一輪北師大版理數(shù)學教案：第2章 第4節(jié)　二次函數(shù)的再研究與冪函數(shù) Word版含解析

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1、第四節(jié)　二次函數(shù)的再研究與冪函數(shù) [考綱傳真]　1.(1)了解冪函數(shù)的概念；(2)結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖像，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題． 1．二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 頂點式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，頂點坐標為(h，k)； 零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點． (2)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋b

2、x＋c(a＜0) 圖像 定義域 R 值域 單調(diào)性 在上減，在上增 在上增，在上減 對稱性 函數(shù)的圖像關(guān)于x＝－對稱 2.冪函數(shù) (1)定義：如果一個函數(shù)，底數(shù)是自變量x，指數(shù)是常量α，即y＝xα，這樣的函數(shù)稱為冪函數(shù)． (2)五種常見冪函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函數(shù)特征性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 圖像 定義域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增 (

3、－∞，0)減，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)減 公共點 (1,1) 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函數(shù)．(　　) (2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　) (3)冪函數(shù)的圖像一定經(jīng)過點(1,1)和點(0,0)．(　　) (4)當n＞0時，冪函數(shù)y＝xn在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)　(4)√ 2．(教材改編)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖像過點(4,2)，若f(m)＝3，則實數(shù)m的值為(

4、　　) A.　 B． C． D．9 D　[由題意可知4α＝22α＝2，所以α＝. 所以f(x)＝x＝， 故f(m)＝＝3?m＝9.] 3．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖像在x軸上方，則a的取值范圍是(　　) 【導學號：57962042】 A. B． C. D． C　[由題意知即得a＞.] 4．(2017貴陽適應(yīng)性考試(二))二次函數(shù)f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)零點的個數(shù)是(　　) 【導學號：57962043】 A．0　 B．1 C．2　　　　D．4 C　[因為判別式Δ＝b2＋24＞0，所以原二次函數(shù)有2個零點，故選C.] 5．若二次函數(shù)y＝

5、ax2＋bx＋c的圖像與x軸交于A(－2,0)，B(4,0)且函數(shù)的最大值為9，則這個二次函數(shù)的表達式是________. 【導學號：57962044】 y＝－x2＋2x＋8　[設(shè)y＝a(x＋2)(x－4)，對稱軸為x＝1， 當x＝1時，ymax＝－9a＝9，∴a＝－1， ∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.] 求二次函數(shù)的解析式 　已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式． [解]　法一(利用一般式)： 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 2分 由題意得 8分 解得 ∴所求二次

6、函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 12分 法二(利用頂點式)： 設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴拋物線的圖像的對稱軸為x＝＝. 3分 ∴m＝.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8. ∴y＝f(x)＝a2＋8. 8分 ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 12分 法三(利用零點式)： 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，2分 故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 6分 又函數(shù)的最大值是8，即＝8， 解得a＝－4，

7、∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 12分 [規(guī)律方法]　用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式，選法如下 [變式訓練1]　已知二次函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． [解]　∵f(2－x)＝f(2＋x)對x∈R恒成立， ∴f(x)的對稱軸為x＝2. 2分 又∵f(x)的圖像被x軸截得的線段長為2， ∴f(x)＝0的兩根為1和3. 6分 設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的圖像過點(4,3

8、)， ∴3a＝3，a＝1. 10分 ∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 12分 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) ?角度1　二次函數(shù)圖像的識別及應(yīng)用 　(1)設(shè)abc＞0，則二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像可能是(　　) A　　 　　　　　B　　　　　　　C　　　　　D (2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． (1)D　(2)　[(1)由A，C，D知，f(0)＝c＜0. ∵abc＞0，∴ab＜0，∴對稱軸x＝－＞0，知A，C錯誤

9、，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B錯誤． (2)作出二次函數(shù)f(x)的圖像，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，則有 即解得－＜m＜0.] ?角度2　二次函數(shù)的最值問題 　(1)(2017廣西一模)若xlog52≥－1，則函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值為(　　) 【導學號：57962045】 A．－4 B．－3　　　C．－1　　　D．0 (2)(2017安徽皖北第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上的最大值為2，則a的值為(　　) A．2 B．－1或－3 C．2或－3 D．－1或2

10、 (1)A　(2)D　[(1)xlog52≥－1?log52x≥log55－1?2x≥， 令t＝2x，則有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4， 當t＝1≥，即x＝0時，f(x)取得最小值－4.故選A. (2)函數(shù)f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1圖像的對稱軸為x＝a，且開口向下，分三種情況討論如下： ①當a≤0時，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù)， ∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1. ②當0＜a≤1時，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，a]上是增函數(shù)，在[a,1]上是減函數(shù)， ∴f(x)max＝f(a)

11、＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1， 由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝.∵0＜a≤1，∴兩個值都不滿足，舍去． ③當a＞1時，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù)， ∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，∴a＝2. 綜上可知，a＝－1或a＝2.] ?角度3　二次函數(shù)中的恒成立問題 　已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　由題意知2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立． 當x＝0時，－3＜0，適合； 當x≠0時，a＜2－. 4分 因為∈(－∞，－1]∪[1，

12、＋∞)， 當x＝1時，右邊取最小值，所以a＜. 10分 綜上，實數(shù)a的取值范圍是. 12分 [規(guī)律方法]　1.二次函數(shù)最值問題應(yīng)抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合求解，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，用函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成． 2．由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，其依據(jù)是a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min. 　　冪函數(shù)的圖像與性質(zhì) 　(1)冪函數(shù)y＝f(x)的圖像過點(4,2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖像是(　　) A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　D

13、(2)已知冪函數(shù)f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的圖像關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m的值為________． (1)C　(2)1　[(1)令f(x)＝xα，則4α＝2，∴α＝， ∴f(x)＝x. (2)∵f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. 又m∈N*，∴m＝1或m＝2. 由于f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱． ∴m2－2m－3的值應(yīng)為偶數(shù)， 又當m＝2時，m2－2m－3為奇數(shù)， ∴m＝2舍去．因此m＝1.] [規(guī)律方法]　1.冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式．

14、2．若冪函數(shù)y＝xα(α∈R)是偶函數(shù)，則α必為偶數(shù)．當α是分數(shù)時，一般將其先化為根式，再判斷． 3．若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上遞增，則α＞0，若在(0，＋∞)上遞減，則α＜0. [變式訓練2]　(1)設(shè)a＝0.5，b＝0.9，c＝log50.3，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) 【導學號：57962046】 A．a(chǎn)＞c＞b　　　 B．c＞a＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c (2)若(a＋1) ＜(3－2a) ，則實數(shù)a的取值范圍是________． (1)D　(2)　[(1)a＝0.5＝0.25，b＝0.9，所以根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)知b＞a＞0，而c＝log50.3＜0

15、，所以b＞a＞c. (2)易知函數(shù)y＝x的定義域為[0，＋∞)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解得－1≤a＜.] [思想與方法] 1．二次函數(shù)的三種形式的選法 (1)已知三個點的坐標時，宜用一般式． (2)已知二次函數(shù)的頂點坐標或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)的量時，常使用頂點式． (3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個交點，且橫坐標已知時，選用零點式求f(x)更方便． 2．研究二次函數(shù)的性質(zhì)要注意 (1)結(jié)合圖像分析； (2)含參數(shù)的二次函數(shù)，要進行分類討論． 3．利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的方法 在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，轉(zhuǎn)化為同指數(shù)冪，再選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較． 4．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)圖像的特征 α>0時，圖像過原點和(1,1)，在第一象限的圖像上升； α＜0時，圖像不過原點，在第一象限的圖像下降，反之也成立． [易錯與防范] 1．對于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，若是二次函數(shù)，就隱含著a≠0，當題目條件中未說明a≠0時，就要分a＝0，a≠0兩種情況討論． 2．冪函數(shù)的圖像一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖像最多能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖像與坐標軸相交，則交點一定是原點．