精校版高中數(shù)學 1.4計數(shù)應用題導學案 蘇教版選修23

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1、最新精選優(yōu)質數(shù)學資料 最新精選優(yōu)質數(shù)學資料 1.4　計數(shù)應用題 學習目標 重點、難點 1．會利用計數(shù)原理解決分類和分步問題； 2．能用剔除法解決稍復雜的計數(shù)問題； 3．會用捆綁法解決相鄰問題； 4．會用插空法解決不相鄰問題. 重點：排列與組合數(shù)公式． 難點：排列與組合的區(qū)分及特殊問題的處理方法的靈活應用. 1．簡單計數(shù)問題的處理原則 解簡單計數(shù)問題，應遵循三大原則：先特殊后一般的原則；先選后排原則；先分類后分步的原則．分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是解決計數(shù)應用題的兩個基本原理． 預習交流1 你對“特殊”“一般”有怎樣的理解？試談談先特殊后一般的原則． 提

2、示：“特殊”指元素特殊或場所特殊或特殊條件限制；先特殊后一般原則是先考慮“特殊元素”“特殊位置”，再考慮一般元素或一般位置． 2．簡單的常見計數(shù)問題的解題策略 剔除：對有限制條件的問題，先以總體考慮，再把不符合條件的所有情況剔除． 捆綁：把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列． 插空：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間． 預習交流2 剔除、捆綁、插空主要是為了解決何種計數(shù)問題？ 提示：剔除主要用在有限

3、制條件的計數(shù)問題上，或問題的正面情況較多，而反面情況較少的計數(shù)問題上；捆綁主要用在相鄰問題上；插空用在不相鄰問題上． 在預習中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關注？請在下列表格中做個備忘吧！ 我的學困點 我的學疑點 一、剔除問題 四面體的頂點和各棱中點共有10個點，在其中取4個不共面的點，不同取法有__________種． 思路分析：在這10個點中，不共面的不易尋求，而共面的容易找，由10個點中取出4個點的組合數(shù)C減去4個點共面的個數(shù)即為所求． 答案：141 解析：如圖，從10個點中任取4個點有C種不同的取法，其中4個點共面的情形可分三類： 第一類

4、：4個點在四面體的同一個面內，有4C種； 第二類：4個點位于相對的棱上，即一條棱上三點與對棱的中點共面，有6種； 第三類：從6條棱的中點中取4個點時有3種共面． 綜上所述可知：不同的取法共有：C－(4C＋6＋3)＝141種． 從正方體的6個面中選取3個面，其中2個面不相鄰的選法共有多少種？ 解：聯(lián)想一空間模型，注意到“有兩個面不相鄰”即可從相對平行的平面入手正面構造，即有CC＝12種不同的選法，也可從反面入手剔除8個角上3個相鄰平面，即有C－C＝12種不同的選法． 利用剔除法要把不滿足條件的情況剔除干凈或把問題的全部情況考慮清楚，做到不重不漏． 二、捆綁問題(相鄰問題)

5、 從單詞“equation”中選取5個不同的字母排成一列，含有“qu”(其中“qu”相連且順序不變)的不同排列共有__________種． 思路分析：先將“qu”捆綁成一個元素，再從剩余的6個元素中取3個，再進行全排列． 答案：480 解析：先將“qu”捆綁成一個元素，再從剩余的6個元素中取3個元素，共有C種不同的取法，然后對取出的4個元素進行全排列，有A種方法，由于“qu”順序不變，根據(jù)分步計數(shù)原理共有CA＝480種不同排列． 停車站劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停車方法有多少種？ 解：將4個空車位視為一個元素，與8輛

6、車共9個元素進行排列，共有A＝362 880種不同的停車方法． 對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來看作一個元素與其他元素排列，然后再對相鄰元素之間進行排列． 三、插空問題(不相鄰問題) 7人站成一行，如果甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)是__________． 思路分析：先將除甲、乙兩人之外的5人排成一行，再對5個人之間的六個間隙插入甲、乙兩人． 答案：3 600 解析：先讓甲、乙之外的5人排成一行，有A種排法，再讓甲、乙兩人在每兩人之間及兩端的六個間隙中插入甲、乙兩人，有A種方法，故共有AA＝3 600種不同的排法． 晚會上有8個唱歌節(jié)目和

7、3個舞蹈節(jié)目，若3個舞蹈節(jié)目在節(jié)目單中都不相鄰，求不同的節(jié)目單的種數(shù)． 解：先排8個唱歌節(jié)目共有A種不同方法，然后從唱歌節(jié)目之間及兩端共有9個間隙中選3個，將3個舞蹈節(jié)目插入，有A種方法，由分步計數(shù)原理知，不同的節(jié)目單的種數(shù)為AA＝20 321 280. 解決不相鄰問題常用插空法，要先把不相鄰的元素抽出來，剩余的元素進行全排列，然后把抽出來的元素插入全排列時元素之間及兩端形成的空隙中，注意兩端也是“空隙”． 1．記者要為5名志愿者和他們幫助過的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不在兩端的排法有__________種． 答案：960 解析：5名志愿者先全排有A種，2位老人作

8、為一個元素插空，并且兩位老人左右有別，故共有ACA＝960種不同的排法． 2．由1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字且1,3都不與5相鄰的六位偶數(shù)有__________個． 答案：108 解析：插空法，先排2,4,6共有A種方法； 若1,3,5都不相鄰，則有A種方法，若1,3相鄰，則有AA種方法； ∴共有A(A＋AA)＝108種不同的排法． 3．某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的排法有__________種． 答案：1 008 解析：若丙排在10月1日，共有A

9、A＝240種不同的排法，若丁排在10月7日，共有AA＝240種不同的排法，若丙排在1日且丁排在7日，共有AA＝48種不同的排法，若不考慮丙丁的條件限制，共有AA＝1 440種不同的排法， ∴符合題意的排法的種數(shù)為1 440－240－240＋48＝1 008. 4．有11名外語翻譯人員，其中5名是英語譯員，4名是日語譯員，另外兩名英、日都精通，從中找出8人，使他們可以組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英語，另外4人翻譯日語，這兩個小組能同時工作，問這樣的8人名單可開出幾張？ 解：按英、日語都會的翻譯人員的參與情況，分成三類： 第1類，“英、日都會的翻譯人員”不參加，有CC種； 第2類，“英

10、、日都會的翻譯人員”有一人參加，該人可參加英語，也可參加日語，因而有(CCC＋CCC)種； 第3類，“英、日都會的翻譯人員”均參加，這時又分三種情況：兩人都譯英語，兩人都譯日語，一人譯英、一人譯日，因而有(CC＋CC＋CCC)種． 由分類計數(shù)原理知，可開出名單共有CC＋CCC＋CCC＋CC＋CC＋CCC＝185種． 5．7位同學站成一排合影留念， (1)其中甲不站排頭，乙不站排尾的排法有多少種？ (2)甲、乙和丙三位同學必須相鄰的排法共有多少種？ (3)甲、乙和丙三位同學都不能相鄰的排法共有多少種？ 解：(1)用剔除法：總排有A種，不符合條件的甲在排頭和乙在排尾的排法均為A，但這

11、兩種情況均包含了甲在排頭同時乙在排尾的情況共有A種． ∴甲不站排頭，乙不站排尾的排法有A－2A＋A＝3 720種． (2)用捆綁法：第一步，將甲、乙和丙三人“捆綁”成一個大元素與另外4人的排列為A種，第二步，“釋放”大元素，即甲、乙和丙在捆綁成的大元素內的排法有A種， ∴甲、乙和丙三位同學必須相鄰的排法共有AA＝720種． (3)用插空法：第一步，先排除甲、乙和丙之外的4人的全排列有A種排法，第二步，把甲、乙和丙三人插入前4人中間及兩端形成的5個空隙中，共有A種排法． ∴甲、乙和丙三位同學都不能相鄰的排法共有AA＝1 440種． 用精練的語言把你當堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領部分寫下來，并進行識記． 知識精華 技能要領 最新精選優(yōu)質數(shù)學資料