一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第2章 第11節(jié)　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 Word版含解析

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1、 第十一節(jié)　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 [考綱傳真]　了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)． 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系 函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則 (1)若f′(x)＞0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)增加的； (2)若f′(x)＜0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)減少的； (3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上增加，那么在區(qū)間(a，b)上一定有f′(x)>0.(　　)

2、(2)如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則函數(shù)f(x)在此區(qū)間上沒有單調(diào)性． (　　) (3)f′(x)＞0是f(x)為增函數(shù)的充要條件． (　　) [答案]　(1)　(2)√　(3) 2．函數(shù)y＝x2－ln x的遞減區(qū)間為(　　) A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) B　[函數(shù)y＝x2－ln x的定義域?yàn)?0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，則可得0＜x≤1.]　 3．(教材改編)如圖2111所示是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像，則下列判斷中正確的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962105】 圖2111 A．函數(shù)f(x)在

3、區(qū)間(－3,0)上是減少的 B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上是減少的 C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上是減少的 D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,4)上是增加的 A　[當(dāng)x∈(－3,0)時(shí)，f′(x)＜0，則f(x)在(－3,0)上是減少的．其他判斷均不正確．] 4．(20xx陜西高考)設(shè)f(x)＝x－sin x，則f(x)(　　) A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù) C．是有零點(diǎn)的減函數(shù) D．是沒有零點(diǎn)的奇函數(shù) B　[因?yàn)閒′(x)＝1－cos x≥0，所以函數(shù)為增函數(shù)，排除選項(xiàng)A和C.又因?yàn)閒(0)＝0－sin 0＝0，所以函數(shù)存在零點(diǎn)，排除選項(xiàng)D，故選B

4、.] 5．(20xx全國卷Ⅱ)若函數(shù)f(x)＝kx－ln x在區(qū)間(1，＋∞)遞增，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) D　[由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在區(qū)間(1，＋∞)遞增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立． 由于k≥，而0<<1，所以k≥1，即k的取值范圍為[1，＋∞)．] 判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性 　已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．試討論f(x)的單調(diào)性. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962106】 [解]　f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0， 解得x

5、1＝0，x2＝－. 2分 當(dāng)a＝0時(shí)，因?yàn)閒′(x)＝3x2≥0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的； 4分 當(dāng)a＞0時(shí)，x∈∪(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，x∈時(shí)，f′(x)＜0， 所以函數(shù)f(x)在，(0，＋∞)上是增加的，在上是減少的； 7分 當(dāng)a＜0時(shí)，x∈(－∞，0)∪時(shí)，f′(x)＞0，x∈時(shí)，f′(x)＜0， 10分 所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)，上是增加的，在上是減少的. 12分 [規(guī)律方法]　用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟 (1)一求．求f′(x)； (2)二定．確認(rèn)f′(x)在(a，b)內(nèi)的符號(hào)； (3)三結(jié)論．作出結(jié)論：f

6、′(x)＞0時(shí)為增函數(shù)；f′(x)＜0時(shí)為減函數(shù)． 易錯(cuò)警示：研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需注意依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論． [變式訓(xùn)練1]　(20xx四川高考節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)證明：當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0. [解]　(1)由題意得f′(x)＝2ax－＝(x>0). 2分 當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是減少的． 當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0有x＝， 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，f(x)是減少的； 5分 當(dāng)x∈時(shí)，f′

7、(x)>0，f(x)是增加的. 7分 (2)證明：令s(x)＝ex－1－x，則s′(x)＝ex－1－1. 9分 當(dāng)x>1時(shí)，s′(x)>0，所以ex－1>x， 從而g(x)＝－>0. 12分 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 　(20xx北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝xea－x＋bx，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間． [解]　(1)因?yàn)閒(x)＝xea－x＋bx， 所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b. 2分 依題設(shè)，即 解得 5分 (2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex. 由f′(x)

8、＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)與1－x＋ex－1同號(hào). 7分 令g(x)＝1－x＋ex－1，則g′(x)＝－1＋ex－1. 所以，當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，g′(x)<0，g(x)在區(qū)間(－∞，1)上是減少的； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增加的. 9分 故g(1)＝1是g(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的最小值， 從而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)． 綜上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，＋∞). 12分 [規(guī)律方法]　求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域；

9、 (2)求f′(x)； (3)在定義域內(nèi)解不等式f′(x)＞0，得遞增區(qū)間； (4)在定義域內(nèi)解不等式f′(x)＜0，得遞減區(qū)間． [變式訓(xùn)練2]　已知函數(shù)f(x)＝ax＋ln x，則當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間是________，遞減區(qū)間是________． 　　[由已知得f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． 因?yàn)閒′(x)＝a＋＝， 所以當(dāng)x≥－時(shí)，f′(x)≤0， 當(dāng)0＜x＜－時(shí)，f′(x)＞0， 所以f(x)的遞增區(qū)間為， 遞減區(qū)間為.] 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 　已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1. 若f(x)在R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　因

10、為f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立. 5分 因?yàn)?x2≥0，所以只需a≤0. 又因?yàn)閍＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，所以a≤0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]. 12分 [遷移探究1]　(變換條件)函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍． [解]　因?yàn)閒′(x)＝3x2－a，且f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立， 7分 所以a≤3x2在(

11、1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范圍為(－∞，3]. 12分 [遷移探究2]　(變換條件)函數(shù)f(x)不變，若f(x)的遞減區(qū)間為(－1,1)，求a的值． [解]　f′(x)＝3x2－a. 當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0， 3分 所以f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)． 當(dāng)a＞0時(shí)，令3x2－a＜0，得－＜x＜， 8分 所以f(x)的遞減區(qū)間為，∴＝1，即a＝3. 12分 [遷移探究3]　(變換條件)函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍． [解]　∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝(a≥0).

12、 5分 ∵f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調(diào)，∴0＜＜1，得0＜a＜3，即a的取值范圍為(0,3). 12分 [規(guī)律方法]　根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般方法 (1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集． (2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，即“若函數(shù)遞增，則f′(x)≥0；若函數(shù)遞減，則f′(x)≤0”來求解． 易錯(cuò)警示：(1)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0，且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解． (2)函數(shù)在其區(qū)間上不具有單調(diào)性，

13、但可在子區(qū)間上具有單調(diào)性，如遷移3中利用了∈(0,1)來求解． [變式訓(xùn)練3]　(20xx全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)遞增，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,1] B. C. D． C　[取a＝－1，則f(x)＝x－sin 2x－sin x，f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－＜0，不具備在(－∞，＋∞)遞增的條件，故排除A，B，D.故選C.] [思想與方法] 1．已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是求f′(x)＞0，f′(x)＜0的解區(qū)間，并注意函數(shù)f(x)的定義域． 2．含參函數(shù)的單調(diào)性要分類討論，通過確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性． 3．已知函數(shù)單調(diào)性可以利用已知區(qū)間和函數(shù)單調(diào)區(qū)間的包含關(guān)系或轉(zhuǎn)化為恒成立問題兩種思路解決． [易錯(cuò)與防范] 1．求單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循定義域優(yōu)先的原則． 2．注意兩種表述“函數(shù)f(x)在(a，b)上為減函數(shù)”與“函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(a，b)”的區(qū)別． 3．在某區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件． 4．可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對(duì)任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．