第十章第5節(jié) 直線與圓錐曲線

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1、第十章 圓錐曲線 第五節(jié) 直線與圓錐曲線 題型126 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 2013年 1. (2013天津文18）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)且與 軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為． (1) 求橢圓的方程； (2) 設(shè)， 分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．若，求的值． 2.（2013山東文22）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短 軸長(zhǎng)為，離心率為． （1）求橢圓的方程； （2），為橢圓上滿足的面積為的任意兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，射線 交橢圓于點(diǎn)，設(shè)，求實(shí)數(shù)的值． 3. (2013安徽文21）已知橢圓的焦距

2、為，且過(guò)點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為.取點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn).點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作直線，問(wèn)這樣作出的直線是否與橢圓一定有唯一的公共點(diǎn)？并說(shuō)明理由. 2014年 1.（2014湖北文8）設(shè)是關(guān)于的方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則過(guò)，兩點(diǎn)的直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）. A． B． C． D． 2.（2014大綱文22）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）過(guò)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線與C相交于M

3、，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程. 2015年 1.（2015安徽文20）設(shè)橢圓的方程為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) 的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段上，滿足，直線 的斜率為. （1）求的離心率； （2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，為線段的中點(diǎn)，求證：. 1. 分析（1）由且，，可得. 又因?yàn)榈男甭蕿?，所以，根?jù)橢圓的性質(zhì)，即可求出離心率； （2）由題意可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，， 推出 ，即可證明結(jié)果. 解析 （1）由，且，，可得. 又因?yàn)榈男甭蕿椋裕? 則，即，亦即，得. （2）由題意可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，， 所以，所以. 2. (2015北京文20)已知

4、橢圓，過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓 交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于兩點(diǎn). （1）求橢圓的離心率； （2）若垂直于軸，求直線的斜率； （3）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由. 2. 解析（1）橢圓即，離心率. （2）若垂直于軸，則所在的直線方程為，不妨設(shè)， .又，，直線所在的方程為： ，聯(lián)立直線與直線的方程， 得，，故直線的斜率是1. （3）由（2）知，當(dāng)垂直于軸時(shí)，直線的斜率為1，且，得，故直線與直線平行. 若直線不垂直于軸時(shí)，直線與直線也保持平行的位置關(guān)系. 下面來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，即驗(yàn)證. 設(shè)，，，直線的方程為， 令，得，， 要證明，只需證明，即， 聯(lián)立直線

5、與橢圓方程， 消建立關(guān)于的一元二次方程得，. 將式整理得 將，代入上式的左邊得： 右邊. 因此，直線的斜率為1，說(shuō)明直線與直線的位置關(guān)系是平行. 3.（2015江蘇18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)到直線（其中）的距離為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線和于點(diǎn) ，若，求直線的方程． 3. 解析 （1）由題意得， 故，即，從而，，， 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）解法一（正設(shè)斜率）：若的斜率不存在時(shí)，則方程為，此時(shí)，易知此時(shí)，不滿足題意； 當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，此時(shí)亦不

6、滿足題意； 因此斜率存在且不為0，不妨設(shè)斜率為，則方程， 不妨設(shè)，， 聯(lián)立直線與橢圓，即， 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，故恒成立，所以， 故 ， 又，， 故， 因?yàn)椋剩? 即，即， 整理得，即，即， 解得，從而直線方程為或． 解法二（反設(shè)）：由題意，直線的斜率必不為0，故設(shè)直線方程為， 不妨設(shè)，， 與橢圓聯(lián)立，整理得， 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，故恒成立，故， 因此 ， 則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 于是點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 又，故， 所以， 因?yàn)榭傻茫? 化簡(jiǎn)得，即， 化簡(jiǎn)得，計(jì)算得，從而直線方程為或. 2016年 1.（2016浙江文19）如圖所示，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的

7、點(diǎn)到軸的距離等于. （1）求的值； （2）若直線交拋物線于另一點(diǎn)，過(guò)與軸平行的直線和過(guò)與垂直的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).求的橫坐標(biāo)的取值范圍. 1.解析 （1）因?yàn)閽佄锞€上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，由已知條件得，即. （2）由（1）知拋物線的方程為，，可設(shè)，，. 由題知不垂直于軸，可設(shè)直線，， 由消去得，故，所以. 又直線的斜率為，故直線的斜率為，從而直線，直線，所以. 設(shè)，由，，三點(diǎn)共線得：，整理得，(，)，此函數(shù)為偶函數(shù)，且和上單調(diào)遞減，分析知或. 所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是. 2.（2016全國(guó)乙文20）在直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，

8、關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn). （1）求； （2）除以外，直線與是否有其他公共點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由. 2.解析 （1）如圖所示，由題意不妨設(shè)， 可知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，， 從而可得直線的方程為，聯(lián)立方程，解得，. 即點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而由三角形相似可知. （2）由于，，可得直線的方程為， 整理得，聯(lián)立方程，整理得， 則，從而可知和只有一個(gè)公共點(diǎn). 2017年 1.（2017全國(guó)1文20）設(shè)，為曲線上兩點(diǎn)，與的橫坐標(biāo)之和為4. （1）求直線的斜率； （2）設(shè)為曲線上一點(diǎn)，在處的切線與直線平行，且，求直線的方程. 1.解析 （1）不妨設(shè)，， 則，即直線的斜率為．

9、（2）設(shè)，由的導(dǎo)函數(shù)知在處的切線斜率為， 所以，故． 因?yàn)?，易知的斜率存在且不為，因此? 即 ① 設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得， 所以，故，由根與系數(shù)的關(guān)系知， 代入①式得，解得，符合題意，因此直線的方程為． 評(píng)注 此題這一條件，也可以轉(zhuǎn)化成向量數(shù)量積為，利用坐標(biāo)的來(lái)解決，但用向量法計(jì)算得到或，注意聯(lián)立后保證． 2.（2017江蘇卷17）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為．點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線的交點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)的坐標(biāo)

10、． 2.解析 （1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意，解得，因此， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）由（1）知，．設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為第一象限的點(diǎn)，故． 當(dāng)時(shí)，與相交于，與題設(shè)不符． 當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為． 因?yàn)?，，所以直線的斜率為，直線的斜率為， 從而直線的方程為 ① 直線的方程為 ② 聯(lián)立①②，解得，所以． 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由對(duì)稱(chēng)性得，即或． 又點(diǎn)在橢圓上，故． 由，解得；由，無(wú)解． 因此點(diǎn)的坐標(biāo)為． 題型127 弦長(zhǎng)與面積及最值問(wèn)題 2013年 1.（2013湖北文22） 如

11、圖，已知橢圓與 的中心坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸均為且在軸上， 短軸長(zhǎng)分別為，（），過(guò)原點(diǎn)且不與軸重合的直線與，的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐 標(biāo)從大到小依次為記， 和的面積分別為和． (1) 當(dāng)直線與軸重合時(shí)，若，求的值； (2) 當(dāng)變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線，使得？并說(shuō)明理由． 第22題圖 2. (2013重慶文21） 如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，過(guò)左焦點(diǎn)作 軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，. （1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）取平行于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，過(guò)作圓心為的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在

12、圓外，求的面積的最大值，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 3. (2013湖南文20）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是圓 的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn). （1）求圓的方程； （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線被橢圓和圓所截得的弦長(zhǎng)分別為，.當(dāng)最大時(shí)，求直線的方程. 2014年 1（2014新課標(biāo)Ⅱ文10）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)過(guò)且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)則（ ） A B. C. D. 2.（2014四川文10）已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（ ）. A.

13、 B. C. D. 3.（2014陜西文20）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，. （1）求橢圓的方程； （2）若直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，且滿足求直線的方程. 4.（2014湖南文20）如圖所示，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線和橢圓均過(guò)點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形. （1）求的方程； （2）是否存在直線，使得與交于兩點(diǎn)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且？證明你的結(jié)論. 5.（2014四川文20） 已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，離心率為.

14、（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，過(guò)作的垂線交橢圓于，.當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求四邊形的面積. 6.（2014山東文21）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為. （1）求橢圓的方程； （2）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不是橢圓的頂點(diǎn)）. 點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn). （i）設(shè)直線的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值； （ii）求面積的最大值. 6. （2014浙江文22）已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，； （1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求面積的最大值. 2015年 1.

15、（2015全國(guó)I文5）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，的右焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn)重合，是的準(zhǔn)線與的兩個(gè)交點(diǎn)，則（ ）. A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 1.B 解析 的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為. 由得右焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)重合，可得. 又，得，，所以橢圓方程為. 當(dāng)時(shí)，，得，即.故選B. 2.（2015全國(guó)I文16）已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，是的左支上一點(diǎn)， ，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為 ． 2. 解析 由題意作圖，如圖所示. 由雙曲線的定義知，.所以. 又，所以， 所以當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，周

16、長(zhǎng)取得最小值. 所在直線方程為， 同理直線的方程為. 聯(lián)立，解得. 則. 又，所以. 3.（2015湖南文20）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且與同向. （1）求的方程； （2）若，求直線的斜率. 3.解析 （1）由知其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)橐彩菣E圓的一個(gè)焦點(diǎn)， 所以； ① 又與的公共弦長(zhǎng)為，與都關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且的方程為， 由此易知與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為， 所以，

17、 ② 聯(lián)立①②得，故的方程為. （2）如圖所示，設(shè)， 因與同向，且，所以， 從而，即， 于是 ③ 設(shè)直線的斜率為，則的方程為， 由得， 由是這個(gè)方程的兩根，④ 由得， 而是這個(gè)方程的兩根， ， ⑤ 將④,⑤代入③，得. 即 所以，解得，即直線的斜率為. 4.（2015天津文19）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，離心 率為， （1）求直線的斜率； （2）設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），故點(diǎn)且垂直于的直線與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）直線與軸交于點(diǎn)，. （i）求的值； （ii）若，求橢圓的

18、方程. 4．分析（1）先由 及，得，直線的斜率 ；（2）(ⅰ)先把直線，的方程與橢圓方程聯(lián)立， 求出點(diǎn)，橫坐標(biāo)，可得 （2）先由，得， 由此求出，故橢圓方程為 解析 （1） ，由已知 及 ，可得 ， 又因?yàn)?，故直線的斜率. （2）設(shè)點(diǎn) ， （i）由（1）可得橢圓方程為 ，直線的方程為 ， 兩方程聯(lián)立消去得， 解得.因?yàn)椋? 所以直線方程為 ，與橢圓方程聯(lián)立消去得： ，解得.又因?yàn)椋? 及 得 （ii）由（i）得，所以， 即 ，又因?yàn)椋? 所以. 又因?yàn)椋? 所以， 因此，所以橢圓方程為 5.（2015浙江文19）如圖所示，已知拋物線，圓， 過(guò)點(diǎn)作不過(guò)原

19、點(diǎn)的直線，分別與拋物線和圓相切，，為切點(diǎn). (1)求點(diǎn)，的坐標(biāo)； (2)求的面積. 注：直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸不平行，則該直線與拋物線相切，稱(chēng)該公共點(diǎn)為切點(diǎn). 5. 解析 (1)設(shè)：，聯(lián)立，得， 由得，所以，，所以. 設(shè)，則：，所以， 所以 又中點(diǎn)在直線：上， 所以 由式式得，.所以. (2)到的距離，， 所以， 橢圓方程為

20、 6.（2015湖北文22）一種畫(huà)橢圓的工具如圖1所示. 是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞 轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿通過(guò)處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動(dòng)，且 ，，當(dāng)栓子在滑槽內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)，處 的筆尖畫(huà)出的橢圓記為，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直 角坐標(biāo)系. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)動(dòng)直線與兩定直線：和：分別交于，兩點(diǎn).若直線總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖1 圖2 6.解析 (

21、1)因?yàn)?，?dāng)在軸上時(shí)，等號(hào)成立； 同理，當(dāng)重合，即軸時(shí)，等號(hào)成立. 所以橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，其方程為 (2)（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有. （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線：， 由， 消去，可得. 因?yàn)橹本€總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以，即. ① 又由，可得；同理可得. 由原點(diǎn)到直線的距離為和， 可得. ② 將式①代入式②得，. 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. 因，則，， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 所以當(dāng)時(shí)，的最小值為. 綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，△OPQ的面積取得最小

22、值8. 7. (2015山東文21)在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離 心率為，且點(diǎn)在橢圓上. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓 于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn). （i）求的值；（ii）求面積的最大值. 7. 解析 （1）由題意知，又，解得，. 所以橢圓的方程為. （2）由（1）可得橢圓的方程為. （ⅰ）設(shè)，，由題意知. 因?yàn)?，?，即. 所以，即. （ii）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).連接，，如圖所示. 設(shè)，， 將代入橢圓的方程， 可得， 由，可得. ① 則有,. 所以， 因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的面積：

23、. 設(shè)，將直線代入橢圓的方程， 可得，由，可得. ② 由①②可知，， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值. 由（i）并結(jié)合圖形可知，，所以面積的最大值為. 2016年 1.（2016江蘇21 C）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng). 1.解法一（求點(diǎn)）：直線方程化為普通方程為，橢圓方程化為普通方程為， 聯(lián)立，解得或. 因此. 解法二（弦長(zhǎng)）：直線方程化為普通方程為， 橢圓方程化為普通方程為，不妨設(shè)，， 聯(lián)立得，消得，恒成立， 故，所以. 解法三（幾何意義）：橢圓方程化為普通方程為，

24、直線恒過(guò)點(diǎn)，該點(diǎn)在橢圓上，將直線的參數(shù)方程代入橢圓的普 通方程，得，整理得，故，. 因此. 2.（2016上海文21）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)且與雙曲線交于兩點(diǎn). （1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程； （2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率. 2.解析 （1）由已知，，不妨取，則， 由題意，又，，所以， 即，解得. 因此漸近線方程為. （2）若，則雙曲線為. 設(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線方程， 消得， 所以，且， 由，得， 故，解得. 故的斜率為. 2017年 1.（2017北京卷文19）已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)在軸上，離心

25、率為． （1）求橢圓的方程； （2）為軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn).求證：與的面積之比為． 1.解析 （1）設(shè)橢圓，根據(jù)題意有，解得，則， 所以橢圓的方程為. （2）設(shè)，如圖所示，有，，，，另設(shè)由題設(shè)知，直線直線，即，，所以直線的方程為，直線的方程為. 解法一：. 所以，因此，與的面積之比為 解法二:設(shè)，聯(lián)立方程，解得，.所以與的面積之比為 2.（2017山東卷文21）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長(zhǎng)度為. （1）求橢圓的方程； （2）動(dòng)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)

26、點(diǎn)，圓的半徑為. 設(shè)為的中點(diǎn)，，與圓分別相切于點(diǎn)，，求的最小值. 2.解析 （1） 由橢圓的離心率為 ，得， 又當(dāng)時(shí)，，得，所以，. 因此橢圓方程為. (2) 設(shè)，，聯(lián)立方程 ， 得，由，得 . 且，因此，所以， 又，所以， 因?yàn)?，所? 令，故.所以. 令 ，所以. 當(dāng) 時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增. 因此，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，所以 ，. 設(shè)，則 ，所以的最小值為. 從而的最小值為，此時(shí)直線的斜率為. 綜上所述，當(dāng)，時(shí)，取得最小值為. 3.（2017天津卷文20）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為. （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)點(diǎn)在

27、線段上，，延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為. （i）求直線的斜率； （ii）求橢圓的方程. 3. 解析 （1）由題意，有，則，，解得（舍去）或，即橢圓的離心率為. （2）（i）由題意，，設(shè)直線的方程為，則直線的斜率為. 因?yàn)?，，所以直線的方程為. 由（1）知，，，則直線的方程為，即. 聯(lián)立直線與直線的方程，解得，則. 又因?yàn)?，，所以，所? 所以（舍去）或，所以直線的斜率為. （ii）由（1）知，，則，故橢圓方程可以表示為. 由（i）得直線的方程為，即. 聯(lián)立，消去并整理得，解得（舍去）或，則， 故， 于是有. 因

28、為直線與間的距離為， 所以，，所以， 所以. 同理得，則，即，解得（舍去）或， 故橢圓的方程為. 4.（2017浙江卷21）如圖所示，已知拋物線.點(diǎn)，，拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為. （1）求直線斜率的取值范圍； （2）求的最大值. 4..解析 （1）設(shè)直線的斜率為，已知，，則. 因?yàn)?，所以，所以直線斜率的取值范圍是. （2）因?yàn)橹本€，且，所以直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程，解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)是. 因?yàn)椋? ，， 所以， 令， 因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值. 題型128 中點(diǎn)弦問(wèn)題 2015年 1.（2015全國(guó)

29、II文20）已知橢圓：的離心率為， 點(diǎn) 在上. (1)求的方程. (2)直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為.直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值. 1. 分析 (1)由題意可得，則，可得 ，. 由此可得的方程； (2)設(shè)直線的方程為 ，代入(1)所得的方程，聯(lián)立得： ，所以，， 于是有.所以，即為定值. 解析 (1)由題意有，，解得，. 所以的方程為. (2)設(shè)直線：，， ，. 將 代入得. 故， . 于是直線的斜率，即. 所以直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值. 評(píng)注 解析幾何是高考必考內(nèi)容之一，在命題時(shí)多從考查各種圓錐曲線方程中的基本

30、量關(guān)系及運(yùn)算，在直線與圓錐曲線關(guān)系中.一般用方程的思想和函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，并會(huì)結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)，方程根與函數(shù)關(guān)系來(lái)求解. 2016年 1.（2016四川文20）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，，證明： 1.解析 （1）由已知得， 又橢圓過(guò)點(diǎn)，故，解得 所以橢圓的方程是 （2）設(shè)直線的方程為，，. 由方程組，得 ① 方程①的判別式為，由，即，解得 由①得，，. 所以點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為， 由方程

31、組，得，. 所以. 又 .所以. 2.（2016江蘇22）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，拋物線. （1）若直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的方程； （2）已知拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)和. ①求證：線段上的中點(diǎn)坐標(biāo)為；②求的取值范圍. 2. 解析 （1）因?yàn)?，所以與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為， 即拋物線的焦點(diǎn)為，所以，故. （2）解法一：①設(shè)點(diǎn)，， 則由，得，故， 又因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，即， 所以，又因?yàn)橹悬c(diǎn)一定在直線上， 所以，故線段上的中點(diǎn)坐標(biāo)為； ②因?yàn)橹悬c(diǎn)坐標(biāo)為， 所以，即， 所以，即關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等根， 因此，解得. 解法二

32、：設(shè)點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)， 因?yàn)辄c(diǎn)和關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以直線垂直平分線段，于是直線的斜率為， 則可設(shè)其方程為. ①由消去得，（*） 因?yàn)?和是拋物線上的相異兩點(diǎn)，所以， 從而，化簡(jiǎn)得. 方程（*）的兩根為，從而. 因?yàn)樵谥本€上，所以. 因此，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為. ②因?yàn)樵谥本€上，所以，即. 由①知，于是，所以 因此的取值范圍為. 題型129 平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 2016年 24.（2016天津文19）設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中 為原點(diǎn)，為橢圓的離心率. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于

33、的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若，且，求直線的斜率. 24.解析 （1）由，即，可得. 又，所以，因此，所以橢圓的方程為 （2）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為， 設(shè)，由方程組 ，消去， 整理得，解得或， 由題意得，從而. 由（1）知，設(shè)，有，， 由，得，所以， 解得.由，得為的垂直平分線與的交點(diǎn)， 所以.由，得，即， 得，解得或 題型130 定點(diǎn)問(wèn)題 2017年 1.（2017全國(guó)2卷文20）20.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓上，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N， 點(diǎn)P滿足. （1）求點(diǎn)的軌跡方程； （2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線過(guò)的左焦點(diǎn).

34、 1.解析 （1）如圖所示，設(shè)，，. 由知，，即. 又點(diǎn)在橢圓上，則有，即. （2）設(shè)， 則有 ，即. 橢圓的左焦點(diǎn).又，所以.所以過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線過(guò)的左焦點(diǎn). 題型131 定值問(wèn)題 2013年 18. （2013江西文20）橢圓的離心率， （1）求橢圓的方程； （2）如圖，是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)直線交于點(diǎn)，設(shè)的斜率為，的斜率為，證明為定值. 2014年 1.（2014江西文20）如圖所示，已知拋物線，過(guò)點(diǎn)任作一直線與相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與直線相交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）. （1）求證：動(dòng)點(diǎn)在定直線上；

35、（2）作的任意一條切線（不含軸），與直線相交于點(diǎn)，與（1）中的定直線相交于點(diǎn)，求證：為定值，并求此定值. 2015年 1.（2015陜西文20）如圖所示，橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離 心率為. （1）求橢圓的方程； （2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（均異于點(diǎn)），證明：直線與的斜率之和為. 1. 解析 (1)由題意知，，由，解得， 所以橢圓的方程為； (2)設(shè)，，， 由題設(shè)知，直線的方程為，代入， 化簡(jiǎn)得， 則，， 由已知，從而直線與的斜率之和為： ， 化簡(jiǎn)得. 2.（2015四川文20）如圖所示，

36、橢圓：的離心率是， 點(diǎn)在短軸上，且. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 2. 分析 本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類(lèi)與整合等數(shù)學(xué)思想. 解析 （1）由已知可得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，. 又點(diǎn)的坐標(biāo)為，且， 所以，解得，. 所以橢圓方程為. （2）當(dāng)直線的斜率存在是，設(shè)直線的方程為， 的坐標(biāo)分別為，. 聯(lián)立，得. 其判別式， 所以，. 則 . 所以當(dāng)

37、時(shí)，， 此時(shí)，為定值. 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線即為直線. 此時(shí)， 故存在常數(shù)，使得為定值. 2016年 1.（2016山東文21）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為. （1）求橢圓的方程； （2）過(guò)動(dòng)點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)(在第一象限)，且是線段的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn)，延長(zhǎng)線交于點(diǎn). （i）設(shè)直線，的斜率分別為，，證明為定值. （ii）求直線的斜率的最小值. 1.解析 （1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知， 所以，所以橢圓的方程為. （2）（i）設(shè)，由，可得 所以直線的斜率 ，直線的斜率. 此時(shí)，所以為定值. (ii)設(shè)， 直線的方程為，直線的方程

38、為.聯(lián)立 ， 整理得.由，可得 ， 所以.同理，. 所以， ， 所以 由，可知，所以 ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得. 此時(shí)，即，符合題意.所以直線 的斜率的最小值為 . 2.（2016北京文19）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn). （1）求橢圓的方程及離心率； （2）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值. 2.解析 （1）由題意得，，所以橢圓的方程為. 又，所以離心率. （2）依題意畫(huà)出草圖如圖所示. 設(shè)，則.又， 所以直線的方程為. 令，得. 所以. 直線的方程為. 令，得.所以. 所以四邊

39、形的面積 所以四邊形的面積為定值. 2017年 1.（2017全國(guó)3文20）在直角坐標(biāo)系中，曲線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)變化時(shí)，解答下列問(wèn)題： （1）能否出現(xiàn)的情況？說(shuō)明理由； （2）證明過(guò)，，三點(diǎn)的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為定值. 1.解析 （1）令，，C(0，1)，為的根，假設(shè)成立，則，，， 而，所以不能出現(xiàn)的情況. （2）解法一 設(shè)圓與軸的交點(diǎn)為，. 設(shè)圓的方程為 ① 令，得的根為，所以，.又點(diǎn)在圓上， 所以得，所以，故或，所以. 所以圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為3，是定值. 解法二 設(shè)圓與軸的另一交點(diǎn)為，即與交于原點(diǎn)，由相交弦定理，得. 由（1）知，，所以，所以 ，為定值. 評(píng)注 本題整體難度不算很高，但與常考的圓錐曲線題型存在一定區(qū)別，學(xué)生做題時(shí)會(huì)產(chǎn)生迷茫的感覺(jué).第（1）問(wèn)垂直的證明比較常規(guī)，但第（2）問(wèn)定值類(lèi)問(wèn)題的處理比較不常見(jiàn)，一般定值都是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)處理，本題直接用采用設(shè)方程的方法來(lái)解圓的方程，對(duì)學(xué)生來(lái)講，思路是一大難題.解法二直接利用相交弦定理，更加簡(jiǎn)捷，對(duì)思維的靈活度是個(gè)挑戰(zhàn). 歡迎訪問(wèn)“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org