高考真題：理科數(shù)學(xué) 天津卷試卷含答案

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1、 普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷） 數(shù) 學(xué)（理工類） 第I卷 注意事項(xiàng)： 1、每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號. 2、本卷共8小題，每小題5分，共40分. 一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. （1）已知全集 ，集合 ，集合 ，則集合 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 試題分析：,所以，故選A. 考點(diǎn)：集合運(yùn)算. （2）設(shè)變量 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 （A）3 （B）4

2、 （C）18 （D）40 【答案】C 考點(diǎn)：線性規(guī)劃. （3）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為 （A） （B）6（C）14（D）18 【答案】B 【解析】 試題分析：模擬法：輸入； 不成立； 不成立 成立 輸出,故選B. 考點(diǎn)：程序框圖. （4）設(shè) ，則“ ”是“ ”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充要條件

3、（D）既不充分也不必要條件 【答案】A 考點(diǎn)：充分條件與必要條件. （5）如圖，在圓 中， 是弦 的三等分點(diǎn)，弦 分別經(jīng)過點(diǎn) .若 ，則線段 的長為 （A） （B）3 （C） （D） 【答案】A 【解析】 試題分析：由相交弦定理可知，，又因?yàn)槭窍业娜确贮c(diǎn)，所以，所以，故選A. 考點(diǎn)：相交弦定理. （6）已知雙曲線 的一條漸近線過點(diǎn) ，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為 （A） （B）（C）（D） 【答案】D 考點(diǎn)：1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì). （7）已知定義在 上的函

4、數(shù) （ 為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù)，記 ，則 的大小關(guān)系為 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以 所以，故選C. 考點(diǎn)：1.函數(shù)奇偶性；2.指數(shù)式、對數(shù)式的運(yùn)算. （8）已知函數(shù) 函數(shù) ，其中，若函數(shù) 恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 （A） （B） （C）（D） 【答案】D 【解析】 試題分析：由得， 所以， 即 ,所以恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程 有4個(gè)不同的解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個(gè)公共點(diǎn)，由圖象可知. 考點(diǎn)：1.求函數(shù)解析式；2.函數(shù)與方程；3.數(shù)形結(jié)合. 第II卷 注意事項(xiàng)： 1、用黑色墨水

5、的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上. 2、本卷共12小題，共計(jì)110分. 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. （9） 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) 是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 . 【答案】 【解析】 試題分析：是純度數(shù)，所以，即. 考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)相關(guān)定義；2.復(fù)數(shù)運(yùn)算. （10）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為 . 【答案】 【解析】 試題分析：由三視圖可知，該幾何體是中間為一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱，兩端是底面半徑為，高為的圓錐，所以該幾何體的體積. 考點(diǎn)：1.三視圖；2.旋轉(zhuǎn)體體積. （11

6、）曲線 與直線 所圍成的封閉圖形的面積為 . 【答案】 【解析】 試題分析：兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以它們所圍成的封閉圖形的面積 . 考點(diǎn)：定積分幾何意義. （12）在 的展開式中，的系數(shù)為 . 【答案】 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng). （13）在 中，內(nèi)角 所對的邊分別為 ，已知的面積為 ， 則的值為 . 【答案】 【解析】 試題分析：因?yàn)?，所以? 又，解方程組得，由余弦定理得 ，所以. 考點(diǎn)：1.同角三角函數(shù)關(guān)系；2.三角形面積公式；3.余弦定理. （14）在等腰梯形 中,已知 ,動點(diǎn) 和

7、 分別在線段 和 上,且, 則的最小值為 . 【答案】 【解析】 試題分析：因?yàn)?，? ，， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)的最小值為. 考點(diǎn)：1.向量的幾何運(yùn)算；2.向量的數(shù)量積；3.基本不等式. 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 15. （本小題滿分13分）已知函數(shù)， (I)求最小正周期； (II)求在區(qū)間上的最大值和最小值. 【答案】(I); (II) ,. 考點(diǎn)：1.兩角和與差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì). 16. （本小題滿分1

8、3分）為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運(yùn)動員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽. (I)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會”求事件A發(fā)生的概率； (II)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】(I) ; (II) 隨機(jī)變量的分布列為 【解析】 試題分析：(I)由古典概型計(jì)算公式直接計(jì)算即可； (II)先寫出隨機(jī)變量的所有可能值，求出其相應(yīng)的概率，

9、即可求概率分布列及期望. 試題解析：(I)由已知，有 所以事件發(fā)生的概率為. (II)隨機(jī)變量的所有可能取值為 所以隨機(jī)變量的分布列為 所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 考點(diǎn)：1.古典概型；2.互斥事件；3.離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望. 17. （本小題滿分13分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱,,, ,且點(diǎn)M和N分別為的中點(diǎn). (I)求證：； (II)求二面角的正弦值； (III)設(shè)E為棱上的點(diǎn)，若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段的長 【答案】(I)見解析； (II) ； (III) . 【解析】 試題分析：

10、以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(I)求出直線的方向向量與平面的法向量，兩個(gè)向量的乘積等于即可；(II)求出兩個(gè)平面的法向量，可計(jì)算兩個(gè)平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；(III) 設(shè)，代入線面角公式計(jì)算可解出的值，即可求出的長. 試題解析：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得， ，又因?yàn)榉謩e為和的中點(diǎn)，得. (I)證明：依題意，可得為平面的一個(gè)法向量，， 由此可得，，又因?yàn)橹本€平面，所以平面 (II)，設(shè)為平面的法向量，則 ，即，不妨設(shè)，可得， 設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，又，得 ，不妨設(shè)，可得 因此有，于是， 所以二面角的正弦值為. (III)依題意，

11、可設(shè)，其中，則，從而，又為平面的一個(gè)法向量，由已知得 ，整理得， 又因?yàn)?，解得? 所以線段的長為. 考點(diǎn)：1.直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)；2.二面角、直線與平面所成的角；3.空間向量的應(yīng)用. 18. （本小題滿分13分）已知數(shù)列滿足，且 成等差數(shù)列. (I)求q的值和的通項(xiàng)公式； (II)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【答案】(I) ; (II) . 【解析】 試題分析：(I)由得 先求出，分為奇數(shù)與偶數(shù)討論即可；(II)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法求和即可. 試題解析：(I) 由已知，有，即， 所以，又因?yàn)椋?，由，得? 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 所以的

12、通項(xiàng)公式為 考點(diǎn)：1.等差中項(xiàng)定義；2.等比數(shù)列及前項(xiàng)和公式.3.錯(cuò)位相減法. 19. （本小題滿分14分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓截得的線段的長為c，. (I)求直線FM的斜率； (II)求橢圓的方程； (III)設(shè)動點(diǎn)P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP（O為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍. 【答案】(I) ； (II) ；(III) . 【解析】 試題分析：(I) 由橢圓知識先求出的關(guān)系，設(shè)直線直線的方程為，求出圓心到直線的距離，由勾股定理可求斜率的值； (II)由(I)設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)

13、，由可求出，從而可求橢圓方程.(III)設(shè)出直線：，與橢圓方程聯(lián)立，求得，求出的范圍，即可求直線的斜率的取值范圍. 試題解析：(I) 由已知有，又由，可得，， 設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有 ，解得. (II)由(I)得橢圓方程為，直線的方程為，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去，整理得 ，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，可得的坐標(biāo)為，由，解得，所以橢圓方程為 (III)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，得，即,與橢圓方程聯(lián)立，消去，整理得，又由已知，得，解得 或， 設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得. ①當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得 ②當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得 綜上，直線的斜率

14、的取值范圍是 考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)；2.直線和圓的位置關(guān)系；3.一元二次不等式. 20. （本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中. (I)討論的單調(diào)性； (II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證：對于任意的正實(shí)數(shù)，都有； (III)若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)根，求證： 【答案】(I) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (II)見解析； (III)見解析. 試題解析：(I)由，可得，其中且， 下面分兩種情況討論： （1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)： 令，解得或， 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

15、 所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. (2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減. 所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (II)證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，即，則 由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對任意的正實(shí)數(shù)都有，即對任意的正實(shí)數(shù)，都有. (III)證明：不妨設(shè)，由(II)知，設(shè)方程的根為，可得 ，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又由(II)知可得. 類似的，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，當(dāng)， ，即對任意， 設(shè)方

16、程的根為，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且 考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式. 絕密★啟用前 普通高等學(xué)校招生全套統(tǒng)一考試（天津卷） 數(shù)學(xué)（理工類）參考解答 一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分40分。 （1）A （2）C （3）B （4）A （5）A （6）D （7）C （8）D 二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分30分。 （9）-2 （

17、10） （11） （12） （13）8 （14） 三、解答題 （15）本小題主要考查兩角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，三角函數(shù)的最小正周期、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識?？疾榛具\(yùn)算能力。滿分13分。 （I）解：由已知，有 = 所以，的最小正周期T= (II)解：因?yàn)樵趨^(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，，.所以，在區(qū)間上的最大值為，最小值為. （16）本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力.滿分13分.

18、（I）解：由已知，有 所以，事件A發(fā)生的概率為. （II）解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4. 所以，隨見變量的分布列為 1 2 3 4 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 （17）本小題主要考查直線與平面平行和垂直、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力。滿分13分. 如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得,,, ,. 又因?yàn)镸,N分別為和的中點(diǎn)， 得,. (I)證明：依題意，可得為平面的一個(gè)法向量. =.由此可

19、得=0，又因?yàn)橹本€平面，所以∥平面. （II）解：，.設(shè)為平面的法向量，則 即不妨設(shè)，可得. 設(shè)為平面DE 法向量，則又，得 不妨設(shè)z=1，可得. 因此有，于是. 所以，二面角的正弦值為。 （III）解：依題意，可設(shè)，其中，則，從而。又為平面的一個(gè)法向量，由已知，得 =，整理得，又因?yàn)椋獾? 所以，線段的長為. (18)本小題主要考查等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和公式、等差中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識。考查數(shù)列求和的基本方法、分類討論思想和運(yùn)算求解能力.滿分13分. （I）解：由已知，有，即，所以.又因?yàn)?，故，由，?

20、 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. 所以，的通項(xiàng)公式為 （II）解：由（I）得.設(shè)的前n項(xiàng)和為，則 ， ， 上述兩式相減，得 ， 整理得，. 所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，. （19）本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程和圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、一元二次不等式等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究 曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，以及用函數(shù)與方程思想解決問題的能力。滿分14分. （I）解：由已知有，又由，可得. 設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.由已知，有+，解得. （II）解：由

21、（I）得橢圓方程為，直線的方程為，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去y，整理得，解得，或.因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，可得M的坐標(biāo)為.有，解得，所以橢圓的方程為. （III）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線FP的斜率為，得，即， 與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得.又由已知，得，解得，或. 設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得. ①當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得. ②當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得. 綜上，直線的斜率的取值范圍是. （20）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式等基礎(chǔ)知識和方法.考查分類討論思想、函數(shù)思想和劃

22、歸思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力。滿分14分. （I）解：由=，可得==，其中，且. 下面分兩種情況討論： （1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí). 令=0，解得，或. 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： - + - 所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增。 （2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí). 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減. 所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （II）證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.令，即，則. 由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減.又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以對于任意的正實(shí)數(shù)，都有，即對于任意的正實(shí)數(shù)，都有. （III）證明：不妨設(shè).由（II）知.設(shè)方程的根為，可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.又由（II）知，可得. 類似地，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，當(dāng)，，即對于任意的，. 設(shè)方程的根為，可得.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，因此. 由此可得. 因?yàn)椋?，? 所以，. 版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)() 版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)()