【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪復(fù)習(xí)配套文檔：第5章 第5節(jié)　數(shù)列的綜合問題

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1、 第五節(jié)　數(shù)列的綜合問題 【考綱下載】 能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用相關(guān)知識(shí) 解決相應(yīng)的問題． 1．?dāng)?shù)列綜合應(yīng)用題的解題步驟 (1)審題——弄清題意，分析涉及哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容，在每個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，各是什么問題． (2)分解——把整個(gè)大題分解成幾個(gè)小題或幾個(gè)“步驟”，每個(gè)小題或每個(gè)“步驟”分別是數(shù)列問題、函數(shù)問題、解析幾何問題、不等式問題等． (3)求解——分別求解這些小題或這些“步驟”，從而得到整個(gè)問題的解答． 2．常見的數(shù)列模型 (1)等差數(shù)列模型：通過讀題分析，由題意抽象出等差數(shù)列，利用等差數(shù)列有關(guān)知識(shí)解決問題． (

2、2)等比數(shù)列模型：通過讀題分析，由題意抽象出等比數(shù)列，利用等比數(shù)列有關(guān)知識(shí)解決問題． (3)遞推公式模型：通過讀題分析，由題意把所給條件用數(shù)列遞推式表達(dá)出來，然后通過分析遞推關(guān)系式求解． 1．設(shè)本金為a，每期利率為r，存期為n，若按單利計(jì)算，本利和是多少？此模型是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型？ 提示：本利和為a(1＋rn)，屬等差數(shù)列模型． 2．設(shè)本金為a，每期利率為r，存期為n，若按復(fù)利計(jì)算，本利和是多少？此模型是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型？ 提示：本利和為a(1＋r)n，屬等比數(shù)列模型． 1．設(shè){an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1＝2且a1，a3，a6成等比數(shù)列，

3、則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D．n2＋n 解析：選A　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a1，a3，a6成等比數(shù)列， ∴a＝a1a6，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋5d)．又a1＝2，∴(2＋2d)2＝2(2＋5d)， 解之得d＝或d＝0(舍)．∴Sn＝na1＋d＝2n＋＝＋. 2．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：選D　∵x，a，b，y成等差數(shù)列，∴a＋b＝x＋y，又x，c

4、，d，y成等比數(shù)列，∴cd＝xy.∴＝＝2＋≥2＋＝4.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是4. 3. 在如圖所示的表格中，如果每格填上一個(gè)數(shù)后，每一行成等差數(shù)列，每一列成等比數(shù)列，那么x＋y＋z的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　由題意知，第三列各數(shù)成等比數(shù)列，故x＝1；第一行第五個(gè)數(shù)為6，第二行第五個(gè)數(shù)為3，故z＝；第一行第四個(gè)數(shù)為5，第二行第四個(gè)數(shù)為，故y＝，從而x＋y＋z＝3. 4．已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足：an＋1＋an－1＝a(n≥2)，等比數(shù)列{bn}滿足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，則log

5、2(a2＋b2)＝________. 解析：由題意可知an＋1＋an－1＝2an＝a，解得an＝2(n≥2)(由于數(shù)列{an}每項(xiàng)都是正數(shù)，故an＝0舍去)，又bn＋1bn－1＝b＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，所以log2(a2＋b2)＝log24＝2. 答案：2 5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意n∈N*都有Sn＝ an－，若1＜Sk＜9(k∈N*)，則k的值為________． 解析：由Sn＝an－，得當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝a1－，則a1＝－1. 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝(Sn－Sn－1)－，即Sn＝－2Sn－1－1. 令Sn＋p＝－2(Sn－1＋p)，得

6、Sn＝－2Sn－1－3p，可知p＝. 故數(shù)列是以－為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列．則Sn＋＝－(－2)n－1， 即Sn＝－(－2)n－1－.由1＜－(－2)k－1－＜9，k∈N*，得k＝4. 答案：4 前沿?zé)狳c(diǎn)(七) 數(shù)列中的三類探索性問題 1．條件探索性問題 此類問題的基本特征是：針對(duì)一個(gè)結(jié)論，條件未知需探求，或條件增刪需確定，或條件正誤需判定；解決此類問題的基本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結(jié)論成立的必要條件，再通過檢驗(yàn)或認(rèn)證找到結(jié)論成立的充分條件，在“執(zhí)果索因”的過程中，常常會(huì)犯的一個(gè)錯(cuò)誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當(dāng)作充分條件，應(yīng)引起注意． [典例1]　已

7、知數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1(n∈N*)；數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＋1＝4bn＋6(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn＝bn＋2＋(－1)n－1λ2an(λ為非零整數(shù)，n∈N*)，試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立． [解題指導(dǎo)]　處理第(2)問中的cn＋1>cn恒成立問題，可通過構(gòu)造函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，再來研究所構(gòu)造的函數(shù)的最值． [解]　(1)由已知得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝1，所以an＋2－an＋1＝1(n≥1)． 又a2－a1

8、＝1，所以數(shù)列{an}是以a1＝2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．所以an＝n＋1. 因?yàn)閎n＋1＝4bn＋6，即bn＋1＋2＝4(bn＋2)， 又b1＋2＝a1＋2＝4，所以數(shù)列{b2＋2}是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列． 所以bn＝4n－2. (2)因?yàn)閍n＝n＋1，bn＝4n－2，所以cn＝4n＋(－1)n－1λ2n＋1.要使cn＋1>cn成立， 需cn＋1－cn＝4n＋1－4n＋(－1)nλ2n＋2－(－1)n－1λ2n＋1>0恒成立， 化簡得34n－3λ(－1)n－12n＋1>0恒成立，即(－1)n－1λ<2n－1恒成立， ①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ<2n－1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n

9、＝1時(shí)，2n－1有最小值1，所以λ<1； ②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ>－2n－1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時(shí)，－2n－1有最大值－2，所以λ>－2，即－2<λ<1.又λ為非零整數(shù)，則λ＝－1. 綜上所述，存在λ＝－1，使得對(duì)任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立． [名師點(diǎn)評(píng)]　對(duì)于數(shù)列問題，一般要先求出數(shù)列的通項(xiàng)，不是等差數(shù)列和等比數(shù)列的要轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列．遇到Sn要注意利用Sn與an的關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為an，再研究其具體性質(zhì)．遇到(－1)n型的問題要注意分n為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，本題易忘掉對(duì)n的奇偶性的討論而致誤． 2．結(jié)論探索性問題 此類問題的基本特征是：有條件而無結(jié)論或結(jié)論的

10、正確與否需要確定；解決此類問題的策略是：先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論，在探索過程中?？上葟奶厥馇樾稳胧?，通過觀察、分析、歸納、判斷來猜測(cè)，得出結(jié)論，再就一般情形去認(rèn)證結(jié)論． [典例2]　已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足：a＝2a＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足：bn＝，是否存在正整數(shù)m，n(1

11、正整數(shù)求其值，若在所求范圍內(nèi)能夠得到適合題目的值，則存在，否則就不存在． [解]　(1)因?yàn)閍＝2a＋anan＋1，即(an＋an＋1)(2an－an＋1)＝0. 又an>0，所以2an－an＋1＝0，即2an＝an＋1.所以數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列． 由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n(n∈N*)． (2)因?yàn)閎n＝＝，所以b1＝，bm＝，bn＝. 若b1，bm，bn成等比數(shù)列，則2＝，即＝. 由＝，可得＝，所以－2m2＋4m＋1>0，從而1－1，所以m＝2，此時(shí)n＝

12、12.故當(dāng)且僅當(dāng)m＝2，n＝12時(shí)，b1，bm，bn成等比數(shù)列． [名師點(diǎn)評(píng)]　對(duì)于結(jié)論探索性問題，需要先得出一個(gè)結(jié)論，再進(jìn)行證明．注意含有兩個(gè)變量的問題，變量歸一是常用的解題思想，一般把其中的一個(gè)變量轉(zhuǎn)化為另一個(gè)變量，根據(jù)題目條件，確定變量的值．遇到數(shù)列中的比較大小問題可以采用構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，這是解決復(fù)雜問題常用的方法． 3．存在探索性問題 此類問題的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立；解決此類問題的一般方法是：假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立或暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由

13、此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定結(jié)論，其中反證法在解題中起著重要的作用． [典例3]　已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝，an＋1＝，n∈N*. (1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列； (2)是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使m， s，n成等差數(shù)列，且am－1，as－1，an－1成等比數(shù)列？如果存在，請(qǐng)給以證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由． [解題指導(dǎo)]　第(1)問中an＋1與an的關(guān)系以分式形式給出，可以通過取倒數(shù)處理，目的仍然是變?yōu)榈炔顢?shù)列或等比數(shù)列；第(2)問可先假設(shè)所探求問題存在再去求解，注意應(yīng)用重要不等式進(jìn)行判斷． [解]　(1)證明：因?yàn)椋剑裕?＝. 又因?yàn)椋?≠0，所以－1≠0(n∈N*)．所以數(shù)列為等比數(shù)列． (2)假設(shè)存在，則m＋n＝2s， (am－1)(an－1)＝(as－1)2， 由(1)知－1＝(a1－1)n－1＝，則an＝， 所以＝2，化簡得3m＋3n＝23s. 因?yàn)?m＋3n≥2＝23s，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)等號(hào)成立，又m，s，n互不相等，所以不存在． [名師點(diǎn)評(píng)]　數(shù)列問題是以分式形式給出條件的，一般采用取倒數(shù)，再轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，通過等差數(shù)列與等比數(shù)列的橋梁作用求出通項(xiàng)．遇到多個(gè)變量的存在性問題，一般假設(shè)存在，求出滿足的關(guān)系，再尋找滿足的條件，一般可以利用重要不等式、值域或范圍等判斷是否存在．