新編高中數(shù)學北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：導(dǎo)數(shù)學習需注意的幾個關(guān)系

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1、新編數(shù)學北師大版精品資料 導(dǎo)數(shù)學習需注意的幾個關(guān)系 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有利工具，是高考的重要內(nèi)容。在導(dǎo)數(shù)的學習中理解好下幾個關(guān)系，將對導(dǎo)數(shù)概念的和本質(zhì)的掌握有極其重要的作用。 1、“過某點”和“在某點處“的關(guān)系 例1過點（--1，0）作拋物線y=x2+x+1的切線，則其中一條切線為（ ） A 2x+y+2=0 B 3x--y+3=0 C x+y+1=0 D x--y+1=0 錯解：=2x+1 所以切線的斜率K=故切線方程為即x+y+1=0 點評“在某點處”的切線表明此點是切點，而“過某點”的切線不一定是切點。這里就忽視了二者的區(qū)別。 正解：設(shè)切點坐標是，

2、則切線斜率為k=2x0+1 因為切線過點（--1，0）所以即所以 所以切點坐標為（0，1）或(--2,3)故切線方程為x—y+1=0或3x+y—12=0所以應(yīng)選D 2、的關(guān)系 例2 已知f(x)=,求。 錯解：因為f(x)=所以f(2)=故=0 點評：是導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的一個函數(shù)值，所以要求應(yīng)先求 正解：因為f(x)=，所以故= 3、（）與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系 例3（05年湖北）已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)若函數(shù)=ab在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍 錯解：依定義， 若在（-1，1）上是增函數(shù)，則在（-1，1）上可設(shè)>0 ∵的圖象是開口向下的

3、拋物線， ∴當且僅當，且時， 在（-1，1）上滿足>0，即在（-1，1）上是增函數(shù) 故t的取值范圍是t>5 點評：若>0，則在R上是增函數(shù)反之不成立。如在R上單調(diào)遞增，但≥0所以>0是為增函數(shù)的充分不必要條件。若為增函數(shù)，則≥0，反之不成立。因為≥0，即>0或=0。當函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)恒有=0時，為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。所以，≥0是為增函數(shù)的必要不充分條件。一般地，使=0的離散的點不影響函數(shù)在該區(qū)上的單調(diào)性。如=x+sinx. 正解：依定義， 若在（-1，1）上是增函數(shù)，則在（-1，1）上可設(shè)≥0 ∵的圖象是開口向下的拋物線， ∴當且僅當，且時， 在（-1，1）上滿足>0，

4、即在（-1，1）上是增函數(shù) 故t的取值范圍是t≥5 4、與極值點的關(guān)系 例4 已知函數(shù)f(x)=x(x—c)2在x=2處有極大值。求c的值。 錯解：由題意所以= 因為函數(shù)f(x)=x(x—c)2在x=2處有極大值，所以所以c=2或c=6 故c的值為2或6。 點評：是為極值的必要但不充分條件。判斷是不是極值點需要檢查根兩側(cè) 的符號。如果左正右負，那么是函數(shù)的一個極大值；如果左負右正，那么是函數(shù)的一個極小值；如果符號相同，那么不是函數(shù)的極值。 正解：由題意所以== 當即或時函數(shù)f(x)=x(x—c)2可能有極值。 當x=2時函數(shù)f(x)=x(x—c)2有極大值，所以c>0.故

5、 所以時 >0，當時< 0,當時>0。 所以當時，函數(shù)f(x)=x(x—c)2有極大值，所以即c=6. 5、極值與最值的關(guān)系 例5 求函數(shù)f(x)=sin2x—x在上的最大值和最小值。 錯解：=，令，得=0。解得或 當時，<0,所以f(x)在是減函數(shù)；當時＞0，所以f(x)是增函數(shù)；當時＜0，所以f(x)是減函數(shù)。 所以當時，f(x)取最大值；當時，f(x)取最小值。 點評：極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的，并不意味著它在函數(shù)的某個區(qū)間上最大（?。Ｒ虼?，同一函數(shù)在某一點的極大（?。┲?，可以比另一點的極小（大）值?。ù螅欢钪凳侵搁]區(qū)間上所有函數(shù)值的比較，所以極大（小）值不一定是最大（小）值，最值也不一定是極值。對閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應(yīng)的開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)求上最值可簡化過程。即直接將極值點與端點的函數(shù)值比較，就可判定最大（或最?。┑暮瘮?shù)值就是最大（或最小）值。 正解：=，令，得=0。解得或 所以， 又， 所以函數(shù)f(x) 在上的最大值和最小值分別為。