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1、
變化率與導(dǎo)數(shù)——知能提升
導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，學(xué)好導(dǎo)數(shù)必須正確理解變化率、導(dǎo)數(shù)的概念以及其幾何意義，下面通過(guò)例題來(lái)對(duì)變化率與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行歸納梳理，望能對(duì)同學(xué)有所啟迪。
1．變化率問(wèn)題
例1 求在到之間的平均變化率（）。
分析：本題的自變量在分母中出現(xiàn)，因此題目中給出了“”的條件，在一些特殊的情況下，如果題干中未給出這一條件，就需要進(jìn)行分類討論。本題只需直接套用公式就可以了。
解析：當(dāng)自變量從變到時(shí)，函數(shù)的平均變化率
。
評(píng)注：本題運(yùn)算量相對(duì)較大，可對(duì)分子運(yùn)用平方差公式。
2．瞬時(shí)速度問(wèn)題
例2 已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求此物體在和時(shí)的瞬時(shí)速度。
分析：要求
2、瞬時(shí)速度就是求，本題是分段函數(shù)，求解時(shí)要根據(jù)的取值選取函數(shù)的解析式。
解析：當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴當(dāng)時(shí)的瞬時(shí)速度為6。
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴當(dāng)時(shí)的瞬時(shí)速度為6。
評(píng)注：在某時(shí)刻的速度即瞬時(shí)速度，應(yīng)區(qū)別于平均速度。
3．切線問(wèn)題
例3 已知直線，求曲線上和已知直線垂直的切線方程。
分析：利用斜率之間的關(guān)系求解。
解析：∵所求切線與直線垂直，
∴切線的斜率為。
又∵，
∴，∴，
∴，即切點(diǎn)為。
故所求切線方程為，即。
評(píng)注：充分利用垂直的條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵。
4．傾斜角問(wèn)題
例4 已知曲線上的一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的切線的傾斜角為（ ）
．2
3、 ．4 ． ．6
分析：先求出切線的斜率，再確定傾斜角的大小。
解析：∵，
∴
，
∴。
∴點(diǎn)處切線的斜率等于1，故切線的傾斜角為。
∴答案應(yīng)選
評(píng)注：若存在，則其為切線的斜率，切線自然存在，從而傾斜角可求。
5．面積問(wèn)題
例5 求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積。
分析：由題意知切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形為直角三角形，故需求出切線方程及其在兩坐標(biāo)軸上的截距。
解析：∵，
∴在點(diǎn)處的切線方程為，即。
此切線與軸、軸的交點(diǎn)分別為，，
故所求三角形的面積為。
評(píng)注：本題將曲線的切線與求三角形的面積聯(lián)系在一起，可先作出草圖，幫助解題。
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