精編數(shù)學同步優(yōu)化指導北師大版選修22練習：第1章 4 數(shù)學歸納法 活頁作業(yè)4 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學資料 活頁作業(yè)(四)　數(shù)學歸納法 1．用數(shù)學歸納法證明“2n＞n2＋1對于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．5 D．6 解析：當n取1,2,3,4時2n＞n2＋1不成立，當n＝5時，25＝32＞52＋1＝26，第一個能使2n＞n2＋1的n值為5. 答案：C 2．用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)時，第一步應驗證不等式(　　) A．1＋＜2 B．1＋＋＜2 C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3 解析：∵n＞1且n∈N＋，∴n取的第一個值n0＝2. ∴第一步應驗證：1＋＋＜

2、2. 答案：B 3．設Sk＝＋＋＋…＋，則Sk＋1為(　　) A．Sk＋ B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ 解析：Sk＋1＝＋＋…＋＋＋＝Sk＋＋－＝Sk＋－. 答案：C 4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，則n＝1時f(n)是(　　) A．1 B． C．1＋＋ D．以上答案均不正確 解析：∵f(n)共有2n＋1項， ∴當n＝1時有2＋1＝3項，即f(1)＝1＋＋. 答案：C 5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則(　　) A．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n

3、項，當n＝2時，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋ 解析：觀察分母的首項為n，最后一項為n2，公差為1，∴項數(shù)為n2－n＋1. 答案：D 6．用數(shù)學歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)時，第一步驗證當n＝1時，左邊應取的項為________． 解析：當n＝1時，左邊要從1加到n＋3，即1＋2＋3＋4. 答案：1＋2＋3＋4 7．已知每項都大于零的數(shù)列{an}中，首項a1＝1，前n項和Sn滿足Sn－Sn－1＝2(n≥2)，則a81＝________. 解析：∵Sn－Sn－1＝2， S1＝a1＝1， ∴S2＝9，S3＝2

4、5，…，Sn＝(2n－1)2. 利用數(shù)學歸納法可證明Sn＝(2n－1)2. ∴a81＝S81－S80＝640. 答案：640 8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋，n∈N＋，用數(shù)學歸納法證明f(2n)＞時，f(2n＋1)－f(2n)＝_____________. 解析：f(n)有n項，最后一項為， f(2n)有2n項，最后一項為， f(2n＋1)有2n＋1項，最后一項為， ∴f(2n＋1)比f(2n)多出的項為＋＋…＋. 答案：＋＋…＋ 9．設a＞0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋. (1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式； (2

5、)用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論． (1)解：因為a1＝1，所以a2＝f(a1)＝f(1)＝， a3＝f(a2)＝， a4＝f(a3)＝. 猜想an＝(n∈N＋)． (2)證明：①易知，當n＝1時，由猜想知正確． ②假設當n＝k時正確，即ak＝， 則ak＋1＝f(ak)＝＝ ＝＝. 這說明，當n＝k＋1時也正確． 由①②，可知對于任何n∈N＋，都有an＝. 10．試比較2n＋2與n2的大小(n∈N＋)，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論． 解：當n＝1時，21＋2＝4＞12， 當n＝2時，22＋2＝6＞22， 當n＝3時，23＋2＝10＞32， 當n＝4時，24＋2＝18＞42

6、， 由此可以猜想，2n＋2＞n2(n∈N＋)成立． 用數(shù)學歸納法證明如下： (1)當n＝1時，左邊＝21＋2＝4，右邊＝1， ∴左邊＞右邊，不等式成立． 當n＝2時，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4， ∴左邊＞右邊，不等式成立． 當n＝3時，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9， ∴左邊＞右邊，不等式成立． (2)假設當n＝k(k≥3且k∈N＋)時，不等式成立， 即2k＋2＞k2， 那么當n＝k＋1時，2k＋1＋2＝22k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2. 要證當n＝k＋1時結(jié)論成立，只需證2k2－2≥(k＋1)2， 即證k2－2k－3≥0， 即證(k＋1)(

7、k－3)≥0. 又∵k＋1＞0，k－3≥0， ∴(k＋1)(k－3)≥0. ∴當n＝k＋1時，結(jié)論成立． 由(1)和(2)，可知n∈N＋時，2n＋2＞n2. 11．用數(shù)學歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除時，當n＝k＋1時，對于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為(　　) A．5634k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．3434k＋1＋5252k C．34k＋1＋52k＋1 D．25(34k＋1＋52k＋1) 解析：當n＝k時，34k＋1＋52k＋1可被8整除； 當n＝k＋1時，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋134

8、＋52k＋152＝5634k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)． 答案：A 12．平面幾何中，有邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點到三邊距離之和為定值a，類比上述命題棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為(　　) A．a(chǎn)　　　　　　 B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn) 解析：利用等體積法，四面體內(nèi)一點和四個頂點連線將四面體分成四個四面體，這四個四面體體積之和等于大的四面體體積． 答案：B 13．用數(shù)學歸納法證明－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn時，第二步中n＝k＋1時，要證明的式子應為____________. 解析：當n＝k＋1時， 左邊＝－1＋3－5＋…＋(－

9、1)k＋1[2(k＋1)－1]＝ －1＋3－5＋…＋(－1)k＋1(2k＋1)． 答案：－1＋3－5＋…＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(k＋1) 14．設f(n)＝n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)，則用數(shù)學歸納法證明f(n)能被9整除的過程中，f(k＋1)＝f(k)＋_______________. 解析：f(k＋1)＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋9k2＋27k＋27＝f(k)＋9k2＋27k＋27. 答案：9k2＋27k＋27 15．由下列不等式：1＞，1＋＋＞1,1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，你能

10、得到一個怎樣的一般不等式？并加以證明． 解：猜想第n個不等式，即一般不等式為： 1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)． 用數(shù)學歸納法證明如下： (1)當n＝1時，1＞，猜想成立． (2)假設當n＝k時，猜想成立，即1＋＋＋…＋＞， 則當n＝k＋1時， 1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＝. 即當n＝k＋1時，猜想也正確，所以對任意的n∈N＋，不等式成立． 16．一種計算裝置，有一數(shù)據(jù)入口A和一個運算出口B，按照某種運算程序：①當從A口輸入自然數(shù)1時，從B口得到，記為f(1)＝；②當從A口輸入自然數(shù)n(n≥2)時，在B口得到的結(jié)果f(n)是前一個結(jié)果f(n－1)的倍． (1)當從A

11、口分別輸入自然數(shù)2,3,4時，從B口分別得到什么數(shù)？試猜想f(n)的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論； (2)記Sn為數(shù)列{f(n)}的前n項和，當從B口得到16 192 575的倒數(shù)時，求此時對應的Sn的值． 解：(1)由已知得f(n)＝f(n－1)(n≥2，n∈N＋)， 當n＝2時，f(2)＝f(1)＝＝， 同理可得f(3)＝，f(4)＝， 猜想f(n)＝.(*) 用數(shù)學歸納法證明如下： ①當n＝1,2,3,4時，由上面的計算結(jié)果知(*)成立． ②假設n＝k(k≥4，k∈N＋)時，(*)成立， 即f(k)＝， 那么當n＝k＋1時， f(k＋1)＝f(k)＝， 即f(k＋1)＝， ∴當n＝k＋1時，(*)也成立． 綜合①②所述，對所有的n∈N＋， f(n)＝恒成立． (2)由(1)可得＝ ＝， ∴n＝2 012. ∵f(n)＝， ∴S2 012＝＝ ＝.