 不等關(guān)系與一元二次不等式 Word版含答案

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1、 第七章第七章 不等式、推理與證明不等式、推理與證明 全國卷全國卷5年考情圖解年考情圖解 高考命題規(guī)律把握高考命題規(guī)律把握 1.高考在本章一般命制高考在本章一般命制 12 個(gè)小題, 分值個(gè)小題, 分值 510 分分 2.主要考查一元二次不等式的解法, 常與集合主要考查一元二次不等式的解法, 常與集合相結(jié)合,簡單的線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的相結(jié)合,簡單的線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值、范圍問題最值、范圍問題;或由最值求參數(shù)、或考查;或由最值求參數(shù)、或考查非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題 3.基本不等式一般不單獨(dú)考查、 有時(shí)在解三角基本不等式一般不單獨(dú)考查、 有時(shí)在解三角形、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、解

2、析幾何等問題中會(huì)用到形、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、解析幾何等問題中會(huì)用到基本不等式求最值基本不等式求最值(或范圍或范圍) 4.對(duì)演繹推理、 直接證明與間接證明以及數(shù)學(xué)對(duì)演繹推理、 直接證明與間接證明以及數(shù)學(xué)歸納法的考查,單獨(dú)命題的可能性不大,但歸納法的考查,單獨(dú)命題的可能性不大,但其思想也會(huì)滲透到解題之中其思想也會(huì)滲透到解題之中. 第一節(jié)第一節(jié)不等關(guān)系與一元二次不等式不等關(guān)系與一元二次不等式 1兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù) (1)ab0ab. (2)ab0ab. (3)ab0ab. 2不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì) (1)對(duì)稱性:對(duì)稱性:abba; (2)傳遞性:傳遞性:ab,bcac; (3)可

3、加性:可加性:abacbc;ab,cdacbd; (4)可乘性:可乘性:ab,c0acbc; ab0,cd0acbd; (5)可乘方性:可乘方性:ab0anbn(nN,n1); (6)可開方性:可開方性:ab0na nb(nN,n2) 3一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系 判別式判別式 b24ac 0 0 0 二次函數(shù)二次函數(shù) yax2bxc(a0)的圖象的圖象 一元二次方程一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根的根 有兩相異實(shí)數(shù)根有兩相異實(shí)數(shù)根 x1,x2(x1x2) 有兩相等實(shí)數(shù)根有兩相等實(shí)數(shù)根 x1x2b2a 沒有實(shí)數(shù)

4、根沒有實(shí)數(shù)根 一元二次不等式一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集的解集 x|xx1或或 xx2 x| xb2a R 一元二次不等式一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集的解集 x|x1xx2 由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問題的方法由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問題的方法, 1 一元二次一元二次不等式不等式 ax2bxc0 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立恒成立 a0, b24ac0. 2 一元二次不等式一元二次不等式 ax2bxc0 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立恒成立 a0, b24ac0. 熟記常用結(jié)論熟記常用結(jié)論 1倒

5、數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)必備結(jié)論倒數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)必備結(jié)論 (1)ab,ab01a1b. (2)a0b1a1b. (3)ab0,0cdacbd. (4)0axb 或或 axb01b1x1a. 2兩個(gè)重要不等式兩個(gè)重要不等式 若若 ab0,m0,則,則 (1)babmam;babmam(bm0) (2)abambm;abambm(bm0) 小題查驗(yàn)基礎(chǔ)小題查驗(yàn)基礎(chǔ) 一、判斷題一、判斷題(對(duì)的打?qū)Φ拇颉啊保e(cuò)的打,錯(cuò)的打“”“”) (1)兩個(gè)實(shí)數(shù)兩個(gè)實(shí)數(shù) a,b 之間,有且只有之間,有且只有 ab,ab,ab 三種關(guān)系中的一種三種關(guān)系中的一種( ) (2)一個(gè)不等式的兩邊同時(shí)加上或乘同一個(gè)數(shù),不等號(hào)方向不變一個(gè)不

6、等式的兩邊同時(shí)加上或乘同一個(gè)數(shù),不等號(hào)方向不變( ) (3)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大,則其倒數(shù)就越小一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大,則其倒數(shù)就越小( ) (4)若不等式若不等式 ax2bxc0 的解集為的解集為(x1,x2),則必有,則必有 a0.( ) (5)若方程若方程 ax2bxc0(a0)沒有實(shí)數(shù)根,則不等式?jīng)]有實(shí)數(shù)根,則不等式 ax2bxc0 的解集為的解集為 R.( ) 答案答案:(1) (2) (3) (4) (5) 二、選填題二、選填題 1設(shè)設(shè) A(x3)2,B(x2)(x4),則,則 A 與與 B 的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為( ) AAB BAB CAB DAB 解析:解析:選選 B 因?yàn)橐驗(yàn)?AB

7、(x26x9)(x26x8)10,所以,所以 AB.故選故選 B. 2若若 ab0,則下列不等式不能成立的是,則下列不等式不能成立的是( ) A.1ab1a B.1a1b C|a|b| Da2b2 解析:解析:選選 A 取取 a2,b1,則,則1ab1a不成立不成立 3函數(shù)函數(shù) f(x) 3xx2的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)? ) A0,3 B(0,3) C(,03,) D(,0)(3,) 解析:解析: 選選 A 要使函數(shù)要使函數(shù) f(x) 3xx2有意義, 則有意義, 則 3xx20, 即, 即 x23x0, 解得解得 0 x3. 4若集合若集合 Ax|ax2ax10 ,則實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù) a 的取值范

8、圍是的取值范圍是_ 解析:解析:當(dāng)當(dāng) a0 時(shí),滿足條件;當(dāng)時(shí),滿足條件;當(dāng) a0 時(shí),由題意知時(shí),由題意知 a0 且且 a24a0,得,得 0a4,所以所以 0a4. 答案:答案:0,4 5若若 13,42,則,則 |的取值范圍是的取值范圍是_ 解析:解析:42,0|4,4| |0. 3|3. 答案答案:(3,3) 考點(diǎn)一考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)及應(yīng)用不等式的性質(zhì)及應(yīng)用基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān) 題組練透題組練透 1若若 ab0,cd0,則一定有,則一定有( ) A.adbc B.adbc C.acbd D.acbd 解析:解析:選選 B 因?yàn)橐驗(yàn)?cd0,所以,所以cd0, 所以所以1d1c0.又

9、又 ab0,所以,所以adbc, 所以所以adbc.故選故選 B. 2設(shè)設(shè) a,bR,則,則“(ab) a20”是是“ab”的的( ) A充分不必要條件充分不必要條件 B必要不充分條件必要不充分條件 C充要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析:解析:選選 A (ab) a20,則必有,則必有 ab0,即,即 ab;而;而 ab 時(shí),不能推出時(shí),不能推出(ab) a20,如,如 a0,b1,所以,所以“(ab) a20”是是“ab”的充分不必要條件的充分不必要條件 3若若 aln 22,bln 33,則,則 a_b(填填“”或或“”) 解析解析:易知:易知 a,b 都是

10、正數(shù),都是正數(shù),ba2ln 33ln 2log891,所以,所以 ba. 答案答案: 4已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an中,中,a10,q0,前,前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn,則,則S3a3與與S5a5的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為_ 解析:解析:當(dāng)當(dāng) q1 時(shí),時(shí),S3a33,S5a55,所以,所以S3a3S5a5. 當(dāng)當(dāng) q0 且且 q1 時(shí),時(shí), S3a3S5a5a1 1q3 a1q2 1q a1 1q5 a1q4 1q q2 1q3 1q5 q4 1q q1q40, 所以所以S3a3S5a5.綜上可知綜上可知S3a3S5a5. 答案:答案:S3a3S5a5 5已知已知1x4,2y3,則,則 xy

11、的取值范圍是的取值范圍是_,3x2y 的取值范圍是的取值范圍是_ 解析:解析:1x4,2y3,3y2, 4xy2. 由由1x4,2y3,得,得33x12,42y6, 13x2y18. 答案:答案:(4,2) (1,18) 名師微點(diǎn)名師微點(diǎn) 比較大小的方法比較大小的方法 (1)作差法,其步驟作差法,其步驟:作差:作差變形變形判斷差與判斷差與 0 的大小的大小得出結(jié)論得出結(jié)論 (2)作商法,其步驟:作商作商法,其步驟:作商變形變形判斷商與判斷商與 1 的大小的大小得出結(jié)論得出結(jié)論 (3)構(gòu)造函數(shù)法:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性比較大小構(gòu)造函數(shù)法:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性比較大小 (4)賦值法和排除法:

12、可以多次取特殊值,根據(jù)特殊值比較大小,從而得出結(jié)論賦值法和排除法:可以多次取特殊值,根據(jù)特殊值比較大小,從而得出結(jié)論 考點(diǎn)二一元二次不等式的解法考點(diǎn)二一元二次不等式的解法師生共研過關(guān)師生共研過關(guān) 典例精析典例精析 (1)解不等式:解不等式:x22x30; (2)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x) x22x,x0,x22x,x0,解不等式解不等式 f(x)3; (3)解關(guān)于解關(guān)于 x 的不等式的不等式 ax222xax(a0) 解解 (1)不等式兩邊同乘以不等式兩邊同乘以1,原不等式可化為,原不等式可化為 x22x30. 方程方程 x22x30 的解為的解為 x13,x21. 而而 yx22x3 的圖象

13、開口向上, 可得原不等式的圖象開口向上, 可得原不等式x22x30 的解集是的解集是x|3x1 (2)由題意得由題意得 x0,x22x3或或 x0,x22x3,解得解得 x1. 故原不等式的解集為故原不等式的解集為x|x1 (3)原不等式可化為原不等式可化為 ax2(a2)x20. 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí),原不等式化為時(shí),原不等式化為 x10,解得,解得 x1. 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí),原不等式化為時(shí),原不等式化為 x2a(x1)0. 當(dāng)當(dāng)2a1,即,即 a2 時(shí),解得時(shí),解得1x2a; 當(dāng)當(dāng)2a1,即,即 a2 時(shí),解得時(shí),解得 x1 滿足題意;滿足題意; 當(dāng)當(dāng)2a1,即,即2a0 時(shí),解得時(shí),解得2ax1

14、. 綜上所述,當(dāng)綜上所述,當(dāng) a0 時(shí),不等式的解集為時(shí),不等式的解集為x|x1; 當(dāng)當(dāng)2a0 時(shí),不等式的解集為時(shí),不等式的解集為 x 2ax1; 當(dāng)當(dāng) a2 時(shí),不等式的解集為時(shí),不等式的解集為1; 當(dāng)當(dāng) a2 時(shí),不等式的解集為時(shí),不等式的解集為 x 1x2a. 解題技法解題技法 1解一元二次不等解一元二次不等式的一般步驟式的一般步驟 2解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù)解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù) (1)對(duì)于對(duì)于 ax2bxc0(0)的形式:的形式: 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí),轉(zhuǎn)化為一次不等式時(shí),轉(zhuǎn)化為一次不等式 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí),轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式時(shí),轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為

15、正的形式 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí),直接求解時(shí),直接求解 (2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí),討論判別式當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí),討論判別式 與與 0 的關(guān)系的關(guān)系 (3)確定無根或一個(gè)根時(shí)可直接寫出解集,確定方程有兩個(gè)根時(shí),要討論兩根的大小關(guān)系,確定無根或一個(gè)根時(shí)可直接寫出解集,確定方程有兩個(gè)根時(shí),要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集形式從而確定解集形式 過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練 1不等式不等式 0 x2x24 的解集為的解集為_ 解析:解析:原不等式等價(jià)于原不等式等價(jià)于 x2x20,x2x24,即即 x2x20,x2x60, 即即 x2 x1 0, x3 x2 0,解得解得 x2或或x1,2x

16、3. 故原不等式的解集為故原不等式的解集為x|2x1 或或 2x3 答案:答案:2,1)(2,3 2求不等式求不等式 12x2axa2(aR)的解集的解集 解:解:原不等式可化為原不等式可化為 12x2axa20, 即即(4xa)(3xa)0,令,令(4xa)(3xa)0, 解得解得 x1a4,x2a3. 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí),不等式的解集為時(shí),不等式的解集為 ,a4 a3, ; 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí),不等式的解集為時(shí),不等式的解集為(,0)(0,); 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí),不等式的解集為時(shí),不等式的解集為 ,a3 a4, . 考點(diǎn)三一元二次不等式的恒成立問題考點(diǎn)三一元二次不等式的恒成立問題全析考法過關(guān)全析考法

17、過關(guān) 考法全析考法全析 考法考法(一一) 在在 R 上的恒成立問題上的恒成立問題 例例 1 若不等式若不等式(a2)x22(a2)x40 對(duì)一切對(duì)一切 xR 恒成立,則實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是( ) A(,2 B2,2 C(2,2 D(,2) 解析解析 當(dāng)當(dāng) a20,即,即 a2 時(shí),不等式為時(shí),不等式為40 對(duì)一切對(duì)一切 xR 恒成立恒成立 當(dāng)當(dāng) a2 時(shí),則時(shí),則 a20,4 a2 216 a2 0, 即即 a20,a24,解得解得2a2. 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是(2,2 答案答案 C 考法考法(二二) 在給定區(qū)間上的恒成立問題在給定區(qū)間上的恒成立問

18、題 例例 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)mx2mx1.若對(duì)于若對(duì)于 x1,3,f(x)m5 恒成立,求實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù) m 的取的取值范圍值范圍 解解 要使要使 f(x)m5 在在 x1,3上恒成立,上恒成立, 即即 mx2mxm60 在在 x1,3上恒成立上恒成立 有以下兩種方法:有以下兩種方法: 法一法一:令:令 g(x)mx2mxm6m x12234m6,x1,3 當(dāng)當(dāng) m0 時(shí),時(shí),g(x)在在1,3上是增函數(shù),上是增函數(shù), 所以所以 g(x)maxg(3),即,即 7m60, 所以所以 m67,所以,所以 0m67; 當(dāng)當(dāng) m0 時(shí),時(shí),60 恒成立;恒成立; 當(dāng)當(dāng) m0 時(shí),時(shí),g(

19、x)在在1,3上是減函數(shù),上是減函數(shù), 所以所以 g(x)maxg(1),即,即 m60, 所以所以 m6,所以,所以 m0. 綜上所述,實(shí)數(shù)綜上所述,實(shí)數(shù) m 的取值范圍是的取值范圍是 ,67. 法二法二:因?yàn)橐驗(yàn)?x2x1 x122340, 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?mx2mxm60,所以,所以 m6x2x1. 因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù) y6x2x16 x12234在在1,3上的最小值為上的最小值為67,所以只需,所以只需 m67即可即可 所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù) m 的取值范圍是的取值范圍是 ,67. 考法考法(三三) 給定參數(shù)范圍求給定參數(shù)范圍求 x 的范圍的恒成立問題的范圍的恒成立問題 例例 3 若對(duì)任意若對(duì)任

20、意 m1,1,函數(shù),函數(shù) f(x)x2(m4)x42m 的值恒大于零,求的值恒大于零,求 x 的取的取值范圍值范圍 解解 由由 f(x)x2(m4)x42m (x2)mx24x4, 令令 g(m)(x2)mx24x4. 由題意知在由題意知在1,1上,上,g(m)的值恒大于零,的值恒大于零, 所以所以 g 1 x2 1 x24x40,g 1 x2 x24x40, 解得解得 x1 或或 x3. 故故 x 的取值范圍為的取值范圍為(,1)(3,) 規(guī)律探求規(guī)律探求 看個(gè)性看個(gè)性 考法考法(一一)是一元二次不等式在是一元二次不等式在 R 上恒成立問題:上恒成立問題: 解決此類問題常利用一元二次不等式在

21、解決此類問題常利用一元二次不等式在 R 上恒成立的條件, 注意如果不等式上恒成立的條件, 注意如果不等式 ax2bxc0 恒成立,不要忽略恒成立,不要忽略 a0 時(shí)的情況時(shí)的情況 考法考法(二二)在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法:在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法: (1)若若 f(x)0 在集合在集合 A 中恒成立,即集合中恒成立,即集合 A 是不等式是不等式 f(x)0 的解集的子集,可的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含義求解參數(shù)的值以先求解集,再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍或范圍) (2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題,即轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題,即 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)閙,

22、n,則,則 f(x)a 恒成立恒成立f(x)mina,即,即 ma;f(x)a恒成立恒成立f(x)maxa,即,即 na. 考法考法(三三)給定參數(shù)范圍求給定參數(shù)范圍求 x 的范圍的恒成立問題求解方法:的范圍的恒成立問題求解方法: 解決此類問題一定要清楚選誰為主元,誰是參數(shù)一般情況下,知道誰的范圍,解決此類問題一定要清楚選誰為主元,誰是參數(shù)一般情況下,知道誰的范圍,就選誰當(dāng)主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù)即把變?cè)c參數(shù)交換位置,構(gòu)造以就選誰當(dāng)主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù)即把變?cè)c參數(shù)交換位置,構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù),根據(jù)原變量的取值范圍列式求解參數(shù)為變量的函數(shù),根據(jù)原變量的取值范圍列式求解 找共性

23、找共性 對(duì)于一元二次不等式恒成立問題,恒大于零就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定對(duì)于一元二次不等式恒成立問題,恒大于零就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在的區(qū)間上全部在 x 軸上軸上方,恒小于零就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間方,恒小于零就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在上全部在 x 軸下方另外,常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)求最值軸下方另外,常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)求最值. 過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練 1若不等式若不等式 x2mx10 對(duì)于任意對(duì)于任意 xm,m1都成立,則實(shí)數(shù)都成立,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是的取值范圍是 _ 解析:解析:由題意,得函數(shù)由題意,得函數(shù)

24、 f(x)x2mx1 在在m,m1上的最大值小于上的最大值小于 0,又拋物線,又拋物線 f(x)x2mx1 開口向上,開口向上, 所以只需所以只需 f m m2m210,f m1 m1 2m m1 10, 即即 2m210,2m23m0,解得解得22m0. 答案答案: 22,0 2函數(shù)函數(shù) f(x)x2ax3. (1)當(dāng)當(dāng) xR 時(shí),時(shí),f(x)a 恒成立,求實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍;的取值范圍; (2)當(dāng)當(dāng) x2,2時(shí),時(shí),f(x)a 恒成立,求實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍;的取值范圍; (3)當(dāng)當(dāng) a4,6時(shí),時(shí),f(x)0 恒成立,求實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù) x 的取值范圍的取

25、值范圍 解:解:(1)當(dāng)當(dāng) xR 時(shí),時(shí),x2ax3a0 恒成立,恒成立, 需需 a24(3a)0,即,即 a24a120,解得,解得6a2, 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是6,2 (2)對(duì)于任意對(duì)于任意 x2,2,f(x)0 恒成立恒成立 即即 x2ax3a0 對(duì)任意對(duì)任意 x2,2恒成立,令恒成立,令 g(x)x2ax3a. 則有則有0 或或 0,a22,g 2 73a0 或或 0,a22,g 2 7a0. 解解得得6a2,解,解得得 a ,解,解得得7a6. 綜上可知,實(shí)數(shù)綜上可知,實(shí)數(shù) a 的取值范圍為的取值范圍為7,2 (3)令令 h(a)xax23. 當(dāng)當(dāng) a4,6時(shí),時(shí),h(a)0 恒成立恒成立 只需只需 h 4 0,h 6 0,即即 x24x30,x26x30, 解得解得 x3 6或或 x3 6. 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) x 的取值范圍是的取值范圍是 (,3 63 6,)

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