專(zhuān)題61 化邊為角法判斷三角形的形狀(解析版)

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1、 專(zhuān)題61 化邊為角法判斷三角形的形狀 一、單選題 1．在中，角、、所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀一定為（ ） A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形 【答案】B 【分析】 由正弦定理化邊為角，整理可得，即可判斷. 【詳解】 由正弦定理知，， ∴， ∴，即， 又、，∴，故為等腰三角形. 故選：B. 2．在中，若，則的形狀為（ ） A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】 由已知條件，結(jié)合正弦定理得，有或，即可知正確選項(xiàng). 【詳解】 由知：，即， ∴，即或，

2、 ∴或， 故選：D 3．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則的形狀為（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】 先由正弦定理，以及題中條件，將原式化為，得出，即可判斷出結(jié)果. 【詳解】 又得， 根據(jù)正弦定理，得到，則， 所以，即， 則， 又角，，為三角形內(nèi)角， 所以，因此，即為直角三角形. 故選：B. 4．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則一定是（ ） A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形 【答案】A 【分析】 由，利用正弦定理化邊為角，再由兩角差的正弦求解. 【

3、詳解】 由， 利用正弦定理可得：， 則， ， ，即. 一定是等腰三角形. 故選：A 5．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 【答案】B 【分析】 利用二倍角公式以及，可得，再利用正弦定理的邊角互化以及兩角差的正弦公式即可判斷. 【詳解】 由， 得， 即. 又， 則， ， 由正弦定理得， 即， 因?yàn)榻窃谥校? 所以. 故選：B. 6．在中，內(nèi)角??的對(duì)邊分別為??，若且，則這個(gè)三角形為（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形

4、 【答案】C 【分析】 利用正弦定理和題中所給的條件，得到，于是，代入題中所給的式子，化簡(jiǎn)可求得角C，從而判斷出三角形的形狀. 【詳解】 因?yàn)?，，所以，所以? 所以， 因?yàn)椋? 所以 所以， 即 整理得，即， 因?yàn)?，所以? 因?yàn)闉榈妊切蔚牡捉牵?，所以，? 所以這個(gè)三角形為等腰直角三角形， 故選：C. 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)三角形的形狀判斷的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，思路如下： （1）利用正弦定理，將角化成邊，結(jié)合題中所給的條件，得到角之間的關(guān)系； （2）利用三角恒等變換，解出角的大小，進(jìn)一步判斷三角形的形狀，得到結(jié)果. 7．已知的三個(gè)內(nèi)角，

5、，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，且，，成等差數(shù)列，則的形狀是（ ） A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．正三角形 【答案】C 【分析】 利用誘導(dǎo)公式、和角的正弦公式和正弦定理化簡(jiǎn)已知得，即得解. 【詳解】 ，，， 依題意得， 根據(jù)正弦定理可得， 即， 又，則， 又，所以， 故的形狀是鈍角三角形． 故選：C． 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：判斷三角形的形狀，一般有兩種方法：（1）利用正弦余弦定理邊化角；（2）利用正弦余弦定理角化邊. 8．在中，角的對(duì)邊分別為，且，則的形狀為（ ） A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【

6、答案】B 【分析】 根據(jù)降冪公式，先得到，化簡(jiǎn)整理，再由正弦定理，得到，推出，進(jìn)而可得出結(jié)果. 【詳解】 由已知可得， 即． 法一：由余弦定理得，則， 所以，由此知為直角三角形． 法二：由正弦定理得：． 在中，， 從而有， 即．在中，，所以． 由此得，故為直角三角形. 故選：B. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)三角形形狀判斷的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，可以利用勾股定理，也可以在三角形中利用三角恒等變換得到結(jié)果. 9．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】

7、 先由降冪公式得，再由正弦定理得，眾而得，于是有或，從而可得結(jié)論 【詳解】 解：因?yàn)椋? 所以， 所以由正弦定理得，， 所以， 因?yàn)? 所以或， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形 故選：D 【點(diǎn)睛】 此題考查三角函數(shù)的降冪公式的應(yīng)用，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 10．在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，則的形狀一定為（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形 【答案】B 【分析】 先由正弦定理化簡(jiǎn)得到，再求出，最后判斷三角形形狀. 【詳解】 解：因?yàn)椋杂烧叶ɡ碛校? 整理得，又因?yàn)椋裕? 故為直角三角形

8、. 故選：B 【點(diǎn)睛】 本題考查利用正弦定理判斷三角形的形狀，是基礎(chǔ)題. 11．在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，，，那么這個(gè)三角形是（ ） A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】 由正弦定理求出的值，可得或，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式求出A的值，由此即可判斷三角形的形狀. 【詳解】 ∵中，已知，，， 由正弦定理，可得：， 解得：，可得：或. 當(dāng)時(shí)，∵， ∴，是直角三角形. 當(dāng)時(shí)，∵， ∴，是等腰三角形. 故是直角三角形或等腰三角形， 故選：D. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查正

9、弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題. 12．在中，，，分別是角，，所對(duì)的邊，滿(mǎn)足，則三角形的形狀為（ ） A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】 根據(jù)條件，利用正弦定理化為三角函數(shù)，由三角恒等變換即可求解. 【詳解】 ， ， , ， ， ， 即， 所以三角形的形狀為等腰三角形， 故選：A 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了解三角形的相關(guān)問(wèn)題，考查了正弦定理，三角恒等變換，屬于中檔題. 13．在中，分別是角的對(duì)邊，滿(mǎn)足，則的形狀為（ ） A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三

10、角形 D．銳角三角形 【答案】C 【分析】 利用余弦定理表示出,代入已知等式變形后得到,即可結(jié)論. 【詳解】 ,,即, 整理得:,即,則為等腰三角形. 故選：C. 【點(diǎn)睛】 本題考查了余弦定理以及等腰三角形的判定,熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題. 14．在中，若，則的形狀是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】 利用正弦定理邊角互化思想化簡(jiǎn)可得，求得角的值，進(jìn)而可判斷出的形狀. 【詳解】 ，由正弦定理得，即，， ，，則， ，所以，，因此，是直角三角形. 故選：A. 【點(diǎn)睛

11、】 本題考查利用正弦定理邊角互化判斷三角形的形狀，同時(shí)也考查了兩角和的正弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題. 15．在中，，是，所對(duì)的邊，已知，則的形狀是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【分析】 由正弦定理得，化簡(jiǎn)得,即得解. 【詳解】 由正弦定理得， 所以， 所以, 因?yàn)? 所以. 所以三角形是等腰三角形. 故選：B 【點(diǎn)睛】 本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，考查差角的正弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平. 16．在中,=分別為角的對(duì)應(yīng)邊),則的形狀為 A．正三角形

12、 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】 由題可得=，所以. 由此可知，該三角形是直角三角形，所以角C為直角. 本題選擇B選項(xiàng). 17．在中，分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，則一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】 根據(jù)，利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角得到，然后再利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求解. 【詳解】 因?yàn)椋? 由正弦定理得：， 所以， 所以或， 即或 所以一定是等腰三角形或直角三角形， 故選：D 【點(diǎn)睛】 本題主要正弦定理，二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔

13、題. 18．△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若c＝，b＝1，∠B＝，則△ABC的形狀為（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 試題分析：在中，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以或，所以或，所以的形狀一定為等腰三角形或直角三角形，故選D． 考點(diǎn)：正弦定理． 19．在中，則此三角形的形狀為（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 【答案】A 【分析】 已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，將代入并利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，得到，確定出，即可得出三角形

14、的形狀. 【詳解】 解：由正弦定理，又因?yàn)椋? 所以． 即，用兩角和的正弦公式展開(kāi)左邊，得：， 整理得， 所以， 又因?yàn)楹褪侨切蔚膬?nèi)角， 所以，此三角形為等腰三角形． 故選：A. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查利用正余弦定理和三角恒等變換來(lái)判斷三角形的形狀，屬于中檔題. 20．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．若，則的形狀一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【分析】 由余弦定理得，代入化簡(jiǎn)得，故可得答案. 【詳解】 由余弦定理得，所以， 所以，得，故是等腰三角形． 故選：A

15、【點(diǎn)睛】 本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題. 21．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的形狀一定為（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】 利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和的正弦公式計(jì)算可得； 【詳解】 解：因?yàn)椋? 所以， 整理得，即或，則或， 故的形狀為等腰三角形或直角三角形. 故選：D 【點(diǎn)睛】 本題考查正弦定理及兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 二、多選題 22．對(duì)于三角形ABC，有如下判斷，其中正確的

16、判斷是（ ） A．若sin2A＋sin2B＜sin2C，則三角形ABC是鈍角三角形 B．若A＞B，則sin A＞sin B C．若a＝8，c＝10，B＝60，則符合條件的三角形ABC有兩個(gè) D．若三角形ABC為斜三角形，則 【答案】ABD 【分析】 對(duì)于A，先利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，再利用余弦定理可判斷三角形的角的大??；對(duì)于B，由三角形中大角對(duì)大邊，再結(jié)合正弦定理判斷；對(duì)于C，利用余弦定理求解即可；對(duì)于D，利用三角函數(shù)恒等變換公式判斷 【詳解】 對(duì)于A，因?yàn)閟in2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以為鈍角，所以三角形ABC是鈍角三角形，所以

17、A正確； 對(duì)于B，因?yàn)锳＞B，所以，所以由正弦定理得sin A＞sin B，所以B正確； 對(duì)于C，由余弦定理得，，所以，所以符合條件的三角形ABC有一個(gè)，所以C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，因?yàn)椋? 所以 因?yàn)椋? 所以， 所以，所以D正確， 故選：ABD 23．已知的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則該三角形的形狀是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】 在中，根據(jù)，利用正弦定理得，然后變形為求解. 【詳解】 在中，因?yàn)椋? 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或. 故是直角三角形或等腰三角形.

18、 故選： D. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查利用正弦定理判斷三角形的形狀，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題. 24．在中，，，分別是內(nèi)角，，所對(duì)的邊，，且，，則以下說(shuō)法正確的是（ ） A． B．若，則 C．若，則是等邊三角形 D．若的面積是，則該三角形外接圓半徑為4 【答案】AC 【分析】 對(duì)于，利用正弦定理可將條件轉(zhuǎn)化得到，即可求出； 對(duì)于，利用正弦定理可求得，進(jìn)而可得； 對(duì)于，利用正弦定理?xiàng)l件可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合原題干條件可得，進(jìn)而求得； 對(duì)于，根據(jù)三角形面積公式求得，利用余弦定理求得，進(jìn)而由正弦定理求得． 【詳解】 解：由正弦定理可將條件轉(zhuǎn)化為， 因?yàn)?，故?

19、 因?yàn)?，則，故正確； 若，則由正弦定理可知，則， 因?yàn)?，則，故錯(cuò)誤； 若，根據(jù)正弦定理可得， 又因?yàn)?，即，即有，所以? 因?yàn)?，則，故， 整理得，即， 解得，故，則， 即，所以是等邊三角形，故正確； 若的面積是，即，解得， 由余弦定理可得，即 設(shè)三角形的外接圓半徑是， 由正弦定理可得，則該三角形外接圓半徑為2，故D錯(cuò)誤， 故選：AC． 【點(diǎn)睛】 本題考查正余弦定理的應(yīng)用及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和與差的三角公式，轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，屬于中檔題． 25．已知△ABC的內(nèi)角A?B?C所對(duì)的邊分別為a?b?c，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（ ） A．若，則一

20、定是等腰三角形 B．若，則是等腰或直角三角形 C．若，則一定是等腰三角形 D．若，且，則是等邊三角形 【答案】ABD 【分析】 A．利用正弦定理以及兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)并判斷； B．利用正弦定理以及兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)并判斷； C．先進(jìn)行切化弦，然后利用正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)并判斷； D．根據(jù)條件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等變換計(jì)算出的值，從而判斷出結(jié)果. 【詳解】 A．因?yàn)?，所以? 所以，所以，所以，所以為等腰三角形，故正確； B．因?yàn)?，所以? 所以， 所以，所以， 所以，所以或， 所以為等腰或直角三角形，故正確； C．因?yàn)?，所以，所以?

21、所以，所以，所以或， 所以為等腰或直角三角形，故錯(cuò)誤； D．因?yàn)椋?，所以或（舍），所以? 又因?yàn)?，所以且，所以? 所以，所以，所以，所以， 所以，所以為等邊三角形，故正確. 故選：ABD. 【點(diǎn)睛】 本題考查利用正、余弦定理判斷三角形形狀，主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與計(jì)算能力，難度一般.利用正、余弦定理判斷三角形形狀時(shí)，一定要注意隱含條件“”. 26．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，以下說(shuō)法中正確的是（ ）． A．若，則 B．若，，，則為鈍角三角形 C．若，，，則符合條件的三角形不存在 D．若，則為直角三角形 【答案】ACD 【分析】 利用正余弦定理逐一判斷即

22、可. 【詳解】 若，則，所以由正弦定理可得，故A正確； 若，，，則，所以角為銳角，即為銳角三角形，故B錯(cuò)誤； 若，，，根據(jù)正弦定理可得 所以符合條件的三角形不存在，即C正確 若，則， 所以，所以，即，故D正確 故選：ACD 【點(diǎn)睛】 本題主要考查的是正余弦定理，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，較簡(jiǎn)單. 三、解答題 27．的內(nèi)角的對(duì)邊分別是.設(shè). （1）判斷的形狀； （2）若，，的平分線交于，求的面積. 【答案】（1）等腰三角形；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)得，即得解； （2）求出，再分析得到，即得解. 【詳解】 （1）由及正弦定理得， 即

23、， 所以，即 所以，所以為等腰三角形. （2）因?yàn)榍遥? 由余弦定理得，所以 ， 所以. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：判斷三角形的形狀，常用的有兩種方法：（1） 正弦定理余弦定理邊化角；（2）正弦定理余弦定理角化邊. 28．在①，，成等差數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，面積為.若______，且，試判斷的形狀.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分. 【答案】答案見(jiàn)解析 【分析】 根據(jù)題設(shè)條件，利用三角形的面積公式和余弦定理，化簡(jiǎn)得， 選①，由正弦定理得，聯(lián)立求得，進(jìn)而得

24、到為等邊三角形； 選②，由正弦定理得，聯(lián)立求得，得到，進(jìn)而得到為等邊三角形； 選③，由，利用正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得，求得，進(jìn)而得到以為直角三角形. 【詳解】 由題意知，可得，所以， 又因?yàn)?，所以? 由余弦定理可得， 若選①，由，，成等差數(shù)列，得， 則由正弦定理得，則有，可得， 又因?yàn)?，所以為等邊三角? 若選②，由，，成等比數(shù)列，所以， 則由正弦定理得，所以，即，可得， 又因?yàn)椋詾榈冗吶切? 若選③，由，得， 即，整理得， 因?yàn)?，所以? 又因?yàn)?，所以，所以，所以為直角三角? 【點(diǎn)睛】 在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合

25、適，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理. 29．在①；②的面積為；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.問(wèn)題，是否存在，其內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，______？若三角形存在，求的周長(zhǎng)；若三角形不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分. 【答案】答案見(jiàn)解析 【分析】 選①：，利用正弦定理得，結(jié)合 可得，利用，即可求得，由正弦定理即可求出邊和，從而求得周長(zhǎng)；選②：，利用余弦定理可得，即可求得，后同①中的過(guò)程；選③，利用正弦定理

26、得，即可求得，由可求，，所以三角形不存在. 【詳解】 選①：因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫? 即， 即，整理得. 因?yàn)椋?又，所以. 又因?yàn)?，所以，? 由得:，所以. 由正弦定理，得，解得，，所以的周長(zhǎng)為. 選②：因?yàn)椋? 所以由余弦定理得，即， 所以，因?yàn)?，所以，下同選①. 選③：因?yàn)?，所以由正弦定理得，即? 又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋詥?wèn)題中的三角形不存在. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選②：三角形面積公式與已知條件結(jié)合可得，再利用余弦定理即可求出，即可求出，選③求出，注意判斷，問(wèn)題中的三角形不存在. 30．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求b的值；

27、 （2）若滿(mǎn)足，c＝3，求的面積. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】 （1）利用余弦定理以及已知條件可得，即可得出結(jié)果；（2）利用正弦定理以及正弦二倍角公式可得，進(jìn)一步得到或者，分兩種情況討論，利用余弦定理求角，利用三角形面積公式求解即可得出結(jié)果. 【詳解】 （1）由余弦定理可得 ， 又， 所以可得. 由于， 所以. （2）已知， 由正弦定理可得， 由正弦二倍角公式可得， ∵，， ，， 所以或者， 當(dāng)時(shí)， ， ， ， ， ； 當(dāng)時(shí)， ，， ， . 綜上：的面積為或. 31．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且． （Ⅰ）求

28、角A的大??； （Ⅱ）若，試判斷的形狀． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）等邊三角形. 【分析】 （1）由已知三邊關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可求角A； （2）由正弦定理的邊角互化，應(yīng)用兩角和正弦公式可得，結(jié)合（1）的結(jié)論即可知的形狀． 【詳解】 （Ⅰ）∵，整理得， ∴， ∴． （Ⅱ）由正弦定理，得，而， ∴，即， ∴， ∴， ∴為等邊三角形． 【點(diǎn)睛】 本題考查了正余弦定理，根據(jù)三邊關(guān)系應(yīng)用余弦定理求角，由正弦定理的邊角互化、兩角和正弦公式判斷三角形形狀，屬于基礎(chǔ)題. 32．在△中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，． （1）判斷△的形狀； （2）若，△的面積為，BC的

29、中點(diǎn)為D，求AD的長(zhǎng)． 【答案】（1）△為等腰三角形；（2） 【分析】 (1)由正弦定理化邊為角，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)及兩角差正弦公式可得，即可判斷△的形狀；(2)由等腰三角形、三角形面積公式可用參數(shù)a表示、，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求a，由余弦定理即可求AD的長(zhǎng) 【詳解】 （1）由正弦定理：可化為，又 ∴， ，即 又，，有 ∴，有，即△為等腰三角形 （2）由（1）知，在△中，取AC的中點(diǎn)E，連接BE，則，即 又△的面積為，所以 根據(jù)，得 ∴， （解法一）在△中，由余弦定理，得， （解法二）在△中，有，所以 【點(diǎn)睛】 本題考查正余弦定理以及三角形的面積公式，根據(jù)正

30、弦定理及兩角差正弦公式化簡(jiǎn)并判斷三角形形狀，結(jié)合三角形面積公式得到同角的正余弦值進(jìn)而求參，最后由余弦定理得到對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力． 33．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知. （1）證明：是等腰三角形； （2）若，且的面積為，求的值. 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或. 【分析】 （1）對(duì)切化弦，再根據(jù)角度的范圍，即可得到結(jié)論； （2）根據(jù)（1）中所求，可以求得，再根據(jù)面積公式，即可求得，再結(jié)合余弦定理，即可求得. 【詳解】 （1）由正弦定理及， 得，即. 因?yàn)?，所以? 所以是等腰三角形. （2）由（1）知，所以. 因?yàn)椋? 所以. 又， 所以.

31、 若，則， 即，解得； 若，則， 即，解得. 所以或. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角形形狀的判斷，以及余弦定理的應(yīng)用，屬綜合基礎(chǔ)題. 34．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，試判斷的形狀并給出證明. 【答案】（1）；（2）為等邊三角形，證明見(jiàn)解析. 【分析】 （1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得； （2）由正弦定理邊化角及誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式可得，即可得到，從而得到三角形的形狀； 【詳解】 解：（1）， 由正弦定理得， ，根據(jù)余弦定理知. 又角A為的內(nèi)角，. （2）為等邊三角形 ，由正弦定理得

32、. 由三角形內(nèi)角和公式得，故， ，整理得， ，又，. 又由（1）知，為等邊三角形. 【點(diǎn)睛】 本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題. 四、填空題 35．，現(xiàn)有下列命題：①已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是或；②函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是；③在中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c若，則為等腰三角形；④在中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c若，則為鈍角三角形；⑤在中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c若，則；其中正確的命題是______________（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)相應(yīng)序號(hào)）. 【答案】②④⑤ 【分析】 ①中根據(jù)夾角要求列關(guān)系計(jì)算即

33、可，②中根據(jù)正切函數(shù)圖像性質(zhì)即得結(jié)果，③④⑤應(yīng)用正弦函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合解三角形即判斷出結(jié)果. 【詳解】 ①中，與的夾角為銳角，則且不共線，故，即或，其中時(shí)與共線，故或或，故錯(cuò)誤； ②中，函數(shù)，令，得，故其圖像的對(duì)稱(chēng)中心是，故正確； ③中，，由正弦定理知，，故，即，則中，有或，即或，故為等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤； ④中，在中，，故，，， 若時(shí)，根據(jù)在單調(diào)遞增可知，即，則為鈍角，為鈍角三角形；若時(shí)，即，故，即，符合題意，此時(shí)為鈍角三角形，故正確； ⑤中，由可知同號(hào)，且中同正，即都是銳角，又，故也是銳角，為銳角三角形，故由知，得，同理可知，，故即，故正確. 故答案為：②④⑤.

34、【點(diǎn)睛】 本題考查了向量的夾角的應(yīng)用和三角函數(shù)與解三角形的綜合應(yīng)用，屬于中檔題. 向量夾角問(wèn)題解題方法：若與的夾角為銳角，則且不共線；若與的夾角為鈍角，則且不共線.排除共線的情況是易錯(cuò)點(diǎn). 36．在中，已知，，則的面積為_(kāi)_____. 【答案】 【分析】 由已知得，再由正弦定理可得，整理變形可得，進(jìn)一步可說(shuō)明是等邊三角形，則面積可求. 【詳解】 解：由已知，即， 又由正弦定理， ，即， ，由于是在中， ，同理， 所以是等邊三角形， . 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 本題考查正弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，是中檔題. 37．已知三角形的三邊長(zhǎng)為滿(mǎn)足

35、，則此三角形為_(kāi)_____三角形.(填寫(xiě)形狀) 【答案】直角 【分析】 通過(guò)計(jì)算得到，由此判斷三角形為直角三角形. 【詳解】 依題意， 所以，故為直角. 所以三角形是直角三角形. 故答案為：直角 【點(diǎn)睛】 本小題主要考查三角形形狀的判斷. 38．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則的形狀為_(kāi)____________. 【答案】直角三角形 【分析】 利用正弦定理邊角互化思想求得的值，可求得角的值，進(jìn)而可判斷出的形狀. 【詳解】 ，由正弦定理得， 即， ，則，，，. 因此，為直角三角形. 故答案為：直角三角形. 【點(diǎn)睛】 本題考查利用正弦定理邊角互化思想

36、判斷三角形的形狀，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 39．在中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，現(xiàn)有下列命題：①若，則；②若，則；③若，則為等腰三角形；④若，則為鈍角三角形；⑤若，則；其中正確的命題是______________（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)相應(yīng)序號(hào)）. 【答案】②④⑤. 【分析】 ①取驗(yàn)證可判斷； ②由及基本不等式求的范圍，從而可判斷； ③由和正弦定理可判斷； ④若，則，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷； ⑤若，則可判斷出A、B、C均為銳角，由，結(jié)合均值定理可判斷. 【詳解】 解：①令，則，但，故①錯(cuò)誤. ②若，則，， 在遞減，所以，故②正確； ③由正弦定理及，得 所以或，則為等

37、腰三角形或直角三角形，故③錯(cuò)誤. ④由，則，，，所以，則為鈍角三角形，故④正確. ⑤若，則，，，，， ， 所以， 所以，故⑤正確 綜合以上有②④⑤正確 故答案為：②④⑤. 【點(diǎn)睛】 根據(jù)正余弦定理、三角函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式考查三角形邊角之間的關(guān)系，中檔題. 40．下列四個(gè)命題中正確的是_____.（填序號(hào)）①若，則是等腰三角形；②若，，則；③設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則；④函數(shù)的最小值為. 【答案】③④ 【分析】 根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)的條件推導(dǎo)即可. 【詳解】 對(duì)于①，若，可得，則，所以或，則是等腰三角形或直角三角形，故①錯(cuò)誤； 對(duì)于②，若，，當(dāng)時(shí)，，，則，故②錯(cuò)誤； 對(duì)于③，，所以，則，故③正確； 對(duì)于④，，，，故④正確. 故答案為：③④. 【點(diǎn)睛】 本題考查對(duì)命題的判斷，考查了正弦定理，不等式的性質(zhì)，數(shù)列性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用.