《新版高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第一章 5 第二課時(shí) 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第一章 5 第二課時(shí) 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) Word版含解析（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料
第二課時(shí) 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
n依次取1,2,3，…時(shí)，(a＋b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)如圖所示：
觀察此表，思考下列問題．
問題1：同一行中，系數(shù)有什么規(guī)律？
提示：兩端都是1，與兩端1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等，
即C＝C.
問題2：相鄰兩行，系數(shù)有什么規(guī)律？
提示：在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即C＝C＋C.
“楊輝三角”及其規(guī)律
(1)楊輝三角
(2)“楊輝三角”蘊(yùn)含的規(guī)律
①在同一行中，每行兩端都是1.
②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“
2、肩上”兩數(shù)的和．即二項(xiàng)式系數(shù)滿足組合數(shù)的性質(zhì)C＝C＋C.
③與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即二項(xiàng)式系數(shù)具有對(duì)稱性．C＝C.
1．二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)類似于組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：
(1)C＝C；
(2)C＝C＋C.
2．從表中可以看出(a＋b)n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)先增加，后減少，各二項(xiàng)式系數(shù)和等于2n，而C＋C＋C＋…＋C＝2n.
與“楊輝三角”有關(guān)的問題
[例1] 如圖所示，在“楊輝三角”中，斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，…記其前n項(xiàng)和為Sn，求S19的值．
[思路點(diǎn)撥] 觀察數(shù)列
3、各項(xiàng)在楊輝三角中的位置，把各項(xiàng)還原為二項(xiàng)展開式系數(shù)，利用組合的性質(zhì)求和．
[精解詳析] 由圖知，數(shù)列中的首項(xiàng)是C，第2項(xiàng)是C，第3項(xiàng)是C，第4項(xiàng)是C，…，第17項(xiàng)是C，第18項(xiàng)是C，第19項(xiàng)是C.
∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C
＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)
＝＋C＝54＋220＝274.
[一點(diǎn)通] 解決與楊輝三角有關(guān)問題的一般思路：
(1)觀察：對(duì)題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察；
(2)找規(guī)律：通過(guò)觀察找出每一行的數(shù)之間，行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律．
1．如圖是一個(gè)類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為
4、________．
解析：觀察規(guī)律可知：第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為2n－1.
答案：2n－1
2．如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第________行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3.
解析：由楊輝三角知，第1行中的數(shù)是C，C；第2行中的數(shù)是C，C，C；第3行中的數(shù)是C，C，C，C；…；第n行中的數(shù)是C，C，C，…，C.設(shè)第n行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3，則C∶C＝2∶3，解之得n＝34.
答案：34
二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和
[例2] (10分)設(shè)(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013(x∈R)．
(1)求a
5、0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 013的值；
(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a20 13的值．
[思路點(diǎn)撥] 可在已知的等式中分別取x＝0,1，－1，得各系數(shù)和、差的關(guān)系，進(jìn)而求解．
[精解詳析] (1)在等式(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013中，令x＝0，得1＝a0.
∴a0＝1. (3分)
(2)在等式中，令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 013，∴a1＋a2＋…＋a2 013＝－2.
(6分)
(3)令x＝－1，x＝1，
得
相減，得－1－32 013＝2(a1＋a3＋…＋a2 0
6、13)． (8分)
∴a1＋a3＋…＋a2 013＝－(1＋22 013)． (10分)
[一點(diǎn)通] (1)賦值法是求二項(xiàng)展開式系數(shù)和問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解決問題時(shí)要避免漏項(xiàng)等情況．
(2)一般地，二項(xiàng)式展開式f(x)的各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)，奇次項(xiàng)系數(shù)和為[f(1)－f(－1)]，偶次項(xiàng)系數(shù)和為[f(1)＋f(－1)]．
3．(1－2x)15的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)和是( )
A．1 B．－1
C．215 D．315
解析：令x＝1時(shí)(－1)15＝－1.
答案
7、：B
4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
解：(1)令x＝0，則a0＝－1.
令x＝1，則a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，則a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②
由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256.
(3)∵Tr＋1＝C(3x)7－r(－1)r，
∴a2k－1>0(k∈N＋)，a2k<0(k∈N＋)．
∴|a0
8、|＋|a1|＋…＋|a7|
＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7
＝47＝16 384.
解決與楊輝三角有關(guān)的問題的注意事項(xiàng)：
(1)通過(guò)觀察找出每一行數(shù)據(jù)間的相互聯(lián)系以及行與行之間數(shù)據(jù)的相互聯(lián)系．然后對(duì)數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學(xué)式子將它表達(dá)出來(lái)，使問題得解．
(2)注意二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C＝C，C＝C＋C的應(yīng)用．
1．(x－1)11展開式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是( )
A．－2 048 B．－1 023
C．－1 024 D．1 024
解析：令f(x)＝(x－1)11，偶次項(xiàng)系數(shù)之和是＝＝－1 024.
答案：C
2．若Cx＋Cx2
9、＋…＋Cxn能被7整除，則x，n的值可能為( )
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
解析：由Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1分別將選項(xiàng)A，B，C，D代入檢驗(yàn)知，僅有x＝5，n＝4適合．
答案：C
3．若n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為( )
A．10 B．20
C．30 D．120
解析：由2n＝64，得n＝6，∴Tk＋1＝Cx6－kk
＝Cx6－2k(0≤k≤6，k∈N)．
由6－2k＝0，得k＝3.∴T4＝C＝20.
答案：B
4．在4的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是16.則a的值
10、是( )
A．2 B．3
C．4 D．－1或3
解析：由題意可得(a－1)4＝16，a－1＝2，解得a＝－1或a＝3.
答案：D
5．若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為________．
解析：令x＝－1，則原式可化為[(－1)2＋1][2(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
答案：－2
6．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值為
11、________．
解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)，令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4＝(2－)4，于是(2＋)4(2－)4＝1.
答案：1
7．已知(1＋3x)n的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
解：由題意知C＋C＋C＝121，
即C＋C＋C＝121，
∴1＋n＋＝121，即n2＋n－240＝0，
解得n＝15或－
12、16(舍)．
∴在(1＋3x)15的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第八、九兩項(xiàng)．
且T8＝C(3x)7＝C37x7，
T9＝C(3x)8＝C38x8.
8．對(duì)二項(xiàng)式(1－x)10，
(1)展開式的中間項(xiàng)是第幾項(xiàng)？寫出這一項(xiàng)．
(2)求展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和．
(3)求展開式中除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)的系數(shù)和．
解：(1)展開式共11項(xiàng)，中間項(xiàng)為第6項(xiàng)，
T6＝C(－x)5＝－252x5.
(2)C＋C＋C＋…＋C
＝210＝1 024.
(3)設(shè)(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0.
令x＝0，得a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.
新版高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第一章 5 第二課時(shí) 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) Word版含解析
