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第3章 數系的擴充與復數的引入(B)
(時間：120分鐘 滿分：160分)
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)
1．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數，則實數x的值是________．
2．復數1＋＝__________.
3．如圖，設向量，，，所對應的復數分別為z1，z2，z3，z4，那么z2＋z4－2z3＝______________.
4．已知z是純虛數，是實數，那么z＝__________.
5．設z＝1＋i (i是虛數單位)，則z＋z＋＝______.
6．定義運算＝ad－bc
2、，則符合條件＝4＋2i的復數z為________．
7．若(m＋i)3∈R，則實數m的值為________．
8．設復數z滿足條件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值為________．
9．若是方程x2＋px＋1＝0的一個根，則p＝________.
10．在復平面上復數－1＋i、0、3＋2i所對應的點分別是A、B、C，則平行四邊形ABCD的對角線BD的長為________．
11．在復平面內，復數對應點的坐標為________．
12．下列命題，正確的是________．(填序號)
①復數的?？偸钦龑崝?；
②虛軸上的點與純虛數一一對應；
③相等的向量對應著相等的復數；
3、
④實部與虛部都分別互為相反數的兩個復數是共軛復數．
13．設z1＝1＋i，z2＝－2＋2i，復數z1和z2在復平面內對應點分別為A、B，O為坐標原點，則△AOB的面積為________．
14．若復數z＝2＋2i對應的點為Z，則向量所在直線的傾斜角θ＝________.
二、解答題(本大題共6小題，共90分)
15．(14分)計算＋(5＋i19)－22.
16．(14分)已知復數x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i (x∈R)是4－20i的共軛復數，求實數x的值．
17．(14分)實數k為何值時，復數(1＋
4、i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)滿足下列條件？
(1)是實數；(2)是虛數；(3)是純虛數．
18．(16分)在復平面內，點P、Q對應的復數分別為z1、z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，求點Q的軌跡．
19．(16分)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一個根(b、c為實數)．
(1)求b，c的值；
(2)試說明1－i也是方程的根嗎？
20．(16分)已知復數z1＝i(1－i)3，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
5、
第3章 數系的擴充與復數的引入(B)
答案
1．1
解析 ∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數，
∴∴x＝1.
2．1＋2i
解析 1＋＝1－＝1＋2i.
3．0
解析 ∵z2＋z4－2z3＝z2－z3＋(z4－z3)，而z2－z3對應的向量運算為：－＝－＝，z4－z3對應的向量運算為：－＝，又∵＋＝0，∴z2＋z4－2z3＝0.
4．－2i
解析 設z＝bi (b≠0)，則
＝＝＝.
因為是實數，所以2＋b＝0，
∴b＝－2，∴z＝－2i.
5．4
解析 z＋z＋＝(1＋i)(1－i)＋1＋i＋1－i
＝2＋2＝4.
6、
6．3－i
解析?。絲i＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，
∴z＝＝＝＝3－i.
7．
解析 因為(m＋i)3∈R，(m＋i)3＝m3－3m＋(3m2－1)i，所以3m2－1＝0，解得m＝.
8．4
解析 復數z滿足條件|z|＝1，z所對應的點的軌跡是單位圓，而|z＋2＋i|即表示單位圓上的動點到定點(－2，－1)的距離．
從圖形上可得|z＋2＋i|的最大值是4.
9．1
解析 已知是方程x2＋px＋1＝0的一個根，則x＝滿足方程，
代入得2＋p＋1＝0，
整理得(1－p)＋＝0，解得p＝1.
10．
解析 對應的復數為－1＋i，對應的復數為3＋2i，∵＝＋，
∴對應
7、的復數為(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.
∴BD的長為.
11．(－1,1)
解析?。剑絠(1＋i)＝－1＋i.
∴復數對應點的坐標為(－1,1)．
12．③
13．2
解析 由題意知＝(1,1)，＝(－2,2)，
且||＝|z1|＝，||＝|z2|＝＝2.
∴cos∠AOB＝
＝＝0.
∴∠AOB＝，∴S△AOB＝||||
＝2＝2.
14．
解析 由題意＝(2，2)，
∴tan θ＝＝，即θ＝.
15．解 原式＝＋(5＋i3)－
＝i＋(5－i)－i11＝5－i3＝5＋i.
16．解 因為復數4－20i的共軛復數為4＋20i，由題意得：x2＋x－2
8、＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，
根據復數相等的定義，得：
方程①的解為x＝－3或x＝2，
方程②的解為x＝－3或x＝6.
∴x＝－3.
17．解 (1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)
＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)當k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1時，該復數為實數．
(2)當k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1時，該復數為虛數．
(3)當
即k＝4時，該復數為純虛數．
18．解 ∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－3＋4i.
又|2z1|＝2，∴|z2－3＋4i|＝2，
即|z2－(3－4i)|＝2.
由模的幾
9、何意義知點Q的軌跡是以(3，－4)為圓心，2為半徑的圓．
19．解 (1)因為1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴，得.∴b＝－2，c＝2.
(2)方程為x2－2x＋2＝0.
把1－i代入方程左邊得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，顯然方程成立，∴1－i也是方程的一個根．
20．解 方法一 (1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)
＝2(1－i)，∴|z1|＝＝2.
方法二 |z1|＝|i(1－i)3|＝|i||1－i|3
＝1()3＝2.
(2)∵|z|＝1，∴設z＝cos θ＋isin θ，
|z－z1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|
＝
＝.
∴當sin＝1時，|z－z1|2取得最大值
9＋4，從而得到|z－z1|的最大值為2＋1.
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